ных размеров и угловой коэффициент dF-ai между поверхностью конечных размеров А^и элементарной площадкой dA. Каждый из этих коэффициентов будем рассматривать, используя определение углового коэффициента как доли излучения, испускаемого одной поверхностью, падающей на другую новерхность. При выводе заметим, что интегральная энергия излучения элемента черной новерхности dA равна dQi = oTdA.

Фпг. 7.6. Теплообмен нзлучением между элементарной площадкой и поверхностью конечных размеров.

Энергия излучения, достигающего элемента it Расположенного на новерхности 4 а, равна

dQa,a2 = oTtdA,dA,.

Интегрируя по всей поверхности 4 а, чтобы получить энергию излучения, падающего на всю поверхность Л 2, и деля это выражение на величину интегральной энергии излучения, испускаемого dAi получим

I d-Qdi-d2 I оГ (cos Pi cos Ра (/.Ai/ns)

С cos pi cos Pa

(7.13)

где интегрирование ограничено только той частью поверхности А 2, которая видна с элемента Из уравнения (7.8) ясно, что подынтегральная величина в (7.13) есть dFi-di так что

(7.14)

Fdi-2= j dFdi-d2-

Эта запись выражает только факт, что доля энергии излучения, падающая на Л 2, равна сумме долей энергии излучения, падающих на все элементы новерхности А 2-

Теперь рассмотрим угловой коэффициент a-di- Энергия излучения, падающего на элементарную площадку dA с поверхности конечных размеров Л а, получается интегрированием (7.4) по площади Л а

J/-1 J л COS р1 cos р2 ,

dQ2-di=dAi J lb, 2 -g.2 dA =

dAjoTtPdA,. (7.15)

Общий полусферический поток излучения, испускаемый Л 2, равен

Q=jar,dAo (7.16)

Угловой коэффициент dF-di равен отношению dQ-di к или dAi I оТ\ (cos р1 cos Ра/л52) dA,

dF2-di = --г~:::7-.-= j illjda. (7.17)

аП dA,

Последний интеграл в правой части был получен в предпо.ложе-нии, что Л2 - изотермическая поверхность. Из (7.8) ясно, что величина под знаком интеграла в уравнении (7.17) есть dFd\-d2i так что

dF2.di=-\dFdi-d2. Аг

(7.18)

Соотношение взаимности для угловых коэффициентов между элементарной площадкой и поверхностью конечных размеров.

С использованием выражения (7.14) угловой коэффициент (a-di в (7.18) можно записать в виде

или

dF 2 di = -А- F di-2

Ла dF2-di = dAiFdi-2.

(7.19)

Полученное выражение является полезным соотношением взаимности.

Теплообмен излучением между элементарной площадкой и поверхностью конечных размеров. Часть потока излучения, испускаемого падающая на А^, ио.лучается пз определения углового коэффициента

dQdi = Т\ dAiFai-ч.

Аналогично

Поток результирующего излучения равен

?di?2 = ~ dQ-di == оТ\ dAF .2 - оП А dF-di. (7.20)

С помощью соотношения взаимности (7.19) поток результирующего излучения может быть записан в виде

<QdiX2 = Ц) dAFdi.2, (7.21а)

dQ , = o{Tt-Tt)A2dF2-di. (7.216)

Некоторые угловые коэффициенты между элементарной площадкой и поверхностью конечных размеров. Некоторые геометрические системы имеют уг.ловые коэффициенты, которые могут быть представлены в окончательном виде с помощью простых алгебраических выражений (приложение В), в то время как другие требуют чпсленного интегрирования уравнения (7.13). Угловые коэффициенты наиболее общих геометрических систем могут быть сведены в таблицы, так что ири надобности их не придется вычислять. Перечень работ, содержащих известные угловые коэффициенты, дается в приложении Б.

Угловые коэффициенты для двух геометрических систем простой формы приводятся в следующих примерах, которые также служат для иллюстрации способа вычисления этих коэффициентов,

ПРИМЕР 7.6. Элементарная площадка dA ориентирована перпендикулярно круглому диску площадью А^ с внешним радиусом г (фиг. 7.7, а). Вывести уравнение, описывающее угловой коэффициент этой системы в функции h, I а г.

Прежде всего выразим величины, стоящие иод знаком интеграла в (7.13), через известные величины, чтобы можно было выполнить интегрирование. Площадь dA, выражается через локальный радпус диска и угол 9:

dA2 = pdp.dQ.

Так как интеграл в уравнении (7.13) должен быть вычислен по параметрам р и 9, величины, стоящие иод интегралом, должны быть выражены через эти переменные. Для этого выполняются

Фиг. 7.7. Схема теплообмена излучением между элементарной площадкой

и круглым диском.

а геометрия системы; б - вспомогательное построение для определения cos Pi и cos 3,j

в - вспомогательное построение для определения S.

вспомогательные построения. С помощью фиг. 7.7,6 вычисляются величины cos и cos р,:

cosPi = CLll-cosp2 = .

с помощью фиг. 7.7, в вычисляется оставшийся неизвестным параметр S,

S = h + B,

причем 5 можно определить из треугольника аОЬ с помощью гео-метрпческого закона косинусов

52 = р р2 21р COS (180 - 9) = Z2 + р2 + 2Zp cos 9. Подставляя эти соотношения в (7.13), получим

Fd.-. = J dA. = J pdpdB

p (г -f P cos 9)

r 2n

=111

p=0 8=0

(ft2 + z2 + p2-(-2pi cos 9)

dQ dp.

Интегрирование выполняется в безразмерном виде с учетом симметрии. После ряда преобразований получаем

- р 2ft f f p(; + pcos9) .

p=0 6=0

2Я f f g (1+1 COS 9)

It J J (tf2+2+i+2gcose)2 i=o e=o

Я2 + Л2+1

[(Я2 + Л2+1)2 4Д2]1/2

Приведение к безразмерному виду было выполнено путем деления числителя и знаменталеля на и иодстановки Н = h/l, R = = r/Z и 5 = р/1. Чтобы найти поток результирующего излучения между двумя поверхностями, представленными на фиг. 7.7, Р^ц- вычисляется с помощью предыдущего выражения, а dQ

dli:2

мощью уравнения (7.21,а). Чтобы избежать сложного двойного интегрирования нри вычислении Fi-, анализ можно провести более удобным способом при помощи метода интегрирования но контуру, изложенного в разд. 7.5.4.

ПРИМЕР 7.7. Рассмотрим бесконечно длинную двумерную клинообразную полость с углом а между гранями. Выведем выражение для углового коэффициента между одной гранью и элементарной полосой шириной dx на другой грани, расположенной на расстоянии X от вершины двугранного угла (фиг. 7.8, а). (Такие геометрические конфигурации приблизительно соответствуют системам с длинными пластинами и ребрами, используемыми в космических излучателях.)

В примере 7.4 угловой коэффициент системы из двух бесконечно длинных полос, имеющих параллельные образующие, определяется в виде

dFd.x-di = 4 (sin Ф)Г

где угол ф лежит в плоскости, содержащей нормали к обеим полосам. Заметим, что ф отсчитывается по часовой стрелке от нормали к dx. Из уравнения (7.14) тогда получаем

I о Ф'

Fdx-z = \ dFdx-di = j -jd (sin ф) + j у d (sin ф) =

sin (

Ф=-я/2

Ф=-я/; sin ф

Ф

О

sin ф'

Функцию sin ф' можно найти с помощью вспомогательного построения на фиг. 7.8, б:

I cos а - X

Тогда

sin ф =- =

Fdx-i=-ij--

(3:2+i2 2rfC0SC6)2

I COS а -X

2 {x +1 - 2x1 cos c6)/2-

Однако ho условию задачи требуется найти dFidx- С помощью соотношения взаимности (7.19) получаем

cos а -X

2 (Х2 + 1 -2Х cos C6)2j

В это выражение входят только угол клина и безразмерное расстояние от вершины этого угла.

7.4.3. Угловой коэффициент между двумя поверхностями конечных размеров

Фиг. 7.8. Углово!! коэффициент между стенкой и полосо!! на другой стенке бесконечно длинной клино-образно!! полости.

Рассмотрим угловой коэффициент для случая, когда излучение, испускаемое изотермической поверхностью А-, падает на новерхность А^ (фпг. 7.9). По определению, Fj 2 есть доля энергии испускаемого А^ излучения, падающая на А 2- Интегральный поток излучения, испускаемый черной поверхностью А-, равен aT\Ai, так как А- - изотермическая новерхность нри Г^. Падающая на dA часть излучения, испускаемого элементом dA,

а - геометрия клинообразной полости; б - вспомогательное построение. для определения sin ф'.