Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

Г1а8аюш,ая во/1на

Отраженная волна

щ

щ

/;[

Преломленная волна

Плосность падения


Фиг. 4.4. Взаимодействие электромагнитной волны с границей между двумя

средами.

а - плоская электрическая волна, поляризованная в плоскости ху и падающая на границу раздела двух сред; \б - векторы напряженности электрического и магнитного полей, а также вектор Пойнтинга для падающей волны, поляризованной в плоскости падения.

Подставляя (4.27) в (4.28) и учитывая, что расстояние х , которое фронт волны проходит за данный промежуток времени, связано (фиг. 4.3) с расстоянием г/, на которое фронт перемещается вдоль поверхности раздела, соотношением

х' =у sin .р, (4.29)

получим следующие выражения для составляющих напряженности падающей волны:

Ем II. i sin р cos [ ] , (4.30а)

£у, i = Ем )i. i cos р cos [й (i -ill

(4.306) (4.30b)

Попадая на плоскость раздела yz двух сред 1 и 2, падающая волна разделяется на отраженную Ёц, г под углом Р^ и преломленную Ец, t под углом 1, которая проходит в среду 2. С использованием геометрических соотношений (фиг. 4.4) получаем следующие выражения для составляющих напряженности отраженной волны в положительнол! направлении координат на границе раздела сред:


£:с.г= -Ем II. г Sin р. COS [(О 1 sin j g

, = Ем 11, г COS р, COS [СО (f - ii) ] ,

(4.316) (4.31b)

Направление Ец, выбрано таким образом, чтобы Ец, Нг и Sr соответствовали правилу правой руки, при помощи которого определяется направление вектора Пойнтинга в зависимости от направления векторов £ и Я. Аналогично выводятся выражения для составляющих напряженности преломленной волны на границе раздела сред:

£ж, = -£м ,f sin Xcos coi Еу,* =£м II, tcosjccos wi -

П2У Sin

й2у sin X

(4.32a) (4.326) (4.32b)

Для волн на границе раздела двух сред должны выполняться определенные граничные условия. Сумма параллельных плоскости раздела составляющих напряженности отраженной и падающей волн должна быть равна составляющей в той же плоскости напряженности преломленной волны. Это следует из того, что напряженность в среде 1 равна сумме напряженностей падающей и отраженной волн. Для рассматриваемой здесь поляризованной волны данное условие приводит к следующему равенству составляющих напряженности в направлении у (параллельных плоскости разде-



ла) в двух средах:

-Ем1, iCOSP COS со it-

iiy sm I Co

- -Em II, r cos Pr cos = 11,1 cos X cos

ny sin X Co

CO it-

)] = )]}

(4.33)

Поскольку уравнение (4.33) должно быть справедливо при произвольных значениях t и у, а углы р, р^ и х не зависят от: t ш у, то косинусы, содержащие время, должны быть равны. Это возможно только в том случае, когда

щ sin Р = Wj sin Рг = W2 sin X,

(4 34)

откуда следует, что

(4,35)

Таким образом, угол отражения электромагнитной волны равен углу ее падения (повернутому вокруг нормали к плоскости раздела на азимутальный угол 9 = л). Эти соотношения определяют зеркальное отражение, которое было рассмотрено в разд. 3.5.1. Из (4.34) получаем также соотношение, связывающее углы Р и х:

sin В

ГЦ - IXl 712-iy.2

(4.36)

в котором п = п - ix.

В общем случае, когда и не равны нулю, из уравнения (4.36) следует, что sin % должен быть комплексной величиной,

так как и ге - комплексные] величины. Это означает, что в результате взаимодействия падающей волны с плоскостью раздела в преломленной волне происходят изменения фазы и амплитуды.

С.учетом равенства косинусов, содержащих время, и равенства (4.35) на основании (4.33) получим

{Ем II, г cos р - Ем II, г cos р = Ем II, t cos Х);,=о (4.37)

Это выражение можно использовать для отыскания связи между напряженностями mikt и £м|, г отраженной и падающей волн. При этом необходимо исключить напряженность мп, t преломленной волны, для чего понадобится рассмотреть напряженности магнитного поля.

Напряженность магнитного поля, параллельная границе раздела, должна быть непрерывной на плоскости раздела. Вектор напряженности магнитного поля перпендикулярен вектору напряженности электрического поля. Так как рассматриваемый вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости падения.

то вектор напряженности магнитного поля будет в таком случае параллелен плоскости раздела. Из условия непрерывности на границе следует

{Hi + Я, = Ht)=,. (4.38)

Соотношение (4.25) выражает связь между напряженностями электрического и магнитного полей. Для простоты это соотношение было получено только для определенных составляющих и Еу-, но оно справедливо и в более общем случае

IEI.

(4.39)

Как в случае диэлектриков, так и в случае металлов ) магнитная проницаемость среды близка к ее значению в вакууме, т. е. jji 1о- Поэтому (4.38) можно представить в виде

(Wi£m II, г +niEM\\\,r = niEM II, f)x=0- (4.40)

Комбинируя уравнения (4.37) и (4.40), исключим д^ц, (и получим следующее соотношение для напряженностей отраженной и падающей волн:

Mji.r cosp/cosx- l/ 2 М|,г COS p/cosx-bni/na

(4.41)

Если сделанный вывод повторить для плоской падающей электрической волны, поляризованной в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, то получим следующее соотношение для напряженностей отраженной и падающей волн:

мх.г cosx/cosp-Ti/nj (4 42)

cos X/COS р -№1/2

cos 7/cos р-Ь l/ 2

Ml, г

Полученные в этом разделе общие формулы будут использованы далее в частных случаях применительно к диэлектрикам и металлам.

4.5.1. Падение и отражение волны от диэлектрика

или прозрачной среды (показатель поглощения у, пренебрежимо мал по сравнению с показателем преломления п)

Если обе среды либо идеальные диэлектрики, либо прозрачны, то xi = 2- О, и соотношение (4.36) принимает вид

sia X пу

sin р

(4.43)

1) Имеются в виду неферромагнитные металлы.- Прим. перев.



Соотношение (4.43), связывающее углы преломления и падения с показателями преломления сред, известно как закон Снеллиуса, Для часто встречающегося случая, когда падающая волна проходит через воздух [п^ \), = sin p/sin %.

В случае идеально!! диэлектрической среды соотношение (4.41) принимает вид

м\\,г COS P/COSX-П)/П2 , ,

Емцг COS P/COS X +- П1/П2 /

Отношение п^/п^ можно заменить отношением sin %/sin р в соответствии с (4.43). После преобразований с использованием тригонометрических формул это выражение принимает вид

Ем и. г tg(P-y)

tg(P-x)

Mll.i tg(p + x) Аналогично из соотношения (4.42) получаем

Е

ml, г COS X/COS Р-щ/П2

sin (р-х)

(4.46)

Mi,i COSX/COS р + ni/rea sin (р + х)

Как следует из уравнения (4.26), переносимая волной энергия пропорциональна квадрату амплитуды волны. Поэтому возведенное в квадрат отношение EjlEji будет равно отношению энергии волны, отраженной от поверхности, к энергии волны, падающей на поверхность в заданном направлении. Это отношение было определено в разд. 3.5 как направленно-полусферическая отражательная способность. Поскольку, согласно (4.35), электромагнитные волны при рассмотренных здесь идеальных условиях отражаются зеркально и поскольку при выводе соотношений электромагнитной теории рассматриваются монохроматические волны, отношение энергий более точно соответствует направленно-полусферической спектральной отражательной способности зеркальной поверхности (разд. 3.5.1). Спектральная зависимость является следствием изменения оптических констант с изменением длины волны.

Величины S [К, р, Э) для волн, поляризованных в плоскостях, параллельных и перпендикулярных плоскости падения, будут тогда равны соответственно

9.мЛК Р, е)=(-)\

Г' (4.47)

Индекс S обозначает зеркальное отражение. Так как все значения отражательных способностей, вычисленные с помощью электромагнитной теории, справедливы только в случае зеркального

отражения, индекс s в дальнейшем будет опущен, чтобы упростить и без того довольно сложные обозначения. Кроме того, поскольку условия на рассматриваемой идеальной поверхности были приняты изо.репными, зависимости от угла Э не существует, и поэтому эта переменная больше указываться не будет.

Для естественного неполяризОванного света электрическое поле не имеет определенной ориентации относительно плоскости падения, но может быть представлено парал.дельной и перпендикулярной составляющими, которые будут равны. Направленно-полусферическая спектральная отражательная способность зеркальной поверхности в этом случае будет равна среднеарпф.мети-ческому значению величин pfi (X, Р) и p;i (к, Р). Используя уравнения (4.45) - (4.47), получим

р?.( Р)=---п,-----

1 sin2(p-x)

~ 2 Ltg4P+z)

cos (р + х)

X) , sin2(P-X)

sin (P+X) J

(4.48)

2 sin (p + x) LcosMP-X)J Уравнение (4.48) известно как формула Френеля. По этой формуле вычисляется направленно-полусферическая спектральная отражательная способность диэлектрика, освещаемого неполяризо-ванным светом. Связь между % и р определяется соотношением (4.43).

В частном случае, когда свет падает по нормали к поверхности раздела двух сред, cos р = cos х = 1, и соотношения (4.44) и (4.46) преобразуются к виду

Е

М|1,г

Е

Ml, г i-HilHi

П2- П1 П2-\-П1

- - (4 49)

Полусферическая спектральная отражательная способность зеркальной поверхности в направлении нормали в этом случае равна

Рк, п (Ц = Pi {К Р = Рг = 0) = (У. (4.50)

Для волны, падающей на диэлектрик из воздуха (wj 1),

Приведенные выше отражательные способности являются спектральными величинами, так как и зависят от %.

4.5.2. Падение электромагнитной волны на поглощающую среду

Если показатель поглощения среды у, достаточно велик, то теоретические формулы получаются такими же, как и для диэлектриков, с той лишь разницей, что в них появляется ком-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов