Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 [ 98 ] 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Если начало отсчета времени сдвигается, то соответственно изменяется вид ряда, в котором амплитуды гармоник остаются прежними, но изменяются их начальные фазы Например, если перейти от функции / {(Jit), выражаемой рядом (12-1), кД {Ы) = f Ы {t - tg)], т е сместить начало отсчета времени на tg, то получим ряд

и (соО = / [со ( о)] = Л о + Л im S ш ((0 + ФО +

+ Л28Ш(2(0/ + ф9+...= 2 *т81П(Ы^ + ф*), (12-10)

где

Mpk = -kato. (12-11)

Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называется ее дискретным частотным спектром

Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью А^т (спектр амплитуд) и фй (спектр фаз) от частоты kai.

Пример 12-1. Построить спектр для несинусоидальной функции в виде ряда прямоугольных импульсов продолжительностью т с высотой а„, следую щих один за другим через интервалы времени Г = 2т (рис 12-5) Напряжения такой формы встречаются в различных схемах телеграфии, телемеханики и авто матики

Решение Натадя коэффициенты разложения по формулам (12 3) или выписав их из таблицы (приложение 1), представим рассматриваейую функцию в виде ряда

/ (и/) = Зт + Ш + 3 sm Зсо^ + J- sm 5со -f ,

где (О = я/т

Дискретный спектр амплитуд этих импульсов представлен на рис 12 5,6 Там же показан спектр фаз, изображенный в виде непрерывной функции Эта функция реально существует только в тех точках, где Л^ , фО

Пример 12-2. Построить спектр той же кривой, что и в примере 12 1, при начале отсчета времени, сдвинутом на 4 = т/2 (рис 12 6, а)

Решение Эта функция симметрична относительно оси ординат и ее разложение в тригонометрический ряд имеет вид

Д( 0=/( - 2) = +

1 2Qmikc /gQ3m 1 cos3(o/+ \ соз5ю/- \ cos7cu;-]-

К \ о о 1

Спектры амплитуд и фаз этой функции показаны на рис 12-6, б Естественно, что спектр амплитуд остался прежним

Рассматривая каждую гармонику как сумму членов ряда для k = ±z \ k\ и переходя or записи (12 2) к (12-2а), можно этому выражению придать следующий вид.



Действительно, при k = О

sin {Ы/2) k

е. получаем постоянную составляющую; при четных значениях k члены ряда обращаются в нуль, а при k нечетных sin = + 1 и при суммировании членов

для положительных и отрицательных k дают амплитуду, равную 2 а„акс/ \ k \ л.

Спектр амплитуд в этом случае имеет симметричный вид (рис. 12-6, в). При этом принимается, что фазы всех гармоник равны я/2, а амплитуды изменяют знак через интервал 2п/т.

Такое рассмотрение гармонических составляющих как совокупности колебаний положительных и отрицательных частот во многих случаях позволяет получить более простое общее выражение. Отрицательная частота, конечно, не имеет физического смысла, и составляющие ряда при

f(t)

/1н

- т

г

г

А.

г

1

Я

г

т

Г Г

Г

Рис. 12-5.

f(t)

LPUFUm

5Т 2

г

1 1 i

Т\Т f 1

О-такс I -I-

гх Ш US.

Рис. 12-6.

fe<; О являются не чем иным, как удобным математическим выражением гармоник, имеющих положительную частоту, соответствующую модулю k. Так же условна замена изменения знака фазы изменением знака амплитуды.

Пример 12-3. Построить спектр последовательности прямоугольных импульсов продолжительностью т с периодом повторения Т, причем Г 2т и т может принимать любое значение в интервале О <; т <; Т.

Решение. Выпишем из таблицы (ариложение 1) разложение этой функции в тригонометрический ряд:

2 VI sin kan cos kait

где

а = т/Г = та>/2я.

Раскладывая каждую из гармоник на сумму двух синусоид, соответйтвующих положительным и отрицательным значениям k [см. уравнение (12-2а)], придадим Выражению / (mt) иную форму;

sin кал cos кЫ

(12-12)

й = -со



где постоянная составляющая получается при раскрытии иеопределенностн:

sin Аал iim---= ая.

Обозначив Юр = 2л/т = ю/а, получим для / (со/) следующее выражение;

/(0)0 =

k= - co

sin kan cos йаюо/

На рис 12-7, а -в видно, что вне зависимости от периода повторения импульсов Т спектр имеет (с точностью до множителя а) одну и ту же зависимость амплитуд от частоты (огибающую) Чем больше период повторения импульсов, тем большее число гармонических составляющих укладывается на одном и том же участке огибающей и тем медленнее уменьшаются амплитуды гармонических составляющих с увеличением номера гармоники Кроме того, чем больше период Т, тем меньше амплитуды гармонических составляющих.

f(t)

С

п

т

я. = 0,5

-7-5-3-101 3 Ь 7

fit)

Г-Н

Г

-3 -г -/ о 1 Z 3 h

MUJ.!-Ill

V .ffTI>s

Кос

-4 -s -г -I 0 } 2 3 i

Рис. 12-7.

Для исследования непериодических процессов большое значение имеет предельный переход при Гоо Непериодический сигнал будет рассмотрен в гл 20.

Пример 12-4. Найти спектр последовательности очень коротких импульсов, длительность которых значительно меньше периода их повторения Т. Изучение последовательности таких импульсов очень важно в различных задачах электротехники, и, в частности, при рассмотрении импульсных и релейных систем автоматики.

Решение. Частотный спектр такой последовательности импульсов получается из выражения (12-12), приведенного в предыдущем примере, при т< Т:

У cos kat.

(12-12а)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 [ 98 ] 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов