Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [ 97 ] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Кроме указанных типов несинусоидальных кривых с явно выраженным периодом повторения мгнбвенных значений или огибающей часто приходится иметь дело с непериодическими кривыми, т. е. кривыми, у которых нет периода повторения. Эти кривые могут быть вполне определенными, как, например, при передаче одиночных импульсов, но могут быть и случайными, например, в случае шумов и помех.

Во всех задачах, где приходится иметь дело со сложными несинусоидальными кривыми токов и напряжений, очень важно уметь свести сложную задачу к более простой и применить методы расчета более простых задач. В настоящей главе рассматриваются методы расчета линейных цепей при несинусоидальных периодических или почти периодических токах и напряжениях, которые можно разложить на гармонические составляющие.

12-2. Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных э. д. с, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривую э. д. с, напряжения или тока разложить в тригонометрический ряд Эйлера - Фурье.

Как известно, всякая периодическая функция / (оз/), удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. имеющая на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд;

/ (со/) = Л о + Л 1 sin ((0 + ФО + Л 2 sin (2со + +... =

где при k = О

Akmsm{kmt + ,), - (12-1)

Л*ш = Ло; Фа=Фо = л/2.

Первый член ряда Ло называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, второй член Л^ sin (со/ + + TJJ]) - основной синусоидой или первой гармоникой, ,а все остальные члены вида А^т sin (kcot + фу;.) при k > 1 носят название высших гармоник; со = 2п/Т - основная частота; Т - период несинусоидальной периодической функции.

Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих или, короче, гармоник записывается и в иной форме:

/ (со/) = Л о + sin со/ + В^т sin 2со/ +... + Bkm $тШ + ...

+ Cim COS со/ + Сгт COS 2со/ + . . . + С km COS kcut + ...==

= Лп+1; (В г,5\пШ + Сьг.со$Ш). (12-2)



Здесь Bkm = Akm COS \\)k; = Ai sin ф^. Коэффициенты Aq, Bkm могут быть вычислены при помощи следующих интегралов:

-г/2 -л

jj/(coOsind(coO;

- я я

(12-3)

Постоянная составляющая Ло равна среднему значению функции / (О за ее период Т = 2я/со.

Зная коэффициенты ряда (12-2), легко перейти к форме (12-1), подсчитывая

Aum = V Bim + Cim И ф^ = arctg

Вводя условно отрицательные частоты, т. е. переходя к суммированию по от -оо до -f оо, можно ряду (12-2) придать более компактный вид (где по существу каждая гармоника, кроме нулевой, входит под знак суммы дважды);

/(со0=2 2 (B, sin + C, cos/). (12-2а)

fe = -оо

Постоянная составляющая в этом выражении получается при й = О, что соответствует выражению (12-3), так как Ло = Сот/2.

Значительное число непериодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике (рис. 12-4, а), удовлетворяет условию

/(со) = -/(со + я).

(12-4)

Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей:

/ (м^) = Л 1 S1 и ((0 + Ф1) + Л S1 и (Зсог -I- Фз) +

+ Л5 8ш(5со/ + ф5)-Ь... (12-5)

При выпрямлении переменного тока или напряжения часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию (рис. 12-4, б)

(12В)



Такие функции называются симметричными отно сйтельно оси ординат.


f(wt}

-utt /

л у

Рис. 12-4.

В ЭТОМ случае ряд не содержит синусов:

/ (со/) = Ло + Лш cos со/ + Л2т cos 2С0/ + Азт COS Зсо/ +... (12-7)

В схемах умножения частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию (рис. 12-4, в)

/(соО = -/(-со/). (12-8)

Такие функции называются симметричными относительно начала координат и раскладываются в ряд, не содержащий косинусов и постоянной составляющей:

f (со/) = Лют sin со/ + Л 2т sin 2со/ + Л sin Зсо/ -f... (12-9)

Примеры разложения в ряд некоторых простейших из наиболее часто встречающихся в электротехнике кривых приведены вJIpилo-*ении 1.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 [ 97 ] 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов