19.3.5. Метод диффузионного переноса энергии

Этот метод имеет преимущество перед аддитивным методом в том отношении, что решение получается из общего уравнения, энергии и при этом находится распределение температур в среде. В разд. 15.4.2 (стр. 531) показано, что диффузионный поток энергии излучения имеет ту же самую форму, что и закон Фурье для теплопроводности. С испо.тьзованием выражения для среднего росселандова коэффициента поглощения (15.39) выражение для вектора потока излучения имеет следующий вид:

4 16аГЗ

Чг= - - Veb =

Зад

Зад

где кг - коэффициент радиационной деляемый в виде

Зад

VT-krVT, (19.21) теплопроводности, опре-

(19.22)

Следовательно, используя приближение диффузии излучепия можно представить вектор потока энергии при совместном действии излучения и теплопроводности в какой-либо точке среды в виде

- + /c)Vr. (19.23)

Локальный тепловой поток, определяемый этим выражением можно использовать (как и при выводе уравнения теплопроводности) для составления баланса энергии элементарного объема в излучающей и поглощающей среде. Например, в двумерной декартовой системе координат при отсутствии внутренних источников тепла уравнение энергии будет следующим:

о

-/16аГЗ Л Зад

= 0. (19.24)

Среда ведет себя подобно проводнику тепла, коэффициент теплопроводности которого зависит от температуры.

Чтобы получить распределение температуры в среде, нужно проинтегрировать уравнение, подобное (19.24), и учесть граничные условия. Эти условия часто содержат температуры на граничных поверхностях. Однако вблизи границы приближение диффузии излучения несправедливо. Вследствие этого решение вблизи стенки становится неправильным и не может непосредственно удовлетворить граничным условиям на стенке. Чтобы обойти это затруднение, краевые условия на границах излучающей и поглощающей среды изменяются таким образом, что окончательное решение диффузионного уравнения при этих эффективных граничных условиях будет справедливым в области, удаленной от границ, где применимо приближение диффузии излучения.

1 1-

Эффенти5ныи\ \

температурь^

Экстраполированное диффузионное решение относительно Т(х)

Фиг. 19.4. Использование эффективного скачка температуры в качестве граничного условия для диффузионного решения при наличии теплопро-

водностп и пзлучения.

этих величин вдали от стенки было найдено условие эффективного скачка. Как показано на фиг. 19.4, этот скачок определяет граничную температуру Г(ж->0), которую должно иметь температурное поле, полученное на основе диффузионного решения, если егО распространить непосредственно до стенки. Скачок определяется через коэффициент скольжения г|5, который является функцией только кондуктивно-радиационного параметра N. Выраженный через величины, относящиеся к стенке 1, этот параметр имеет вид

(19.25)

где gr, 1 - плотность потока излучения на границе, определенная в соответствии с приближением диффузии излучения, - температура стенки, Г (а; -> 0) - температура, экстраполироваиная до стенки со стороны среды (эффективный скачок температуры.

В случае одного только излучения вводится скачок температуры, чтобы избежать трудностей стыковки температурного поля в среде, полученного на основе диффузионного решения, с температурой стенки. В задачах сложного кондуктивно-радиационного теплообмена аналогичное понятие скачка температуры введено Гольдштейном и Хауэллом [16, 17]. С помощью метода сопряженных асимптотических разложений для согласования линеаризованных решений относительно интенсивности, потока и темпера туры вблизи стенки с диффузионным решением относительно

который должен быть использован в диффузионном решении). В работе [16] получено следуюш,ее выражение для

г|)1 = arctg(4-)d£;, (19.26)

где

я \ 2уЗ V 1 +

(19.27)

На фиг. 19.5 приведен график зависимости от N, который может быть использован для любой геометрической конфигурации.

Решение подобного типа позволяет определить распределение температур в пределах точности, которую обеспечивает приближение диффузии излучения. В примере будет показано, что результаты могут быть получены как в виде потока энергии, так и в виде профилей температур. Другие решения этого общего типа представлены в работах [18, 19].

ПРИМЕР 19.2. Используя метод диффузионного переноса энергии для сложного теплообмена, обусловленного теплопроводностью и излучением, вывести уравнение, описывающее профиль температур в среде с постоянными коэффициентами поглощения а и теплопроводности к. Среда заключена между двумя параллельно расположенными бесконечными черными пластинами, имеющими температуры и Т^- Расстояние между пластинами D, нижняя пластина 1 имеет координату х = 0. Каков тепловой поток поперек слоя?

Для этой геометрической конфигурации уравнение (19.23) в безразмерном виде записывается следующим образом (отметим, что в данном случае Яд = а):

Ввиду отсутствия внутренних источников тепла из уравнения сохранения энергии следует, что q имеет постоянное значение в пространстве между пластинами. Тогда уравнение (19.28) можно проинтегрировать от О до и получить \

-у хд = - { А [04 (хд) - 04 (0)] + 4iVi [в (хд) - 6 (0)]}, (19.29)

где в (0) и 6 (хд) - температуры нижней и верхней границ среды соответственно. Эти две температуры следует исключить с помощью граничных условий со скачком, связав их с заданными температурами стенок Ti и Гг-

Рассмотрим сначала граничные условия па стенке 1. Для част-ногозначения iV = Ni коэффициент определяется но фиг. 19.5 и равен

оЩ-Т*{0)]

Согласно уравнению (19.23), поток излучения на стенке д^, i может быть записан в^виде

gr. 1 =

l&aTi dT

За dx

ШТ1 q

За i&aTl/3a+k

Следовательно, коэффициент будет равен

(4а/За)г/(4а/За+А:/4Г?)* Преобразуем последнее выражение к виду

Ж = i {-ё- - * (0)1 + 4Т! - т } (19.30)

Как показано при выводе [16], условия, при которых справедливо диффузионное решение, приводят к скачку Т^ - Т (0), кото-

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

о

0,001

0,01

Фиг. 19.5. Коэффициент скольжения, используемый при решении задач сложного радиационно-кондуктивного теплообмена в приближении диффузии излучения.

ф - коэффициент скольжения в приближении диффузии излучения; N - кондуктивно-радиационный параметр.

рый мал по величине. Для удобства часть выражения (19.30) представим в виде линейной зависимости. Приняв Ti - Т (0) =6,

где б - малая величина, получим

-Wi---Щ--Щ-= < = Ti-I (0).

Тогда (19.30) занисывается следующим образом: 4

(0)]+А:[Г,-Г(0)1},

или в безразмерном виде д

(19.31)

Аналогично для стенки 2 получим (заметим, что величина г|52 соответствует Л' = Л'2 на фиг. 19.5)

T2 = 4t®()-®1 + * [в(хд)-в2]. (19.32)

Теперь просуммируем (19.29), (19.31) и (19.32), чтобы исключить неизвестные температуры среды в (0) и в (хд). В результате получим для безразмерного потока энергии, переносимого поперек слоя,

д i e+3iVi(l-e2)

(19.33)

Результаты расчетов по этому уравнению приведены на фиг. 19.6, где они сравниваются с точным и аддитивным решениями (приведены также данные, полученные с помощью приближенного метода обобщенных угловых коэффициентов, который будет рассмотрен в следующем разделе). При Хд = 1 результаты хорошо согласуются с точным решением. В случае малых оптических толщин Хд = = 0,1 скачок температуры, введенный в диффузионном решении, сильно искажает результаты для промежуточных значений Ni и простой аддитивный метод решения дает более точные значения потоков энергии.

Преимущество диффузионного решения состоит в том, что оно дает распределение температур в среде. Профили температур могут быть определены путем интегрирования (19.28) от О до х (заметим, что величина q постоянна) и последующего использования (19.31) и (19.33), чтобы^исключить 6 (0) ид. В результате получим

1-еЧк) + 3;У1[1-в(и)] Зх/4+г|)1 ,-оя4ч

l et + 3iVi(l-e2) Зхд/4-Ьг1)1+Н)2

Некоторые профили температур приведены на фиг. 19.7. При Хд = 1 (фиг. 19.7, а) профили плохо согласуются, за исключением профилей, соответствующих наибольшему из приведенных зна-

Фиг. 19.6. Сравнение различных методов расчета переноса энергии путем теплопроводности и излучения в плоском слое, ограниченном черными параллельными пластинами.

Отношение температур пластин Тг/Г, = 02 = 0,5. О точное численное решение [71; Л приближенное решение методом обобщенных угловых коэффициентов [15];-простой аддитивный метод, уравнение (19.20);---линеаризованное решение, полученное

с использованием метода диффузионного переноса энергии со скачком температуры [16]; q/al 1 - безразмерная плотность потока энергии; JV, - кондуктивно-радиационный параметр; Ид - оптическая толщина.

фузионного переноса энергии со скачком температуры, и способа сравнения приближенных решений с точным следует ожидать наиболее точных данных о профилях температур при значении Хд > 2. При -> О и -> оо результаты, полученные при помощи метода диффузионного переноса энергии со скачком температур, сходятся к точным предельным решениям.

чений Лучшее совпадение профилей получается для всех Ni при больших значениях Хд, поскольку в этом случае становятся более точными предположения, на которых основано диффузионное решение. Это видно но фиг. 19.7, б, где сравниваются профили ири Хд = 10. С учетом предположений, исиользованных в методе диф-