Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

..можно изобразить в виде неориентированных подграфов (рис. 2-17), где каждая ветвь обозначена конечным отрезком.

Несмотря на то что разложение определителя на сумму произ-веденирт проводимостей ветвей деревьев дает лишь положительные члены, число математических операций при вычислении такого определителя остается еще значительным. Можно уменьшить число операций суммирования и умножения, разложив определитель по другим топологическим величинам. Например, можно пользоваться понятием пути (§ 1-8), численное значение которого И* равно произведению проводимостей ветвей -го пути, и понятием минора пути Dk, представляющего собой значение определителя определенной матрицы узловых проводимостей схемы, остающейся после того, как все ветви -го пути замкнуты накоротко; минор пути равен единице, если путь содержит все узлы схемы.

Разложение определителя D<y по путям (по узловым парам) по существу получается из (2-21) при помощи простой группировки слагаемых и в общем случае может быть выполнено по формуле

(2-30)

Для иллюстрации отмеченных положений сгруппируем в определителе (2-28) все слагаемые, например, следующим образом:

== g4 [(giga 4-g-2g-3 + g-3g-i) +

+5 (g2 + gi) + g, {gl + gi) + ge] + + gigb {gi + gs +g6) + gsge {gl +

+g2+gb)+glg2g6+g2g3gb- (2-31)


Рис. 2-17.

Это выражение можно представить в виде

(2-32)

где n-g,; Dx = {gig2 + g2g3+g3gl)+g5{g2+gs)+ge{gl+g2)+gbg,;

gigb, D2=g2 + g3 + g6; U3=g3ge; D3 = gi+g2 + g5; Ugi

Di=l; U. = s,ffg.; D.= l.

Такая группировка слагаемых соответствует разложению определителя по всем пяти путям между узлами 1 и 4 (рис. 2-15).

Каждому минору соответствует схема, которая получается из -изданной нрн короткв*ьзамыкащ} -еоответст&ующего-т1ути. Напри-



мер, при Til = g4 минор Dl получается из уравнений для трехузло-вой схемы, приведенной на рис. 2-18:

(g. + Ss+ge) -g.

- g2 (gl+gi+gb)

Если Пз = gig. то D2 = (gz + ga + gn), ЧТО соответствует схеме (рис. 2-15), в которой ветви с проводимостями gi и g закоро-

-.

Чь 9г 95

2-18,

Рис. 2-19.

9>

9з 9.

\-1-

;>

Г

Г

чены (рис. 2-19). Если путь проходит через все узлы схемы, например при П4 = gigige, то Di = 1. Аналогичный смысл имеют остальные слагаемые в определителе (2-32).

Для разложения определителя Dy> по формуле (2-30) можно выбрать и любую другую пару узлов. Например, при разложении того же определителя относительно узлов 1 и 2 имеются пути со следующими значениями: П1 = gi; = gig-; П3 = ggs, П4 = gsg-g; П5 = gigeg2- Этим путям соответствуют миноры: Di = (g + gg) (4+

+ gb + ge) + gige + goge; D2 = g2 + + ga + ge; D3 = g-4 + g5 + ge; Di =

= 1; D5 = 1, значения которых легко находятся из схем, получающихся при наложении соответствующих условий на заданную схему (рис. 2-15).

В качестве примера, иллюстрирующего непосредственное применение формулы (2-30), рассмотрим двойной Т-образный мост (рис. 2-20).

Для разложения определителя выберем, например, узлы / и 2 и разомкнем источник тока. Между этими узлами имеются три пути со значениями: IIi = gig.; = gg, П3 = g-- При коротком замыкании ветвей пути со значением IIi = gg. минор = (g + + g4) (gs + ge); при коротком замыкании ветвей пути со значением = g3g4 минор Da == (gi + ga) (gg + gc) наконец, при коротком замыкании ветвей пути со значением Пд - grg минор Dg = (gi + + ga) (g3 + g4)- Узловой определитель по фюрмуле (2-30)

D gig2 (ga + gi) (g5 + ge) + g3g4 (gi + ga) (gs + ge) +

+ g5ge(gl+g2)(g3 + g4). (2-34)

Определитель контурных сопротивлений D* * можно найти, например, по формуле (2-27а)

-В^-ВШг1Г,г,пгьГ,- (гг 1 г.) (/-3 + Ii + г, + /-в) + (/-3 + /-4) (/-5 + /-б)--

Рис. 2-20.



Подчеркнем, что каждое слагаемое D* * представляет собой произведение сопротивлений ветвей, которые как бы дополняют соответствующее дерево, полученное из определителя D* для заданной схемы. Например, для дерева, состоящего из проводимостей gi, а , g3, Sb соответствующее слагаемое определителя D<) равно г^г^, а^для дерева g-i, g, g, g - Г3Г5 и т. д. Отсюда следует, что число слагаемых в определителях D*y> и DC* одинаково.

Поскольку порядок определителя D(y) в данном примере выше порядка определителя D(> в 2 раза (порядок каждого из определителей Dy и D) определяется числом независимых соответственно узловых, включая устранимые узлы, и контурных уравнений), то число элементов в каждом слагаемом узлового определителя (которые входят в виде сомножителей) в 2 раза больше, чем в каждом слагаемом DC*. Отсюда также следует, что в данном примере число операций умножения в контурном определителе DC* значительно меньше числа операций в определителе DK

2-5. Топологические формулы и правила для определения передачи электрической цепи

Для определения входных и взаимных сопротивлений, проводимостей и коэффициентов передачи токов и напряжений по существу, как уже было показано, приходится в каждом случае въптлцтъ отношение тока или напряжения, измеряемых соответствующими приборами, к напряжению или току источника. Для расчета часто целесообразно пользоваться соответствующими разложениями (2-21) или (2-30), причем можно установить связь между значениями эгих определителей и условиями, налагаемыми приборами и источниками на режимы цепей в зависимости от определяемых величин. С этой целью следует ввести в схему вегвь с источником И и ветвь с измерительным прибором Пр. Если в рассматриваемой цепи имеется несколько источников и приемников, то сначала рассматривается только одна пара (Я,- и Пр,), а затем поочередно все другие возможные сочетания; для определения соответствующих величин можно пользоваться принципом наложения.

Предварительно введем некоторые дополнительные понятия.

Передача Н (коэффициент передачи, взаимное сопротивление или проводимость) - отношение показания измерительного прибора Пр к напряжению или току источника Я; путь передачи - путь, состоящий из двух узлов источника (ветви с источником), ветвей схемы и ветви с измерительным прибором (при определении входного сопротивления или входной проводимости в путь передачи ветви схемы не входят); значение пути передачи равно произведению проводимостей -го пути передачи, при этом проводимость измерительного прибора считается равной единице; знак Щ принимается положительным (отрицательным), когда ток в ветви измерительного прибора -го пути, обусловленный заданным направле-нисмтока и.ш напряжения источника, сгре.митсн вызватьно.тожит^ль-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов