Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 [ 232 ] 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Дифференциальное уравнение переходного процесса в этом случае известно (§ 13-9):

1 = 0.

(25-39)

dt т LC

Обозначая i = х, dildt = у и MLC = ©о. получаем: или после интегрирования

-f 0)x2 = 2, (25-40)

где /г - постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.

Уравнение (25-40) на фазовой плоскости изображается семейством эллипсов (рис. 25-15,6), причем вертикальные оси эллипсов равны 2k, а горизонтальные 2/г/(Оо. Полученные эллипсы соответствуют незатухающим синусоидальным колебаниям. i i . Амплитуда колебаний тока л

равна полуоси эллипса, на- уф

и

)1стоача8ыи\\

дзел \


Устойчивый, tpoxyc

Устойчивый узел

Рис. 25-14.

Рис. 25-15.

правленной по оси абсцисс, а частота равна отнощению вертикальной полуоси к горизонтальной.

Так как при t = О задано i = Iq и Uq = щ, то фазовая траектория проходит через точку с координатами х = i и у = dildt = = [u - Uq)IL, а амплитуда колебаний тока

(25-41)

В реальном колебательном контуре всегда есть некоторые потери и сопротивлением г нельзя пренебречь. За период колебаний амплитуда тока уменьшается и фадовые траектории имеют вид спиралей, завивающихся вокруг начала координат.



Так как за один период колебаний = 2л/(0д st; 2я VLC g контуре теряется энергия

AW \ {Iт sin a>ot)г dt = -Il.rTо, о

а общая энергия, запасенная в контуре, W = L 2, причем lWW, то отношение радиусов двух соседних витков равно:

Полученное выражение справедливо только при г < l/L/C, когда при подсчете потерь AW можно пренебречь уменьшением амплитуды колебаний за один период. В общем случае колебательный процесс описывается уравнениями (13-55) и (13-56), которые являются параметрическими уравнениями спирали. Отношение

(t + Tg) к (t) представляет собой величину, обратную декременту колебания (см. § 13-12).

По мере увеличения сопротивления шаг спирали увеличивается и при г > 2 ]/L/C = семейство спиралей вырождается в семейство параболических кривых, проходящих через начало координат.

Фазовые траектории при / < г^р и г> г^ изображены на рис. 25-15,6 и г.

Если сопоставить фазовые траектории для трех различных значений г (рис. 25-15), то можно отметить некоторые общие свойства этих кривых. Все кривые пересекают ось х под прямым углом с переменой знака dyldx. Во всех трех рассмотренных случаях имеется только одна точка равновесия, лежащая в начале координат, однако характер равновесия различный.

При г = О равновесие наименее устойчршое. Достаточно бесконечно малого отклонения от точки равновесия, чтобы начался незатухающий колебательный процесс с бесконечно малой амплитудой колебания. При этом представляющая точка совершает периодические движения по орбите с центром в точке равновесия. Точка равновесия такого типа называется центром.

При г < Гкр все процессы, возникающие в цепи, - колебательные затухающие и представляющая точка после любого принужденного отклонения от равновесия возвращается в исходное положение равновесия, совершая при этом несколько оборотов вокруг точки равновесия. Такого рода точка равновесия называется устойчивым фокусом.

Если г> г,:р, то представляющая точка, возвращаясь апериодически в состояние равновесия, движется по параболе и не совершает более полуоборота вокруг начала координат. Точка равновесия такого типа называется устойчивым узлом.

При построении фазовых траекторий процессов, описываемых Дифференциальным уравнением второй степени, удобно пользоваться методом изоклин. Изоклиной называется геометри-



ческое место точек, в которых касательные ко всем интегральн кривым (возможным фазовым траекториям) имеют одинаков наклон. Если известно ceMeficTBo изоклин, то фазовые траектоп хюгут быть построены геометрическим путем без дополнительнпг

анализа.

ьного

(рнс

Пример 25-3. Построить фазовые траектории цепи г, L, С при г <- 25-15, а) методом изок.пин. р

Решение. Дифференциальное уравнение цепи (см. § 13-9) dH г di , \ .

dF + тж+x-

(24-J3)

Обозначив r/L = 2Р и применив ранее принятые обозначения ( = х, di/dt = у и \/LC= cog, получаем:

dy/dt + 2f,y + ioix=0. (25-44)

Если dy/dt заменить через 7 = У' исключив время в уравнении

(25-44), получим:

2р(/ + юГХ У

(25-45)

Так как Во всех точках изоклин должно выполняться равенство

dt dx = con = e,

то уравнением изоклины является

У = -

6 + 2Р

(25-46)

Изоклины представляют собой семейство лучей, про.ходящих через начало координат. Наклон этих лучей зависит от параметров контура и наклона 6 касательных к интегральным кривым в точках их пересечения с данной изоклиной.

Из последнего уравнения следует, чго ось X является и.зоклииой с 6 = оо, а ось у совпадает с изоклиной 6 -2Р. Уравнение изоклины 6=0, называемой изоклиной горизонтальных касательных, имеет вид: у = - <И' Х/2Р, следовательно, она лежит во втором и °~ Р четвертом квадрантах.

Полагая 6 = -±: 2пР, где п - целое число, получим семейство изоклин, представленных на рис. 25-16. Здесь короткими штрихами показан наклон интегральной кривой к изоклинам.

Проводя интегральные кривые так, чтобы они пересекли кажДУЮ изоклину под соогвегствующим утлом, получаем фазовые траекторий переходных процессов. На рис 25-16 показаны две фазовые траектории для разных начальных Условий (точки 1 и Og).


Рис. 25-16.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 [ 232 ] 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов