Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

довательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа

н, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.

Пусть электрическая цепь содержит в ветвей и у узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно у - 1 и в - - у + I взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения в токов (во всех ветвях).


®/

(D \

/ ® -

©\


Рис. 1-18.

На основании первого закона Кирхгофа для у узлов (рис. 1-17) можно написать у уравнений:

/i2 + /i3 + ...4-/ip + ... + /i, = 0; /л4-/2з + ... + /2И--- + 2, = 0;

(1-21)

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно вой in в эти уравнения два раза, причем /j = - lx, = - hi и т. д.

Следовательно, сумма левых частей всех у уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из у уравнений может быть -долучено как следствие остальм и - 1 уравнений или-чиеде-



взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно - 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1-18, а с четырьмя узлами

для узла / для узла 2 для узла 3 для узла 4

/1 + /24-/з = 0; -/з-/4+/б = 0; -/i-/e + /5 = 0;

(1-21а)

Суммируя эти уравнения, получим тождество 0 = 0, следовательно, из этих четырех уравнений только три независимые.

Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее часгях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности (что уже было отмечено выше).

Например, для поверхности S (рис. 1-18, а), как бы рассекающей электрическую схему на две части, справедливо уравнение /4 - - /2 - /д = О, что можно также получить из уравнений (1-21а) для узлов 3 и 4.

Что%1 установить число взаимно независимых уравнений, вытекающих из второго закона Кирхгофа, напишем для всех в ветвей схемы (рис. 1-17) в уравнений на основании закона Ома:

ф2-ф1-=21/21-£21; Фз-Ф1 =31/31-£31;

фр - Ф1 - pi/pi ~~Eji; Фр Ру руру /ру> .

(1-22)

где Гру = Гур - сопротивление ветви, соединяющей узлы р и у;

Еру - суммарная э. д. с , действующая в ветви р-у в направлении от р к у; Фр и (ру - потенциалы узлов р я у.

В этих уравнениях суммарное число неизвестных токов в ветвей и потенциалов у узлов равняется в у.

Не изменяя условий задачи, можно принять потенциал одного из узлов равным любой величине и, в частности, нулю. Если теперь из системы в уравнений (1-22) исключить оставшиеся неизвестными 1/ - 1 потенциалов, то число уравнений уменьшится до s - у + 1. Но исключение потенциалов из уравнений (1-22) приводит к уравнениям, связывающим э. д. с. источников с напряжениями на сопро-гивлеинях, т. е. к уравнениям, сосгавленным на основании второго закона Кирхгофа.



Таким образом, число взаимно независимых уравнений, которые можно составить на основании второго закона Кирхгофа, равно в - у-\-\.

В качестве примера напишем уравнения, связываюш,ие потенциалы узлов с токами и э. д. с. для схемы рис. 1-18, а:

ф1-ф1 = Г2/а-£2; (fi-(P2rJi-Ei, (1-22а)

1 (Р.-> - Щ=Гъ1ь; Фа -Фз = -Ра-

складывая третье и четвертое уравнения и вычитая полученную сумму из первого, получаем:

nh+rh-rahE. + E.-Es. (1-23)

Если применим второй закон Кирхгофа (1-20) к контуру 1-4-2-1 (при обходе вдоль контура по направлению движения часовой стрелки), то получим это же уравнение.

Аналогичным путем можно получить уравнения для остальных контуров:

для контура t-3-2-1

fih - rsh - Ei - Е^ - Ез, I для контура 2-3-4-2 (1-24)

rbh + rihEe + Ei. J

Совместное решение любых трех уравнений (1-21а) и уравнений (1-23) и (1-24) дает значения токов во всех ветвях электрической цепи, показанной на рис. 1-18, а. Если в результате решения этих уравнений получится отрицательное значение для какого-либо тока, то это значит, что действительное направление противоположно принятому за положительное.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует об-раш,ать особое внимание на то, чтобы составленные уравнения были взаимно независимы. Контуры необходимо выбрать так, чтобы в них Еошли все ветви схемы, а в каждый из контуров - возможно меньшее число ветвей. Контуры взаимно независимы, если каждый по-следуюш,ий контур, для которого составляется уравнение, имеет не меньше одной новой ветви и не получается из контуров, для которых уже написаны уравнения, путем удаления из этих контуров общих ветвей.

Например, контур 1-3-4-2-1 (рис. 1-18, а) можно получить из контуров 1-3-2-1 и 2-3-4-2 путем удаления ветви 2-3. Поэтому уравнение для контура 1-3-4-2-1 является следствием уравнений (1-24) и получается путем их суммирования.

Вторым законом Кирхгофа можно пользоваться для определения напряжения между двумя произвольными точками схемы. В этом случае необходимо ввести в левую часть уравнений (1-20) искомое напряжение вдоль пути, как бы дополняющего незамкну--шй контур до замкнутого. Например, для определения натфяжешттг



1 2 3 4 5 [ 6 ] 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов