Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Аналогичный смысл имеют остальные слагаемые. Разложение определителя D(y> по формуле (2-21) называется разложением по узлу или по избыточным членам главной диагонали (по избыткам), а разложение по формуле (2-15) называется разложением по ветви.

Как указывалось, для определения входных или взаимных сопротивлений, проводимостей или коэффициентов передачи токов и напряжений можно пользоваться не только узловыми, но и контурными уравнениями. В последнем случае приходится вычислять определитель контурных сопротивлений D* *.

Покажем, что структура контурных уравнений позволяет во многих случаях пользоваться для разложения определителя D формулами, аналогичными (2-15) и (2-21).

В определителе DW системы независимых контурных уравнений

Гц fn Гц . . . Гхк 21 / ii fil fiK

Ill Гц fa fiK

(2-22)

IkI )к2 kI 1kk

собственное сопротивление r каждого контура записывается на главной диагонали и всегда равно сумме сопротивлений ветвей, входящих в соответствующий контур. Представим Гц в виде Гц = = Гг + rl, где fi - сопротивление одной из ветвей, тогда определитель D можно представить в виде

Г12 Гц

о о

Гы Гчк Г1к

Гк2 ... о ... Гк

г а

Глк Г2К Г1к

Гк1 кг Гк1 . . . Гк

= rtDi + D, (2-23)

где минор Dl получается из (2-22) вычеркиванием 1-й строки и /-Г0 столбца и соответствует электрической схеме, в которой ветвь с сопротивлением разомкнута; определитель получается из (2-22) при сопротивлении ri = О, что соответствует схеме, в которой ветвь с сопротивлением ri закорочена. Поскольку 1-й элемент находится на главной диагонали, то минор Di всегда имеет положительный знак.

Для иллюстрации применения формулы (2-23) рассмотрим разложение определителя схемы, показанной на рис. 2-1:

{г1 + Гх-{-г-,) -Га -Г4 -Tj -Г^ {Г^+Г1+Ге1 -

(2-24)



в этом определителе сопротивления г^, и Гд входят в диагональные элементы в качестве избыточных слагаемых. Следовательно, в соответствии с уравнением (2-23) разложение определителя можно выполнить по формуле (2-19) после простой замены проводимостей соответствующими сопротивлениями:

+ rriDl, + rrrDia + D\ (2-25)

где D = 0, поскольку этот определитель получается для схемы при r-i = Гз -= О, Daa = 1, так как значение этого определителя находится при == = Гд = оо (размыканпе ветвей с сопротивлениями Гх, г2 и Гд).

Каждому слагаемому (2-25) соогветствует определенная схема, которая легко получается из основной путем наложения условий



Рис 2 П

Рис 2-14.

на сопротивления ветвей связи, входящих в независимые контуры. Например, ымнору соо1ветсгвует схема, полученная из схемы рис. 2-1 при г- = оои Гз =-з = О (рис. 2 = 13), для которой получается:

(5 + в) - б

Минору соотвегствует схема, на рис. 2-14, полученная из схемы рис. 2-1 при ri = = °°. = 0. Для этой схемы Dh = ~ ii + б)- Аналогично находим остальные составляющие выражения (2-25); в результате получим:

DC) = (1 4- г + з) {г^Гь -i- Г5Г6 4- rr) -f (Ге + r) +

4- rr (Г4 4- Гь) + ГзП {Гь 4- /-б) + Ггг.гз. (2-26)

Выражения, определяющие разложения определителей D и /5<, связаны между собой довольно простым соотношением:

или

D< = D( w3...r,; D<) = DC gig,g3...g.,

(2-27а)

(2-276)

Де проводимость каждой ветви g, = \lr,\ в - число ветвей. Например, чтобы получигь разложение определигеля D<y> для схемы рис 2-1, достаточно умножкгь уравнение (2-26; на произведение



У4 9,

4 5

проводимостей всех шести ветвей:

4- (Г4 4- б) 4- Г2Г3 (ri 4- б) 4- Г3Г1 [Гъ 4- б) + гхг^гз] ggigsgige =

= (gi + gb + ge) {glg2 4- g2g3 + gsgl) 4- ёГ4ёГ5 ig2 + g3) 4-

4- §-56 3 4- gi) + g<igi (gi + g2) 4- gigbge (2-28)

Подчеркнем, что число слагаемых в определителях Dt и D* для одной и той же схемы одинаково.

К числу топологических понятий, которыми пользуются при анализе цепей, относится дерево. Для количественной характеристики дерева удобно применять произведение проводимостей его ветвей.

Определитель определенной матрицы узловых проводимостей D равен сумме произведений проводимостей ветвей каждого дерева. Например, определитель схемы рис. 2-15 состоит из 16 слагаемых: gigig, gigng,; gigg; g2gsgi и т. д. Для схемы, имеюш,ей форму полного многоугольника с у узлами, число деревьев d = у^. Например, для схемы полного пятиугольника d = 5 = 125, а для мостовой схемы (рис. 2-15) 42 jg Если схема имеет вид неполного многоугольника, то для определения числа деревьев надо найти численное значение oпpeдeлитeляD(У>, каждый элемент которого принят равным единице. Например, для схемы, показанной на рис. 2-16, определитель

(gl 4-4) -gi О

- gi {gl+g2+g3) -g2

о -g2 (gi+gb)

где вершины 1 н 3 приняты в отличие от приведенного ранее определения узла за узлы схемы, что не нарушает обш,ности полученных выводов. Приняв проводимость каждой ветви равной единице, найдем число деревьев:

2-1 О

Рис. 2-15.

(2-29)

-1 3 -1 0-1 2


Действительно, количественная характеристика каждого дерева равна произведению проводимостей одинакового числа ветвей, или по- Рис 2-16. рядку определителя. Это произведение численно равно единице, так как проводимость каждой ветви принята равной единице и число деревьев в указанной схеме равно 8 *. Деревья

* Число деревьев в схеме можно найти также, зная узловую матрицу сое-диненияветвей А; определитель произведения матриц АА равен числу деревьев (см. например, ЦТ. Ш, с. 1351)1 ~



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов