суммировать отдельно вычисленные вклады от излучения и теплопроводности. Приближенные методы решения уравнения переноса, изложенные в гл. 15, могут быть применены с целью упрощения радиационных членов в этих сложных задачах и для примера использовано приближение диффузии излучения. Кроме того, в разд. 18.6 было кратко описано применение метода Монте-Карло в задачах сложного теплообмена.

19.3.1. Кондуктивно-радиационный параметр

При наличии теплопроводности вводится новый безразмерный :кондуктивно-радиационный параметр N. Определение этого параметра можно сформулировать на основе анализа переноса тепла

Среда с коэффициентом теплопроводности к и коэффициентом поглощения а

Фиг. 19.1. Теплопроводность через плоский элемент объема п излучение

этого объема.

в одномерном слое среды, показанном на фиг. 19.1. Среда имеет коэффициент теплопроводности к, коэффициент поглощения а и толщину, соответствующую единице средней длины свободного пробега излучения. Если предположить, что профиль температуры в слое приблизительно линейный, то тепловой поток, перенесенный через слой площадью А путем теплопроводности, равен

(?e=-Mi. (19.1)

Интегральный поток излучения от слоя площадью А может быть записан с помощью уравнения (13.34) (без учета индуцированного излучения) в виде

(19.2)

Qe = kaoTA[)

при соответствующем способе определения средней температуры Тт. и пренебрежении ослаблением излучения в объеме. Отношение

потоков энергии, пия, равно

переданных путем теплопроводности и излуче-

(19.3)

Разделив числитель и знаменатель правой части на Т^ и обозначив в = Г/Г^, получим

Nj является кондуктивно'радиационным параметром {или числом Старка), рассчитываемым но /-й температуре:

частном случае, когда 6=1 - QJQe = и этот пара-lerp является мерой относительного количества энергии, перено-1м0г0 путем теплопроводности и излучаемого слоем толщиной 1/а. )днако в общем случае Nj не является мерой относительного количества энергии, поскольку, согласно (19.4), отношение потоков 1нергии помимо Nj зависит от разности температур и их уровня.

[9.3.2. Баланс энергии

Чтобы получить аналитическое решение задачи сложного (ра-иaциoннo-кoндyктивнoгo) теплообмена в излучающей и поглощающей среде, следует вывести общее уравнение энергии. Это Сравнение затем решается с учетом граничных условий и находится распределение температуры в среде и тепловой поток. Для 1ывода уравнения энергии используется уравнение (14.16), описы-кающее плотность интегрального потока излучения, поглощенного [бъемом dV, и уравнение (14.17), соответствующее плотности интегрального потока собственного излучения. В дополнение к этому родится член, учитывающий приращение энергии в единице объема путем теплопроводности \-{к\Т). Приравнивая результирующую мощность источников за счет теплопроводности потерям, Обусловленным излучением, получим

оо оо 4 Jt

V . {kVT) = 4 J, aeib (Я, T)dX- J aii {X, и) d(i> dX. (19.5)

Л=0 и=0

Гак как - к SIT является вектором потока тепла вследствие теплопроводности qc, то потери тепла путем теплопроводности ~\ -{к^Т) являются дивергенцией qc. Тогда потери тепла, обусловленные излучением и представленные правой частью (19.5), могут рассматриваться как дивергенция вектора потока излуче-

ния qr, т. е.

ke-ib {к, Т)~ ix (к, (u)rf(u dk,

И уравнение (19.5) можно записать в другом виде:

V-(qe + q.)=0.

(19.5а)

Если внутри объема среды происходит выделение тепла, то к левой части уравнения (19.5) нужно добавить количество тепла, выделяемое в единице объема в единицу времени, которое обозначается q и может быть функцией положения в среде и времени. Выделение тепла может осуществляться, например, электрическим, химическим или ядерным способами.

В нестационарных условиях некоторая часть тепла, подводимого к элементу объема, может сохраниться в этом объеме. Энергия, накопляемая в единице объема в единицу времени, равна рср (дТ/дх). Тогда в нестационарном случае при наличии внутреннего тепловыделения уравнение энергии будет иметь вид

V(kVT)+q = A J axexb{k,T)dk-

оо 4Л

Х=0 ш=0

ИЛИ

(19.6)

(19.6а)

Нестационарный случай для одного только излучения рассмотрен в разд. 21.6.

Поскольку радиационные члены в (19.5) и (19.6) зависят не только от лока.льной температуры, но также и от всего поля излучения, уравнение энергии является интегродифференци-альным уравнением относительно распределения температуры в среде. Члены, учитывающие теплопроводность и накопленную энергию, зависят от температуры в степени, отличной от степени при температуре в радиационных членах, и поэтому уравнение энергии является нелинейным.

Численные решения уравнения энергии были получены Гардоном (разд. 21.3.2), Висканта и Грошем [7, 8] и др. Большинство решений получено для плоского слоя среды, но имеются решения и для других конфигураций [9, 10]. В следующем разделе будет показана специфика решения уравнения энергии для плоского слоя.

19.3.3. Плоский слой

Рассмотрим слой излучающей и теплопроводной среды между параллельными черными пластинами (фиг. 19.1). Пластина 1 находится при температуре Т^, пластина 2 - при температуре Га. расстояние между ними равно D. (Расстояние 1/а, показанное на фигуре, использовано в частном случае, описанном в разд. 19.3.1.) Серая среда между пластинами имеет постоянный коэффициент теплопроводности к и коэффициент поглощения а. Для этой конфигурации выведем интегродифференциальное уравнение, описывающее стационарный перенос тепла.

Для одномерного процесса теплопроводности при постоянном значении к член V {kS/T) в уравнении (19.5) сводится к kdTldx. Поскольку коэффициент поглощения не зависит от длины волны, он может быть вынесен за знак интеграла. Тогда уравнение (19.5) сводится к

-а J i(x, (o)doj. (19.7)

(0=0

Как и в (14.32), интенсивность потока падающего излучения может быть представлена в виде суммы двух потоков, распространяющихся в направлениях положительного и отрицательного значений cos Р:

/с-0-=4ааГ4(х)-а J i; (х, со) dco - а J i:(x, (u)d(o. (19.8)

Величины i+ и i определяются с помощью (14.34) и (14.35) в виде :(-P) = {texp()-f

cosp

T {х*) ехр

-а{х--х*) cos р

adx*], 0<р<-, (19.9а)

Щх, Р) = {с^Пехр[(]

cosp

JM*)exp[fJadx*},

-<р<я. (19.96)

Отметим, что cos Р имеет отрицательные значения в интервале значений Р, указанном в (19.96). Уравнения (19.9а) и (19.96) содержат температуры на границах Т- и Tg- При решении уравнения (19.8), содержащего вторые производные, требуются два граничных условия, содержащих

Т (х) = при x = О, Г (х) = Га при х = D.

Подставляя (19.9а) и (19.96) в (19.8), исключим I и получим уравнение энергии относительно Т {х), которое решается численным путем. Однако его можно привести к более простому виду.

Введем безразмерные величины: р = cos р, в = TIT, 63 = = Ta/fi, = ка loT\, к = ах, = aD, Г = ilaT\. Тогда с помощью соотношения = 2я sin р dp = -2яйр уравнения (19.8) и (19.9) могут быть записаны в виде

1 = ® С^) -2я 5 /; (x, р) dfi-2я J /: (x, р) dp,

о о

где

/; (x, р) =

4л

л

+ JeMx*)exp{)], 0<р<1,

(19.11а)

/:(x,p) = {eexp[-i]4-.

4-j в4(х*)ехр() -}, 0<р<1. (19.116)

Отметим, что знаки изменяются с изменением неременных, так что р в (19.10) и (19.11) имеет положительное значение. Комбинируя (19.10) и (19.11), чтобы исключить /, получим

*.- -i(j{exp(-i) +

О о

(19.12)

Используя интегроэксноненциальную функцию, определяемую в (14.45) и приведенную в нриложении Е, запишем уравнение (19.12) в виде

\Е2{У.п-у)-\ e4(x*)£i(x-x*)dx*]. (19.13)

Это уравнение представляет собой искомое интегродифференциальное уравнение относительно раснределения температур в (х).

Оно является нелинейным, поскольку в входит в член с тенло-ироводностью в первой степени, а в член с излучением - в четвертой. Граничные условия в безразмерном виде записываются следующим образом:

6 = 1 при х = О, 6 = 62 при х = Хд. (19.14)

Из рассмотрения (19.13) и (19.14) следует, что решение зависит от параметров Ni, Хд и 62.

Помимо распределения температур представляет интерес теплопередача поперек слоя, от пластины 1 к пластине. 2. Уравнение (14.41) определяет результирующий тепловой поток только за счет излучения в сером газе, заключенном между черными пластинами. Для удобства этот ноток определяется при х = 0. Кроме того, в этом же сечении существует ноток тепла за счет теплопроводности - к [dT/dx) х=о, так что уравнение для теплового потока будет иметь следующий вид:

+аТ\-2 { sinpcospx

q= -к

(отметим, что, согласно уравнению сохранения энергии, величина q в данном случае не зависит от х). Первый член в правой части учитывает теплопроводность от стенки 1, второй - поток излучения от стенки 1, третий - поток излучения, испускаемый стенкой 2, который ослабляется средой и надает на стенку 1, и, наконец, последний член учитывает излучение среды на стенку 1. Испольузя интегроэкспоненциальную функцию и введенные ранее безразмерные неременные, можно представить тепловой поток в следующем виде:

1-2

в*,з(Хд)+ ( e4(x*)2(5<*)dx*

о

(19.16)

Поскольку среда не содержит источников тепла, величина вычисленная на нижней стенке, будет одинаковой во всех точках внутри среды.

Висканта и Грош [7, 8] получили решения уравнения (19.13) с помощью итераций и численного интегрирования. Некоторые из полученных распределений температуры приведены на фиг. 19.2. При оо преобладает теплопроводность и решение сводится

к линейному профилю для теплопроводности в плоском слое.