э д с El Измерив вольтметром напряжение f/j = Ei на зажимах источника э д с и амперметрами токи h, 4 и /3 в трех ветвях, нетрудно вычислить входную и взаимные проводимости и сопротивления ветвей по формулам

g-ii = /i/i=l/ru, g-3i = /2/t/i=l 2b g3i = h/Ui=l/r3i.

Аналогично определяются входные и взаимные проводимости и сопротивления других ветвей

Пример 2-2. Определить входные и взаимные проводимости ветвей схемы рис 2 7, а, если / i = / а = 4 = 6 = 4 Ом, /-3 = 2 Ом

Решение Для определения входной проводимости gn и взаимных проводимостей между первой и остальными ветвями положим э д с £3 и £5 равными нулю (рис 2 7, б) Затем можно задаться э д с £i и найти все токи Однако для данной схемы проще задать ток в ветви с сопротивлением г4 или г^, например = 1 А, и найти необходимую э д с £i и токи в остальных ветвях

Рис 2 7

Так как сопротивление = г- , то = и = + = 2 А Напряжение на зажимах сопротивления

U = r,i: + rsf, = i + i==S В,

ток Г, = Щ/г^ = 8/4 = 2 А, ток /; = -f- /; = 2 + 2 = 4 А и э д с , при действии которой ток / = 1 А, а остальные токи равны найденным значениям, £i == (/ + ri/[ = 8 + 4 4 = 24 В

Входная проводимость gn первой ветви равна отношению тока к э д с.

gji=/J/£i = 4/24 =1/6 См

Взаимные проводимости между первой и остальными ветвями

ft2=g2i = /y£i= 112 См, 1з = Й1 = /з/£1= 1/12 См,

gi4 = g4i = /4/£i=l/24 См, gi, = 5i = /J/£i=l/24 См

Аналогично определяются входные и взаимные проводимости остальных ветвей

gii = gas = gii = go. = 1/6 См,

g23 = g32=g34 = gl2 = g25 = g53 = g45 = g54= 1/12 СМ

Пример 2-3 В условиях предыдущей задачи (пример 2 2) определить токи во всех ветвях, если э д с £] = 24 В, £3 = 12 В и £5 = 24 В

Решение Зная входные и взаимные проводимости ветвей, легко определить Б них токи, пользуясь принципом наложения

/i = gii£i-gi3£3-gi5£6 = (l/6) 24-(1/12) 12--(1/24) 24 = 2 А;

h==g%iEi + g23E3+g4bEb= А л-лил^ --------

Входные и взаимные проводимости и сопротивления ветвей в общем случае для более сложных схем целесообразно представить в виде отнощений узловых или контурных определителей п их соответствующих алгебраических дополнений.

Для мостовой схемы (рис. 1-22, а) взаимные проводимости между ветвями, например с проводимостями и gis, g и g, определяются при помощи выражений (2-7) и (1-39) соответственно по формулам

El El El D<y й1ё1зд,у,

ha fisgis Eigigjs Di2 Di2

Ei~ El ~ El D(y) -Sigaa.y)

(2-9)

где Dii получается, как отмечено выще, из (1-38) путем вычеркивания первой строки и первого столбца, а Dig находится из того же определителя (1-38) вычеркиванием первой строки и второго столбца и умножением полученного выражения на (--1) = -1.

Важными параметрами, характеризующими режим электрической цепи, являются коэффициенты передачи напряжения и тока. Эти параметры чаще всего применяются для характеристики цепей с одним источником э. д. с. или с одним источником тока при передаче сигналов. Коэффициент передачи напряжения определяется отношением напряжения на зажимах приемника к напряжению источника э. д. с, действующего в цепи; коэффициент передачи тока определяется отношением тока в приемнике к току источника тока в цепи. Эти величины также могут быть выражены через узловые или контурные определители и их соответствующие алгебраические дополнения.

Например, для схемы рис. 1-23, а, пользуясь уравнениями (1-42), легко определим напряжение = фз по формуле

2=Ф2=1) , (2-10)

где алгебраическое дополнение D42 = - gi (gt + gn) (gs + gs2 + + gsd -giigis (gs + gsi) -giigisgsi получается из (1-43) путем вычеркивания четвертой строки и второго столбца. Коэффициент передачи напряжения

1С 2 (-Elgi) п -gl042 /9

Аг72 ---EiDVi *2 - о,у, (-lij

Если в схеме рис. 1-22, а источник э. д. с. заменить эквивалентным источником тока Ji = Eigi (рис. 1-22, б), то, пользуясь этой эквивалентной схемой и уравнением (2-10), можно определить коэффициент передачи тока во вторую ветвь по формуле

2-4. Применение топологических методов для расчета

цепей

Ранее было показано, что для определения входных и взаимных сопротивлений и проводимостей схемы, а также коэффициентов передачи напряжений и токов приходится в общем случае вычислять определители системы узловых уравнений.

Такие определители для разветвленных цепей обычно содержат, как уже было отмечено, большое число одинаковых членов с разными знаками, которые выявляются, как правило, только в конце преобразований и сокращаются.

Таким образом, пpeдcтaвляef не только теоретический, но и большой практический интерес знакомство с некоторыми способами разложения узловых и контурных определителей при полном или частичном отсутствии лишних отрицательных и равных им положительных слагаемых. Рассмотрим несколько способов такого разложения и установим между ними связь.

Для электрической схемы, имеющей у + 1 узлов, при у. = О, запишем определитель узловой проводимости;

gn g22

glj glj

glu giy

gil g,2

glj giy

gyi gyi gyi gl

(2-13)

Пусть проводимость между узлами i и / равна сумме проводимостей двух ветвей

gi,=g4+g4-

Тогда определитель (2-13) можно представить в виде суммы

gn gl2 О ... giy

gn g22 ... О ... gy

g.l g,2 gll . g,y

gyl gyZ 0 ... gyy

gn gl2 ... glj gly

gn g22 ... gi) g2y

ga g,2 ... gil ... g,y

hi gyi gyj gyy

g:p,j + DK (2-14)

В этом выражении алгебраическое дополнение D,j получается из (2-13) вычеркиванием t-и строки и /-го столбца и умножением на (-1) *>. Оно соответствует электрической схеме, в которой ветвь с проводимостью gj закорочена; определитель получается из (2-13) при gl = О, что соответствует схеме, в которой ветвь с проводимостью gl, разомкнута. Очевидно, что разложение