Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [ 118 ] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

суммировать отдельно вычисленные вклады от излучения и теплопроводности. Приближенные методы решения уравнения переноса, изложенные в гл. 15, могут быть применены с целью упрощения радиационных членов в этих сложных задачах и для примера использовано приближение диффузии излучения. Кроме того, в разд. 18.6 было кратко описано применение метода Монте-Карло в задачах сложного теплообмена.

19.3.1. Кондуктивно-радиационный параметр

При наличии теплопроводности вводится новый безразмерный :кондуктивно-радиационный параметр N. Определение этого параметра можно сформулировать на основе анализа переноса тепла


Среда с коэффициентом теплопроводности к и коэффициентом поглощения а

Фиг. 19.1. Теплопроводность через плоский элемент объема п излучение

этого объема.

в одномерном слое среды, показанном на фиг. 19.1. Среда имеет коэффициент теплопроводности к, коэффициент поглощения а и толщину, соответствующую единице средней длины свободного пробега излучения. Если предположить, что профиль температуры в слое приблизительно линейный, то тепловой поток, перенесенный через слой площадью А путем теплопроводности, равен

(?e=-Mi. (19.1)

Интегральный поток излучения от слоя площадью А может быть записан с помощью уравнения (13.34) (без учета индуцированного излучения) в виде

(19.2)

Qe = kaoTA[)

при соответствующем способе определения средней температуры Тт. и пренебрежении ослаблением излучения в объеме. Отношение

потоков энергии, пия, равно

переданных путем теплопроводности и излуче-

(19.3)

Разделив числитель и знаменатель правой части на Т^ и обозначив в = Г/Г^, получим

Nj является кондуктивно'радиационным параметром {или числом Старка), рассчитываемым но /-й температуре:

частном случае, когда 6=1 - QJQe = и этот пара-lerp является мерой относительного количества энергии, перено-1м0г0 путем теплопроводности и излучаемого слоем толщиной 1/а. )днако в общем случае Nj не является мерой относительного количества энергии, поскольку, согласно (19.4), отношение потоков 1нергии помимо Nj зависит от разности температур и их уровня.

[9.3.2. Баланс энергии

Чтобы получить аналитическое решение задачи сложного (ра-иaциoннo-кoндyктивнoгo) теплообмена в излучающей и поглощающей среде, следует вывести общее уравнение энергии. Это Сравнение затем решается с учетом граничных условий и находится распределение температуры в среде и тепловой поток. Для 1ывода уравнения энергии используется уравнение (14.16), описы-кающее плотность интегрального потока излучения, поглощенного [бъемом dV, и уравнение (14.17), соответствующее плотности интегрального потока собственного излучения. В дополнение к этому родится член, учитывающий приращение энергии в единице объема путем теплопроводности \-{к\Т). Приравнивая результирующую мощность источников за счет теплопроводности потерям, Обусловленным излучением, получим

оо оо 4 Jt

V . {kVT) = 4 J, aeib (Я, T)dX- J aii {X, и) d(i> dX. (19.5)

Л=0 и=0

Гак как - к SIT является вектором потока тепла вследствие теплопроводности qc, то потери тепла путем теплопроводности ~\ -{к^Т) являются дивергенцией qc. Тогда потери тепла, обусловленные излучением и представленные правой частью (19.5), могут рассматриваться как дивергенция вектора потока излуче-



ния qr, т. е.

ke-ib {к, Т)~ ix (к, (u)rf(u dk,

И уравнение (19.5) можно записать в другом виде:

V-(qe + q.)=0.

(19.5а)

Если внутри объема среды происходит выделение тепла, то к левой части уравнения (19.5) нужно добавить количество тепла, выделяемое в единице объема в единицу времени, которое обозначается q и может быть функцией положения в среде и времени. Выделение тепла может осуществляться, например, электрическим, химическим или ядерным способами.

В нестационарных условиях некоторая часть тепла, подводимого к элементу объема, может сохраниться в этом объеме. Энергия, накопляемая в единице объема в единицу времени, равна рср (дТ/дх). Тогда в нестационарном случае при наличии внутреннего тепловыделения уравнение энергии будет иметь вид

V(kVT)+q = A J axexb{k,T)dk-

оо 4Л

Х=0 ш=0

ИЛИ

(19.6)

(19.6а)

Нестационарный случай для одного только излучения рассмотрен в разд. 21.6.

Поскольку радиационные члены в (19.5) и (19.6) зависят не только от лока.льной температуры, но также и от всего поля излучения, уравнение энергии является интегродифференци-альным уравнением относительно распределения температуры в среде. Члены, учитывающие теплопроводность и накопленную энергию, зависят от температуры в степени, отличной от степени при температуре в радиационных членах, и поэтому уравнение энергии является нелинейным.

Численные решения уравнения энергии были получены Гардоном (разд. 21.3.2), Висканта и Грошем [7, 8] и др. Большинство решений получено для плоского слоя среды, но имеются решения и для других конфигураций [9, 10]. В следующем разделе будет показана специфика решения уравнения энергии для плоского слоя.

19.3.3. Плоский слой

Рассмотрим слой излучающей и теплопроводной среды между параллельными черными пластинами (фиг. 19.1). Пластина 1 находится при температуре Т^, пластина 2 - при температуре Га. расстояние между ними равно D. (Расстояние 1/а, показанное на фигуре, использовано в частном случае, описанном в разд. 19.3.1.) Серая среда между пластинами имеет постоянный коэффициент теплопроводности к и коэффициент поглощения а. Для этой конфигурации выведем интегродифференциальное уравнение, описывающее стационарный перенос тепла.

Для одномерного процесса теплопроводности при постоянном значении к член V {kS/T) в уравнении (19.5) сводится к kdTldx. Поскольку коэффициент поглощения не зависит от длины волны, он может быть вынесен за знак интеграла. Тогда уравнение (19.5) сводится к

-а J i(x, (o)doj. (19.7)

(0=0

Как и в (14.32), интенсивность потока падающего излучения может быть представлена в виде суммы двух потоков, распространяющихся в направлениях положительного и отрицательного значений cos Р:

/с-0-=4ааГ4(х)-а J i; (х, со) dco - а J i:(x, (u)d(o. (19.8)

Величины i+ и i определяются с помощью (14.34) и (14.35) в виде :(-P) = {texp()-f

cosp

T {х*) ехр

-а{х--х*) cos р

adx*], 0<р<-, (19.9а)

Щх, Р) = {с^Пехр[(]

cosp

JM*)exp[fJadx*},

-<р<я. (19.96)

Отметим, что cos Р имеет отрицательные значения в интервале значений Р, указанном в (19.96). Уравнения (19.9а) и (19.96) содержат температуры на границах Т- и Tg- При решении уравнения (19.8), содержащего вторые производные, требуются два граничных условия, содержащих

Т (х) = при x = О, Г (х) = Га при х = D.



Подставляя (19.9а) и (19.96) в (19.8), исключим I и получим уравнение энергии относительно Т {х), которое решается численным путем. Однако его можно привести к более простому виду.

Введем безразмерные величины: р = cos р, в = TIT, 63 = = Ta/fi, = ка loT\, к = ах, = aD, Г = ilaT\. Тогда с помощью соотношения = 2я sin р dp = -2яйр уравнения (19.8) и (19.9) могут быть записаны в виде

1 = ® С^) -2я 5 /; (x, р) dfi-2я J /: (x, р) dp,

о о

где

/; (x, р) =

л

+ JeMx*)exp{)], 0<р<1,

(19.11а)

/:(x,p) = {eexp[-i]4-.

4-j в4(х*)ехр() -}, 0<р<1. (19.116)

Отметим, что знаки изменяются с изменением неременных, так что р в (19.10) и (19.11) имеет положительное значение. Комбинируя (19.10) и (19.11), чтобы исключить /, получим

*.- -i(j{exp(-i) +

О о

(19.12)

Используя интегроэксноненциальную функцию, определяемую в (14.45) и приведенную в нриложении Е, запишем уравнение (19.12) в виде

\Е2{У.п-у)-\ e4(x*)£i(x-x*)dx*]. (19.13)

Это уравнение представляет собой искомое интегродифференциальное уравнение относительно раснределения температур в (х).

Оно является нелинейным, поскольку в входит в член с тенло-ироводностью в первой степени, а в член с излучением - в четвертой. Граничные условия в безразмерном виде записываются следующим образом:

6 = 1 при х = О, 6 = 62 при х = Хд. (19.14)

Из рассмотрения (19.13) и (19.14) следует, что решение зависит от параметров Ni, Хд и 62.

Помимо распределения температур представляет интерес теплопередача поперек слоя, от пластины 1 к пластине. 2. Уравнение (14.41) определяет результирующий тепловой поток только за счет излучения в сером газе, заключенном между черными пластинами. Для удобства этот ноток определяется при х = 0. Кроме того, в этом же сечении существует ноток тепла за счет теплопроводности - к [dT/dx) х=о, так что уравнение для теплового потока будет иметь следующий вид:

+аТ\-2 { sinpcospx

q= -к

(отметим, что, согласно уравнению сохранения энергии, величина q в данном случае не зависит от х). Первый член в правой части учитывает теплопроводность от стенки 1, второй - поток излучения от стенки 1, третий - поток излучения, испускаемый стенкой 2, который ослабляется средой и надает на стенку 1, и, наконец, последний член учитывает излучение среды на стенку 1. Испольузя интегроэкспоненциальную функцию и введенные ранее безразмерные неременные, можно представить тепловой поток в следующем виде:

1-2

в*,з(Хд)+ ( e4(x*)2(5<*)dx*

о

(19.16)

Поскольку среда не содержит источников тепла, величина вычисленная на нижней стенке, будет одинаковой во всех точках внутри среды.

Висканта и Грош [7, 8] получили решения уравнения (19.13) с помощью итераций и численного интегрирования. Некоторые из полученных распределений температуры приведены на фиг. 19.2. При оо преобладает теплопроводность и решение сводится

к линейному профилю для теплопроводности в плоском слое.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [ 118 ] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов