а не по действительной длине пути луча. Тогда по аналогии с (14.34) и (14.35) интенсивности излучения в направлениях положительного и отрицательного значений cos р (фиг. 14.5) соответственно равны

i;(x3.P) = exp() +

cos Р

J [1 J J(x,*, p*) Sin p* dp*] exp

p*=o

0<p<-

dK*, (20.43)

r (x3, p) = iexp(i)-

-]\t ] nx?,P*)sinp.rfp.]exp(4=)rfx*,

p*=0

<р<я. (20.44)

Заметим, что в посдеднем члене в правой части этих уравнений содержится интеграл, в котором необходимо проводить интегрирование по всем направлениям р*, и, следовательно, он включает вклады от i+ и il- Для обозначения неременной интегрирования но всем направлениям здесь использована р* в отличие от р, имеющей в каждом уравнении ограниченный интервал значений.

По аналогии с (14.41) можно определить плотность потока результирующего излучения в направлении от пластины 1 к пластине 2

g = g ,i-2 J sinpcosp{go,2exp(-)-f о

+W Vii ] HrnsinPMp.Jx

0 P*=0

В зтом уравнении Qo, i - плотность потока эффективного излучения поверхности пластины 1, обусловленного собственным излучением и отражением. Второй член - плотность потока излучения, падающего на пластину 1 двумя путями: 1) непосредственно от пластины 2, плотность потока эффективного излучения которой до, 2 ослабляется вследствие рассеяния; 2) путем

рассеяния излучения в различных точках среды между пластинами и последующего его ослабления на пути к пластине 1-При изотропном рассеянии излучение, которое рассеивается, испускается каждым элементом объема среды с одинаковой интенсивностью но всем направлениям. Определим равномерную интенсивность эффективного излучения Jq (s) в виде )

Го(х,) = -1: J i{at,Ks)dm. (20.46)

Подставляя это соотношение в (20.43) и (20.44), получим ;(x3,P) = exp(-)-f

cos Р

J Го (X*)

ехр

cos p

cos P

D, s ,1,

J o(xf)exp()dx?.

0<p<-5-, (20.47)

<р<я. (20.48)

Нет необходимости продолжать подробные выкладки, так как решение можно получить сразу же по аналогии с'предь1дущими результатами. Уравнения (20.46) - (20.48) имеют тот же вид, что и уравнения (14.31), (14.34) и (14.35), где io О'од и go,2 заменены на аТ*/я, аТ\ и аТ. Следовательно, в соответствии с методом разд. 14.6.4 и но аналогии с (14.51) и (14.52) результирующая плотность потока излучения через рассеивающий слой и распределение средней интенсивности io в зависимости от Xs можно записать в виде

1 20 49V

0(7--7-*) - 1+г|5ь(1/е1-1-1/62-2)

{n/a)~i {yis)~n фь(Д<.)-К1/€2-1)1ь П-П 1-1-г|;ь(1/е1-1-1/е2-2)

Величины фь и г|5ь являются решениями (14.46а) и (14.47а) и приведены на фиг. 14.6, где оптическая координата в данном случае равна Xs.

(20.50)

) Здесь существует аналогия с интенсивностью излучения черного тела, заключающаяся в том, что ig становится равной интенсивности рассеянного

излучения (ffs/4n) i (со;, Xg) daij, когда Og = 1, в то время как интен-сивпость излучения черного тела аТЧп соответствует а = 1.

ПРИМЕР 20.2. Рассеивающий слой в примере 20.1 имеет постоянный коэффициент тенлонроводности к и Og. Определить плотность теплового потока от пластины 1 к пластине 2 путем теплопроводности и одного только рассеяния.

Решение для случая рассеяния в примере 20.1 не зависит от раснределения температуры в слое, так что уравнение энергии не связано с процессом рассеяния. Поэтому полная результирующая плотность теплового потока определяется путем сложения плотности теплового потока за счет теплопроводности с плотностью теплового потока, определенной по уравнению (20.49):

D

1+г|зь(1/е1+1/е2-2)

(20.51)

Значения фь даны на фиг. 14.6, б, где абсцисса должна считаться за Хд, S (см. также таблицу в разд. 14.6.2).

20.5.2. Рассеяние в излучающей и поглощающей среде

Если все три процесса - рассеяние, поглощение и излучение - существенны, то уравнение переноса (14.4) следует записать в более общем виде, включив члены, учитывающие рассеяние, вида (20.37). Для интенсивности в пределах телесного угла со в направлении S получим

= - axix {S) -Ь axixb {S) - Osiik (S) +

Потери Приращение Потери

вследствие вследствие вследствие

поглощения излучения рассеяния

(с учетом (без учета

вклада ин- индуциро-

дуцирован- ванного из-

ного излу- лучения) чения)

+ Ж J И^-W,) Ф (?., со, СО;) dco,.. (20.52)

0)~4я

Приращение вследствие рассеяния в направлении S

Два члена, учитывающие потери вследствие ноглощения и рассеяния, могут быть объединены. Тогда уравнение переноса для поглощающей, излучающей и рассеивающей среды (в случае упругого анизотропного рассеяния) примет вид

= - (а, -f Osx) ix (S) + axiu {S) +

Рая 4ai

j il (S, CO;) Ф (A CO, Wi) dco.-. (20.53)

С0; = 4Л

Сумма {ах -f Osx) является коэффициентом ослабления Кх, рассмотренным в разд. 13.5.1.

Иногда используется понятие о величине альбедо только рассеяния Qq, которая определяется как отношение коэффициента рассеяния к коэффициенту ослабления )

о.= ТГ- ax+asx

(20.54)

Оптическая толщина или непрозрачность ири наличии рассеяния и ноглощения [ранее это понятие было определено с помощью уравнения (13.17)] выражается в виде

X, (S) == J Кх {S*) dS* = J {Osx + ax) dS*, (20.55)

где S* - переменная интегрирования. Уравнение (20.53) теперь примет вид

= - 1 (хя) + (1 - Qoi) iKb (хя) -f

J ix{,<i)0{K<,<i)dWi. (20.56)

со, = 4я

Часто, особенно в астрофизической литературе, два последних члена в (20.56) объединяются в функцию источника Ix (х^), определяемую в виде

I}. (хя) = (1 -о\) Ы (хО +

J ix (хя, со,-) Ф {к, ш, Wi) dWi. (20.57)

ш.=4я

Эта величина характеризует источники излучения вдоль оптического пути вследствие собственного излучения среды и попадающего сюда рассеянного излучения. Тогда уравнение переноса примет вид

d>ix

= -Н{>.) + 1к (хО-

(20.58)

Это интегродифференциальное уравнение, поскольку] ix входит под интеграл функции источника. Как и в случае уравнения (14.10), его можно проинтегрировать

ik (X) = ik (0):ехр (- X,) + J /1 {к*х) ехр [ - (х;, - х^)] dxt (20.58а)

) Это отношение называется также критерием Шустера.- Прим. перев.

Таким образом, уравнение переноса в общем виде, учитывающее поглощение, излучение и рассеяние, по виду совершенно аналогично уравнению переноса для слзгчая только поглощения и излучения, подробно рассмотренному в гл. 14 и 15. Отметим, что, когда 0, О (рассеяние отсутствует), уравнение (20.58) сводится к виду точного уравнения для случая только поглощения и излучения [уравнение (14.7)]. При Qo>.->l (чистое рассеяние) уравнение (20.58) сводится к виду уравнения для случая чистого рассеяния [уравнение (20.40)].

Поскольку уравнение (20.58) но виду аналогично уравнению (14.7), то многие из приближенных аналитических методов решения уравнения переноса, приведенных в гл. 14 и 15, могут быть использованы также и в случае рассеяния с поглощением. В работах Чандрасекара [4], Курганова [5] и Гуди [6], посвященных атмосферным явлениям, подробно рассматриваются одномерные задачи рассеяния при наличии процессов поглощения и излучения и без них. Чтобы показать сходство с выводами предыдущих глав, рассмотрим два примера.

ПРИМЕР 20.3. Слой серой среды из примера 20.1 считать теперь излучающим, поглощающим и изотропно рассеивающим. Получить выражение для плотности результирующего потока излзгчения от пластины 1 к пластине 2.

Пусть X будет координатой толщины, нормальной к границам слоя. Уравнение переноса для общего одномерного случая сучетом изл5П1ения, поглощения и рассеяния, согласно уравнению (20.58) [так же как и (15.7)], будет следующим:

-;ГТ=И^,[Я)-/И^, [Я), , (20.59)

где [Л = cos р. Для изотропного рассеяния (Ф = 1) функция источника Ix не зависит от направления и, согласно (20.57), равна

Гх{х)=(\-%:)Иь(х)Л- j ix{X,iS>i)d.

Для серой среды с зачетом (20.46) уравнение переноса принимает вид

(x, fx) = (l-Qo)

стГ* (х)

-%io (x),

(20.60)

где x рассчитывается но координате х, т. е. dx = (о^ -- а) dx. В условиях радиационного равновесия тепловой поток, переносимый менчду пластинами, не зависит от х, т. е. dq {v)ldv. = 0. Так как, согласно уравнению (14.39),

д(х)= J f(x)fXdCU,

е1=4л

Н- (1 4я + Йоо (x) 4л.

С помощью (20.46) приведем полученное уравнение к виду

0=-i (x) + (l-Qo)

стГ* (х)

так что

io(x) =

аП (X)

(20.61)

Тогда уравнение переноса (20.60) сводится к следующему:

.l + r( ) = -=ь(x), (20.62)

которое совпадает по форме с (14.24). Заметим, что в данном случае оптическая координата х рассчитывается но сумме а -Ь о^, а не но одному коэффициенту поглощения, как в гл. 14. Вывод выражения для q аналогичен приведенному в гл. 14, поэтому из (14.51) получим

- (20.63)

ст{Г|-Г|) 1-ЬФь{1/€1-Ь1/е2-2)

где г|5г, определяется по фиг. 14.6, б при Хд = f ( +

о

ПРИМЕР 20.4. Вывести диффузионное соотношение первого порядка для переноса излзгчения в одномерном слое излучающей и поглощающей изотропной среды, находящейся в радиационном равновесии, при изотропном рассеянии.

В слзгчае приближения диффузии излзгчения среда должна быть оптически плотной. Следовательно, в некоторую точку излучение поступает только из прилежащих слоев, поскольку излучение других слоев будет поглощено или рассеяно до попадания в эту точку. Кроме того, в случае приближения диффузии излучения плотность энергии излучения мало изменяется на расстоянии, на котором происходит ослабление лзгча. Это можно выразить более строго, приняв, что Н является длиной пути, на котором заметно изменяется плотность энергии излучения, а - средняя длина свободного пробега излучения в процессе его ослабления 1т = 1/( я. + sx)- Тогда применительно к диффузии излучения имеем ImlH < 1. Как и в (15.19), интенсивность излучения разложим в ряд по степеням этой малой величины

V.i + h4()i+... . (20.64)

то ИЗ уравнения (20.60) получим

J j(x)ndM = 0 = - J i{v)dii) +