Главная  Теории теплообмена излучением 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО К РАСЧЕТУ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОГЛОЩАЮЩЕЙ И ИЗЛУЧАЮЩЕЙ

СРЕДЕ

18.1. ВВЕДЕНИЕ

Метод Монте-Карло заключается в статистической выборке событий для определения среднего поведения системы. В гл. И этот метод применялся к задачам теплообмена излучением между поверхностями, разделенными прозрачной средой. Содержащаяся в ней информация является основой для настоящей главы. Распространим модель радиационного обмена, описанную в гл. И, на случай поглощающей и излучающей среды. Эта модель сводится к прослеживанию процессов распространения конечного числа пучков энергии. Поведение системы затем определяется путем осреднения поведения рассмотренных пучков.

Очевидно, что метод Монте-Карло более полезен при решении задач переноса излучения в поглощающей и излучающей среде, чем при решении задач радиационного обмена между новерхностя-ми. Это объясняется тем, что определение локального баланса излучения в газе или другой поглощающей и излучающей среде требует интегрирования падающего излучения не только от окружающих поверхностей, но и от всех элементов объема окружающей среды. Такие задачи трудно решать аналитически. Как уже упоминалось в других главах, было затрачено много усилий на разработку стандартных аналитических методов решения-Это часто делалось с помощью такого числа допущений (по возможности обоснованных), которое требовалось для нолучения ответа, при этом терпимо относились если не к утрате справедливости решения, то, во всяком случае, к некоторой потере его точности. К числу таких допущений относятся иредноложения о черных, серых, диффузных или зеркальных поверхностях, а также о непрозрачных, почти прозрачных, серых или изотермических газах. Немного задач переноса излучения решено аналитически без явного или неявного применения одного или более из этих допущений.

Обобщая описанную в гл. 11 модель решения методом Монте-Карло задач радиационного обмена между новерхностями, можно учесть большое количество различных эффектов в задачах излу-

18.2. ОБОЗНАЧЕНИЯ

а - коэффициент поглощения;

D - расстояние между параллельными пластинами; е - поверхностная плотность потока излучения; Fq x - доля энергии интегрального излучения черного тела в интервале длин волн О - Я; / - индекс ириращения объема; к - число ириращений объема; L = llD - безразмерная длина пути;

I - длина пути свободного пробега излучения в процессе его поглощения; N - полное число пучков в единицу времени в методе

Монте-Карло; п - индекс нучка;

Р - функция илотности вероятности; р - индекс ириращения; Q - ноток энергии; Q - объемная плотность внутренних источников энергии; q - плотность потока энергии;

R - случайным образом выбранные числа в интервале

от О до 1; г - радиальная координата;

S - координата вдоль пути излучения (не имеет индекса); число событий, происходящих в некоторой точке в единицу -времени (имеет индекс); Т - абсолютная температура; V - объем;

W - энергия, переносимая одним пучком в методе Монте-Карло;

X - xlD - безразмерное расстояние;

X - расстояние в направлении нормали к поверхности; р - полярный угол; g - степень черноты; в = TjlT - безразмерная температура; 0 - азимутальный угол;

чения в газах. Это монсно сделать, не прибегая к упрощающим допущениям, которые часто бывают необходимы при аналитических подходах [1-4].



; Таблица 18.1

Некоторые полезные соотношения, используемые при расчете переноса излучения в газах методом Монте-Карло

Явление

Переменная

Соотношение

Излучение от элементарного объема газа с коэффициентом поглощения а^

Полярный угол Р Азимутальный угол 6 Длина Волны X:

серый газ, несерый газ

cosP=l-2i?p е = 2я Rq

с со J

i 0 к^хьг.

Поглощение в газе с коэффициентом поглощения

Длина пути 1:

газ с постоянными

свойствами,

газ с переменными

свойствами

1-- InRi () = 1

уравнением (13.34), проинтегрированным но всем длинам волн X., без учета индуцированного излучения

dQe = MV[ axexbdX.

(18.1)

Кроме того, энергия пучков, испускаемых объемом, должна быть равна энергии поглощенныхУпучков, т. е.

(18.2)

где W - энергия одного пучка, Sav\- число пучков, поглощенных dV в единицу времени. Обозначая согласно (14.19)

а^ехъ dk

[(18.3)

где ар - средний иланковский коэффициент поглощения, и подставляя (18.3) в (18.1), исключим интеграл. Затем, приравняв (18.1) и (18.2), получим

f I uiSgy \1/4 -UapGdv)

(18.4)

= aD - оптическая толщина; Я - длина волны;

а - постоянная Стефана - Больцмана.

Подстрочные индексы

Ъ - черное тело; е - испускаемое излучение; i - внутренняя поверхность; i - j-Q приращение объема; I - длина пути;

о - исходная величина; наружная поверхность; Р - планковское среднее значение; dV - относится к элементарному объему dV\

W .- относится к стенке; 1,2 - поверхности 1 или 2;

Р - относится к полярному углу;

6 - относится к азимутальному углу;

X - спектральная величина.

Надстрочный индекс

* - переменная интегрирования.

18.3. ИЗЛОЖЕНИЕ МЕТОДА

Донолнительным фактором, введенным в рассмотренную в г.л. 11 модель, является длина пути, пройденного отдельным пучком излучения прежде, чем он поглотится или покинет систему. Необходимые соотношения даны в табл. 18.1, где переменные выражены через случайные числа (см. также пример 18.1). Можно учесть переменность свойств газа вдоль пути нучка; например, искривляя пути пучков, можно учесть изменения показателя преломления среды.

Если в рассматриваемой задаче сделать предположение о радиационном равновесии, то, чтобы не происходило накопления энергии, поглощение нучка средой в любой точке должно сопровождаться испусканием нового пучка в той же точке. Функции, необходимые для оиределения углов и длин волн испускаемого излучения, приведены в табл. 18.1. Новый пучок можно рассматривать просто как иродолжение истории поглощенного пучка до тех пор, пока не произойдет передача энергии граничной поверхности.

В условиях радиационного равновесия интегральный ноток излучения dQe, испускаемый элементом объема dV, описывается



Это выражение позволяет определить локальную температуру в газе через параметры газа и величины, полученные путем решения методом Монте-Карло. Если ар зависит от Тav, то приходится прибегать к итерациям. Задавая в первом приближении некоторое распределение температуры, методом Монте-Карло определяют истории пучков. Затем, подставляя в (18.4) полученные величины, находят^новое раснределение температуры, которое затем используется как второе приближение. Процесс повторяется до достижения сходимости температуры.

Имеется так много эффективных вариантов этой схемы расчета, что здесь не представляется возмон<ным упомянуть о всех них. В одном из наиболее часто используемых способов предполагается частичное поглощение излучения в момент достижения пучком поверхности с известной поглощательной способностью. Согласно такой схеме, энергия пучка уменьшается после каждого отражения. История нучка прослеживается до тех пор, пока не произойдет достаточное число отражений, в результате которых энергия пучка станет меньше некоторого заранее заданного уровня. Этот уровень выбирается из условия, чтобы влияние пучка в последующих отражениях было незначительным. На этом рассмотрение пучка заканчивается. Такая процедура приводит к большей точности для многих задач, так как история каждого пучка содержит в среднем значительно большее число событий и онределение средних величин ири заданном числе пучков производится на основе большего числа событий. Хаджи-Шейх и Снэрроу [5] предложили другие способы уменьшения трудностей, возникающих при программировании задач с учетом спектральных и направленных свойств. Можно рекомендовать исиользование упрощений там, где это возможно, не ограничиваясь готовыми рецептами.

ПРИМЕР 18.1. Серый газ с постоянным коэффициентом поглощения заключен между бесконечными параллельными черными пластинами. Пластина 1 имеет температуру Т^, а пластина 2 - температуру = 0. Пластины отстоят друг от друга на расстоянии D. Составить блок-схему программы расчета методом Монте-Карло плотности потока излучения и распределения температуры газа.

Плотность потока излучения, испускаемого поверхностью 1, равна

Если в единицу времени испускается N пучков энергии, то каждый из них переносит; количество энергии w

Р(5)=.

= ае-°з.

С помощью уравнения (11.4) ее можно представить в виде кумулятивной функции раснределения

e~ dS

= 1-е-

о

или

=-lln(l-i?,).

Однако, поскольку случайные числа Bi равномерно распределены между О и 1, это соотношение можно также представить в виде

1=--InRi или L=--Ini?;,

а

где L = 1/D и Xd = а£>.

Безразмерное расстояние в направлении нормали к пластине X = x/D, на которое переместится пучок, пройдя путь L, равно

X = LcosP = ~ ° \nRi.

Г Разделим расстояние между пластинами D н& к равных отрезков безразмерной ширины ДХ = Ax/D

7 = 1, 2, 3, Л. Тогда номер отрезка, на котором происходит поглощение, равен ; = TRUNC()+1,

где TRUNC обозначает операцию округления Х/АХ до его целочисленного значения. При каждом поглощении пучка отрезок, на котором это произошло, запоминается путем увеличения пока-

Полярный угол р, иод которым испускаются пучки, определяется соотношением, приведенным в первой строке табл. 11.1,

где i?f5 - случайное число в интервале от О до 1. После испускания типичный пучок пройдет путь I. Вследствие закона Бугера [уравнение (13.12)] вероятность его распространения на данное расстояние S до ноглощения в среде с постоянным коэффициентом ноглощения а равна



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 [ 114 ] 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов