Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [ 120 ] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

19.3.5. Метод диффузионного переноса энергии

Этот метод имеет преимущество перед аддитивным методом в том отношении, что решение получается из общего уравнения, энергии и при этом находится распределение температур в среде. В разд. 15.4.2 (стр. 531) показано, что диффузионный поток энергии излучения имеет ту же самую форму, что и закон Фурье для теплопроводности. С испо.тьзованием выражения для среднего росселандова коэффициента поглощения (15.39) выражение для вектора потока излучения имеет следующий вид:

4 16аГЗ

Чг= - - Veb =

Зад

Зад

где кг - коэффициент радиационной деляемый в виде

Зад

VT-krVT, (19.21) теплопроводности, опре-

(19.22)

Следовательно, используя приближение диффузии излучепия можно представить вектор потока энергии при совместном действии излучения и теплопроводности в какой-либо точке среды в виде

- + /c)Vr. (19.23)

Локальный тепловой поток, определяемый этим выражением можно использовать (как и при выводе уравнения теплопроводности) для составления баланса энергии элементарного объема в излучающей и поглощающей среде. Например, в двумерной декартовой системе координат при отсутствии внутренних источников тепла уравнение энергии будет следующим:

о

-/16аГЗ Л Зад

= 0. (19.24)

Среда ведет себя подобно проводнику тепла, коэффициент теплопроводности которого зависит от температуры.

Чтобы получить распределение температуры в среде, нужно проинтегрировать уравнение, подобное (19.24), и учесть граничные условия. Эти условия часто содержат температуры на граничных поверхностях. Однако вблизи границы приближение диффузии излучения несправедливо. Вследствие этого решение вблизи стенки становится неправильным и не может непосредственно удовлетворить граничным условиям на стенке. Чтобы обойти это затруднение, краевые условия на границах излучающей и поглощающей среды изменяются таким образом, что окончательное решение диффузионного уравнения при этих эффективных граничных условиях будет справедливым в области, удаленной от границ, где применимо приближение диффузии излучения.

1 1-

Эффенти5ныи\ \

температурь^


Экстраполированное диффузионное решение относительно Т(х)

Фиг. 19.4. Использование эффективного скачка температуры в качестве граничного условия для диффузионного решения при наличии теплопро-

водностп и пзлучения.

этих величин вдали от стенки было найдено условие эффективного скачка. Как показано на фиг. 19.4, этот скачок определяет граничную температуру Г(ж->0), которую должно иметь температурное поле, полученное на основе диффузионного решения, если егО распространить непосредственно до стенки. Скачок определяется через коэффициент скольжения г|5, который является функцией только кондуктивно-радиационного параметра N. Выраженный через величины, относящиеся к стенке 1, этот параметр имеет вид

(19.25)

где gr, 1 - плотность потока излучения на границе, определенная в соответствии с приближением диффузии излучения, - температура стенки, Г (а; -> 0) - температура, экстраполироваиная до стенки со стороны среды (эффективный скачок температуры.

В случае одного только излучения вводится скачок температуры, чтобы избежать трудностей стыковки температурного поля в среде, полученного на основе диффузионного решения, с температурой стенки. В задачах сложного кондуктивно-радиационного теплообмена аналогичное понятие скачка температуры введено Гольдштейном и Хауэллом [16, 17]. С помощью метода сопряженных асимптотических разложений для согласования линеаризованных решений относительно интенсивности, потока и темпера туры вблизи стенки с диффузионным решением относительно



который должен быть использован в диффузионном решении). В работе [16] получено следуюш,ее выражение для

г|)1 = arctg(4-)d£;, (19.26)

где

я \ 2уЗ V 1 +

(19.27)

На фиг. 19.5 приведен график зависимости от N, который может быть использован для любой геометрической конфигурации.

Решение подобного типа позволяет определить распределение температур в пределах точности, которую обеспечивает приближение диффузии излучения. В примере будет показано, что результаты могут быть получены как в виде потока энергии, так и в виде профилей температур. Другие решения этого общего типа представлены в работах [18, 19].

ПРИМЕР 19.2. Используя метод диффузионного переноса энергии для сложного теплообмена, обусловленного теплопроводностью и излучением, вывести уравнение, описывающее профиль температур в среде с постоянными коэффициентами поглощения а и теплопроводности к. Среда заключена между двумя параллельно расположенными бесконечными черными пластинами, имеющими температуры и Т^- Расстояние между пластинами D, нижняя пластина 1 имеет координату х = 0. Каков тепловой поток поперек слоя?

