Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

называется комплексной мгновенной величиной:

Ь == = Vm cos (со + г},) + /F sin И + г]:).

Значение ее мнимой части (без /) равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине v.

Таким образом, величина у и ее изображение - комплексная амплитуда однозначно связаны следующим равенством:

у = Im [Fe* +*]= Im [Fe Vq = Im [Уще' ], (3-6)

где символ Im обозначает, что от комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках, берется только значение мнимой части.

Заметим, что только комплексные величины, изображающие синусоидальные функции времени,обозначают большими буквами с точкой наверху. Все остальные комплексные величины, которые встречаются при расчетах цепей синусоидального тока, принято обозначать большими буквами без точек.

Если гармонически изменяющуюся величину представить в виде косннусоидальной функции времени, то ее мгновенное значение

у = cos ((0 + ) = Re [F cos (co-f ) + /F sm (q) -f Щ =

= Re [ F e(+*] = Re [ Fe ], (3-7)

где символ Re обозначает вещественную часть комплексной функции времени, записанной в скобках.В этом случае мгновенное значение V определяется графически как проекция вращающегося вектора Fe на ось вещественных величин.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета.

Комплексный метод был введен в электротехнику американским ученым и инженером Штейнметцем.

Пример 31. Написать комплексную амплитуду тока i = 10 sin {at - n/б) А.

Решение Комплексная амплитуда = Ю : - я/б А

Заданный ток равен мнимой части (без /) комплексной функции времени:

/ие = /те - <>=10 Z {at-n/6) А.

Пример 3-2. Комплексная амплитуда напряжения 6 = - 100 4- / 100 В, частота /= 1 кГц Написать выралгение для мгновенного напряжения

Р е ш е н и е Угловая частота ю = 2я/ = 2л- - 6280 С^, амплитуда

= К(-100)2 + 1002 = 1001/2 В, ig 100/(-100) = - 1; так как вещественная часть комплексной амплитуды отрицательна, а мнимая часть положительна, то вектор лежит во второй четверти и, слеловагельно, ij; - Зл/4.

Таким образом, мгновенное напряжение

и==- 100 г^зщ (6280 4-Зл/4) В



3-6. Сложение синусоидальных функций времени

При исследовании цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и с различными начальными фазами. Непосредственное суммирование гармонических функций времени связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача рещается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически путем суммирования комплексных амплитуд.

Пусть требуется найти сумму двух гармонических функций времени Vi = sin (at + f i) и Уз = У^т sin (со + %).

Сначала рассмотрим решение, выполняемое при помощи векторной диаграммы.

Отложим векторы Vm = Vim Z Ф1 и Vm ~ Vm L% Графически определим вектор Vm = Vm Z. , равный геометрической сумме

векторов Vim и Vm (рис. 3-5). Эта векторная диаграмма построена для случая, когда % > О и г|)з < 0.

Представим себе, что векторы Vim, Vim и с момента t = О начинают вращаться вокруг начала координат О против направления движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью со. Проекция вращающегося вектора Fm Z ( г + г|)) на вертикальную ось NN в любой момент времени равна сумме проекций на эту же ось вращающихся векторов VimZ.{(>it -\- i) и V2mL{(i>i + 2), т. е. мгновенных величин Vi и Uj- Следовательно, проекция вектора Vmiot -f Ч') на вертикальную ось равна искомой сумме

Vi + Уа, а вектор Vm = VL изображает искомую синусоидальную функцию времени у = у^ + v-

Таким образом, определив из диаграммы длину вектора Vm и угол t[), можем написать выражение искомой величины у = = Vm sin (Ы -f ф).

Теперь перейдем к аналитическому методу. Рассматривая векторы как комплексные амплитуды, на основании выполненного построения (рис. 3-5) можно написать:

VxmЛ-Vш^Vm.


Рис. 3-5.

Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, их надо представить в алгебраической форме:



Осуществляя суммирование, получаем; где (

Vm = Vun + ylm, Vm = У'ш + Пт-

Отсюда находим:

Так как tg г}з = tg л), то для определения г}з нужно еще знать, в какой четверти располагается вектор V- Это легко устанавливается по знакам вещественной и мнимой частей У^.- В расчетах для удобства начальную фазу ijj выражают не в радианах, а в градусах.

Рассмотренные способо! можно применить для сложения любого числа синусоидальных функций времени одинаковой частоты.

Обычно прн расчетах цепей синусоидального тока необходимо знать только действующие величины для синусоидальных функций времени и их сдвиг по фазе друг относительно друга. В этих случаях при построении векторных диаграмм нужно точно соблюдать углы сдвига фаз между векторами, а положение осей координат можно выбрать произвольно или оси совсем не изображать. Кроме того, длины векторов часто берут равными не амплитудным, а действующим величинам.

Соответственно при аналитическом расчете начальные фазы можно изменить на один и тот же угол, например так, чтобы начальная фаза одной из рассматриваемых функций стала равной нулю. Вместо комплексных амплитуд часто берут значения в ]/2 раз меньшие, так называемые комплексные действующие величины:

Пример 3-3. Даны токи = 6 sin 120°) А и = 1,5 sin (ю/+ 30°) А.

Определить ток г, равный разности токов -

Решение. = 6 Zl20° = - 3 + / 5,2 А; = 1,5 z30° = 1,3-f-+ / 0,75 А;

/зт = /ш-/2т = -4,3-Ь/4,45 = 6,19 Z 134° А. Следовательно, i = 6,19 sin 134°) А.

3-7. Электрическая цепь и ее схема

Электрический ток неразрывно связан с магнитным и электрическим полями. При переменном токе эти поля изменяются во времени. Изменяющееся магнитное поле наводит э. д. с, изменение электрического поля сопровождается изменением зарядов на проводниках. В проводниках, в резисторах, а часто и в окружающей их среде электромагнитная энергия преобразуется в тепло. В ряде устройств элтатромагнитная aHepiiiH-преобразуется и в'другие=



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов