Эйнштейн [18, 19] модифицировал коэффициенты gs я gg с целью достижения большей точности расчетов при наличии больших градиентов. Все эти приближенные методы становятся сложными при наличии сильной зависимости коэффициента поглош;ения от температуры.

17.8.3. Приближение обобщенных угловых коэффициентов излучения

В данном разделе рассматривается особый случай неизотермического серого газа, заключенного между параллельными пластинами, концентрическими цилиндрами или концентрическими сферами. Некоторые вопросы, касающиеся этих конфигураций, были рассмотрены в гл. 15. Цель данного раздела состоит в том, чтобы установить, каким образом может быть использовано понятие об обобщенных угловых коэффициентах излучения при распространении результатов расчетов для черных граничных поверхностей на диффузно-серые поверхности. Приближенное решение этой задачи получено Перлмуттером и Хауэллом [20] которые показали, что при наличии результатов расчета для черных граничных поверхностей решение для диффузно-серых поверхностей получается пз простых алгебраических соотношений. Этот результат был получен другим путем в разд. 14.6.4 для слоя газа между параллельными пластинами.

Анализ проводится таким же образом, как и при изложении метода сальдо(разд. 8.3.1). Уравнение теплового балацсана поверхности А, записывается следующим образом:

Qk=qkA, = {qo,k-qt,k)Ak. (17.113)

Поток эффективного излучения, исходящий от А состоит из потоков собственного и отраженного излучений

qo.k = boTU{-eu)qi.k. (17.114)

Если исключить gift из (17.113) и (17.114), то получпм

(17.115)

Величину qi,h в уравнении (17.114) можно определить через взаимные поверхпости, как в уравнении (17.104). Однако здесь будет введена другая величина, называемая обобщенным угловым козффициентом излучения Fj-u- Этот коэффициент Fj k опреде-

) Применение обобпденных, а также разрешаюпдих угловых коэффициентов для учета поглощения и излучения среды и многократных отражений от стенок обосновано и широко используется в работах Суринова Ю. А., Микка И. р., Деткова С. П. и др. [37*, 38*, 41*, 42*, 51*-54*].- Прин. ред.

ляется как доля потока излучения поверхности /, которая падает на поверхность к, если все граничные поверхности черные, а промежуточная среда находится в радиационном равновесии (т. е. перенос тепла в газе обусловлен только излучением при отсутствии стоков и источников тепла). Если газ прозрачен, то величина У j-h становится равной угловому коэффициенту излучения Fj h (разд. 7.4.3). Поскольку газ находится в состоянии равновесия, то из закона сохранения энергии следует, что поток эффективного излучения, исходящего от поверхности 1, может в конце концов попасть на другие поверхности оболочки илп вернуться на поверхность 1. Некоторое количество излучения, поглощенного газом, мон,ет повторно им испускаться для поддержания состояния равновесия, и величина Fj , учитывает все взаимодействия излучения с газом, посредством которых поток излучения, исходящий от Aj, достигает А,.

Для всей оболочки из N поверхностей, заключающей газ, который находится в состоянии радиационного равновесия, поток излучения, падающий на к-ю поверхность, может быть записан через обобщенные ув .овые коэффициенты в следующем виде:

Qi,h=YiQojFj.h. (17.116)

Отметим, что при использовании взаимных поверхностей аналогично тому, как это было сделано в разд. 17.8.2, необходим дополнительный член в выражении для чтобы учесть падающий на стенку поток излучения, испускаемого газом. Этот поток учтен соответствующей величиной Fj.-

Если ограничиться рассмотрением только двух граничных новерхностей, то с использованием (17.116) для исключения qi,h уравнение (17.114) можно записать в' виде

Со, 1 - 9о. = ei<Trj4i-f(i-eo((?o, 11-1+<?о,2; 1),

C0,2=90,-2 = e2<j242 + (l-e2)(<?0,lFl..2-f (?о,22-2).

Поскольку среда находится в радиационном равновесии, то весь поток излучения, исходящий с данной поверхности, должен в конце концов достигнуть новерхности оболочки. Отсюда следует условие замкнутости

F; i-Ь = 1 (17.118а)

и

2-1 + 2 2 = 1. (17.1186)

Отметим, что при этом не происходит подвода тепла к газу от внешних источников, например тепла, выделяющегося при горении.

Поскольку величина Fj k определяется как доля потока излучения, исходящего с площадки Aj, которая падает на площадку Л в случае черных граничных поверхностей, окружающих газ, то она может быть получена из решения для черных стенок, которое, как предполагается, уже найдено. Таким образом.

черн. поверхн

ajot /черн. поверхн

(17.119)

где использовано обозначение -ф^.ь, чтобы подчеркнуть, что эта величина получается из решения для черных стенок. Коэффициенты f определяются из (17.119) с использованием соотношений (17.118). Затем уравнения (17.117) разрешаются одновременно относительно всех значений потоков эффективного излучения Qq, которые используются в (17.115) для определения потоков результирующего излучения Qk Таким образом, решение для серых стенок можно достаточно просто получить из решения для черных стенок. Поясним теперь этот метод на примере двух параллельных бесконечных пластин.

В этом случае, поскольку коэффициент поглощения газа считается постоянным, падающая на поверхность 2 доля потока излучения, исходящего с поверхности 1, должна быть равна падающей на поверхность 1 доле потока излучения, исходящего от поверхности 2, т. е. Fj 2 = 2-1- Это справедливо вследствие симметрии путей для потоков излучения, исходящих от той или иной новерхности. В случае радиационного равновесия нри отсутствии источников или стоков тепла в газе излучение, поглощенное на некотором участке, может повторно излучаться на этом же участке. Поток эффективного излучения, исходящий от одной пластины, будет участвовать в тех же самых процессах излучения и поглощения, что и поток излучения, исходящий от другой пластины.

Если значение Fj 2 определено из решения для черных поверхностей в виде

1-2 =(

ol* /черн. поверхн

ТО 2-1 = 1-2 И ДЛЯ простоты обозначим его через Из соотношений (17.118) следует F. = /2-2 = 1 - 15ь и уравнения (17.117) принимают вид

0,1 = €ict7i + (1 - €1) (go. 1 - go. itb + go. 2i6),

go. 2 = егстТ'г + (1 - €2) {Qo. itb + qo.2 - Qo. 2%)-

(6i+e2-2eig2)4-eie2

go, 2

(17.120а) (17.1206)

Подставим qo,x в (17.115) и после преобразований получим

(l/€i)tb

(:а(т{-п) {i/ei+i/e2-2)+i

Уравнение (17.121а) можно записать в другом виде

(l-hi) фь

е1(1(:;-7Ч) {£2 + £1)ФЫ-1

(17.121а)

(17.1216)

где

1-€2

Решая уравнение (17.1216) для случая черных стенок, т. е. = = 2 = 0> получим

- . (17.121b)

Уравнение (17.1216) определяет результирующий поток энергии, проводимый к поверхности 1 и отводимый от поверхности 2. Поскольку коэффициент поглощения газа не зависит от температуры, то поток эффективного излучения от граничной поверхности, достигающий данной точки в газе, будет ослабляться на одну и ту же величину независимо от распределения температуры в газе. Кроме того, поглощение излучения вдоль пути луча компенсируется изотропным испусканием излучения в каждой точке. Учитывая эти обстоятельства, можно объединить решения для черной стенки и обобщенные угловые коэффициенты излучения между поверхностью и газом для нахождения распределения температуры в объеме газа в случае диффузно-серых стенок.

Излучение, испускаемое локальным элементом объема газа площадью А и толщиной dx, расположенного между параллельными пластинами (фиг. 17.19), определяется соотношением

(? = 4аоГ4 {x)Adx.

В условиях радиационного равновесия эта величина должна быть равна количеству тепла, поглощенному элементом объема

4аоГ4 (х) Adx = Qo, i dFi dx + (?о, 2 d-dx (17.122)

Разрешая их относительно go,i и до,2, получим симметричные соотношения

или

-П

- , (17.123)

где dFj-dx - доля потока эффективного излучения, исходящего от граничной поверхности Aj, которая поглощается в элементе объема Adx при наличии черных граничных поверхностей. Как и ранее, обобщенный угловой коэффициент F учитывает эффект

Фиг. 17.19. Потоки излучения для газа, заключенного между двумя бесконечными параллельными серыми пластинами.

поглощения и повторного излучения газа на пути излучения от поверхности до элемента объема. В связи с тем что здесь рассматриваются процессы, происходящие при наличии радиационного равновесия, они не сопровождаются потерями энергии, поскольку вся энергия, поглощенная в некотором положении, должна излучаться повторно.

Для определения dFjx рассмотрим случай, когда вся система находится в изотермических условиях. Тогда уравнение (17.122) сведется к виду

Aadx = dFi.a + dFi-dx. (17.124)

Это соотношение используется, чтобы исключить dF-dx из уравнения (17.123), записанпого для черных поверхностей. Оконча-

тельное уравнение рещается относительно dF-dx

dFi.dx = iadx((>b,

где, согласно (17.123),

ndFi d+ndF2-dx П

(17.125)

ФЬ =

Aadx (Ti - Tt)

Затем, подставляя (17.125) в (17.124), имеем dF2-dx = 4а (1 - фь).

(17.126)

Используя соотношения (17.125), (17.126), (17.120а) и (17.1206),

чтобы исключить dFdx, dF-dxi и до,2 из уравнения (17.123), получим распределение температур в следующем виде:

Т^{х)-П фь-fД2ь П-П 1+Фь(&1 + 2)

(17.127)

Соотношепия (17.121) и (17.127) связывают перенос энергии излучения и распределение четвертых степеней температур в случае серого газа, заключенного между серыми стенками, со случаем серого газа, заключенного между черными стенками при наличии двух бесконечных параллельных пластин. Аналогичные соотношения для системы бесконечно длинных концентрических цилиндров приведены в работах [20, 21]. Наряду с соотношениями для концентрических сфер (которые имеются в работах [22-24]) они представлены в табл. 17.5. В работе [22] приведены также соотношения для обобщенных угловых коэффициентов, когда в газе имеются источники тепла.

ПРИМЕР 17.5. Серый газ с коэффициентом поглощения 50 м - заключен между серыми пластинами, расположенными на расстоянии 0,02 м. Пластина 1 находится при температуре = 1000 К, а пластина 2 при температуре = 500 К. Пластины имеют степени черноты = 0,1 и 2 = соответственно. Каков поток результирующего излучения между пластинами и чему равна температура газа в точке, удаленной на расстояние 0,005 м от поверхности 1?

Если стенки черные, то, согласно фиг. 14.6, б, aD = 50-0,02 = = 1,0, а

= 0,56,

так что величина ijb, определенная из уравнения (17.121в), равна г|зь = 0,56. По данным табл. 17.5

(i+ii)tb

г|5 =

?1