Для этой геометрической конфигурации уравнение (19.23) в безразмерном виде записывается следующим образом (отметим, что в данном случае Яд = а):

Ввиду отсутствия внутренних источников тепла из уравнения сохранения энергии следует, что q имеет постоянное значение в пространстве между пластинами. Тогда уравнение (19.28) можно проинтегрировать от О до и получить \

-у хд = - { А [04 (хд) - 04 (0)] + 4iVi [в (хд) - 6 (0)]}, (19.29)

где в (0) и 6 (хд) - температуры нижней и верхней границ среды соответственно. Эти две температуры следует исключить с помощью граничных условий со скачком, связав их с заданными температурами стенок Ti и Гг-

Рассмотрим сначала граничные условия па стенке 1. Для част-ногозначения iV = Ni коэффициент определяется но фиг. 19.5 и равен

оЩ-Т*{0)]

Согласно уравнению (19.23), поток излучения на стенке д^, i может быть записан в^виде

gr. 1 =

l&aTi dT

За dx

ШТ1 q

За i&aTl/3a+k

Следовательно, коэффициент будет равен

(4а/За)г/(4а/За+А:/4Г?)* Преобразуем последнее выражение к виду

Ж = i {-ё- - * (0)1 + 4Т! - т } (19.30)

Как показано при выводе [16], условия, при которых справедливо диффузионное решение, приводят к скачку Т^ - Т (0), кото-

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

о

0,001

0,01

Фиг. 19.5. Коэффициент скольжения, используемый при решении задач сложного радиационно-кондуктивного теплообмена в приближении диффузии излучения.

ф - коэффициент скольжения в приближении диффузии излучения; N - кондуктивно-радиационный параметр.

рый мал по величине. Для удобства часть выражения (19.30) представим в виде линейной зависимости. Приняв Ti - Т (0) =6,



где б - малая величина, получим

-Wi---Щ--Щ-= < = Ti-I (0).

Тогда (19.30) занисывается следующим образом: 4

(0)]+А:[Г,-Г(0)1},

или в безразмерном виде д

(19.31)

Аналогично для стенки 2 получим (заметим, что величина г|52 соответствует Л' = Л'2 на фиг. 19.5)

T2 = 4t®()-®1 + * [в(хд)-в2]. (19.32)

Теперь просуммируем (19.29), (19.31) и (19.32), чтобы исключить неизвестные температуры среды в (0) и в (хд). В результате получим для безразмерного потока энергии, переносимого поперек слоя,

д i e+3iVi(l-e2)

(19.33)

Результаты расчетов по этому уравнению приведены на фиг. 19.6, где они сравниваются с точным и аддитивным решениями (приведены также данные, полученные с помощью приближенного метода обобщенных угловых коэффициентов, который будет рассмотрен в следующем разделе). При Хд = 1 результаты хорошо согласуются с точным решением. В случае малых оптических толщин Хд = = 0,1 скачок температуры, введенный в диффузионном решении, сильно искажает результаты для промежуточных значений Ni и простой аддитивный метод решения дает более точные значения потоков энергии.

Преимущество диффузионного решения состоит в том, что оно дает распределение температур в среде. Профили температур могут быть определены путем интегрирования (19.28) от О до х (заметим, что величина q постоянна) и последующего использования (19.31) и (19.33), чтобы^исключить 6 (0) ид. В результате получим

1-еЧк) + 3;У1[1-в(и)] Зх/4+г|)1 ,-оя4ч

l et + 3iVi(l-e2) Зхд/4-Ьг1)1+Н)2

Некоторые профили температур приведены на фиг. 19.7. При Хд = 1 (фиг. 19.7, а) профили плохо согласуются, за исключением профилей, соответствующих наибольшему из приведенных зна-


Фиг. 19.6. Сравнение различных методов расчета переноса энергии путем теплопроводности и излучения в плоском слое, ограниченном черными параллельными пластинами.

Отношение температур пластин Тг/Г, = 02 = 0,5. О точное численное решение [71; Л приближенное решение методом обобщенных угловых коэффициентов [15];-простой аддитивный метод, уравнение (19.20);---линеаризованное решение, полученное

с использованием метода диффузионного переноса энергии со скачком температуры [16]; q/al 1 - безразмерная плотность потока энергии; JV, - кондуктивно-радиационный параметр; Ид - оптическая толщина.

фузионного переноса энергии со скачком температуры, и способа сравнения приближенных решений с точным следует ожидать наиболее точных данных о профилях температур при значении Хд > 2. При -> О и -> оо результаты, полученные при помощи метода диффузионного переноса энергии со скачком температур, сходятся к точным предельным решениям.

чений Лучшее совпадение профилей получается для всех Ni при больших значениях Хд, поскольку в этом случае становятся более точными предположения, на которых основано диффузионное решение. Это видно но фиг. 19.7, б, где сравниваются профили ири Хд = 10. С учетом предположений, исиользованных в методе диф-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [ 120 ] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов