Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [ 161 ] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

:ой цепи, она должна быть положительной вещественной функцией обладать четвертым свойством.

Сказанное относится к любым пассивным двухполюсникам, содержащим не только реактивные, но и активные сопротивления.

17-4, Реактивные двухполюсники

В частном случае реактивных двухполюсников входные функции I (р) и Y (р) - положительные вещественные и обладают рядом дополнительных свойств.

1. В соответствии со сказанным вьше степени лит полиномов G (р) и Я (р) числителя и знаменателя в (17-5) не должны разниться больше чем на единицу. Но в данном частном случае, кроме того, степень р каждого из последующих членов G (р) и Н (р) меньше степени предыдущего на две единицы.

Для доказательства этого положения выразим .входной ток ti реактивного двухполюсника через его входное напряжение (Ji = £\, пользуясь методом контурных токов (§ 1-8):

2u=j~, (П-12)

где = - входное сопротивление двухполюсника! D - определитель цепи, состоящей из п контуров (и, следовательно, имеющий п строк и п столбцов), а Лц - его алгебраическое дополнение, т. е. определитель п - 1 порядка.

В каждом элементе D и А содержатся (в случае реактивного двухполюсника) реактивные сопрогивления вида

T e. в каждом элементе определителя есть мнимый множитель со и вещественный (записан в скобке) Вынесем со за скобки из всех элементов определителей D н Л„; тогда получим:

или

где D, и Лцп - вещественные.

Элементы этих определителей имеют вид:

Раскрывая определители Dq и Лцо и группируя в них члены с одинаковыми степенями ю, получаем в числителе и знаменателе Хп ( ) полиномы вида

--Х^Ш- , , 11/ 14)



откуда II следует утверждение, что для реактивного двухполюсника, в каж^о,-ветви которого имеются L н С, наивысшие степени полиномов числителя и зцд' менателя разнятся иа единицу (2п и 2/г - 1) и что степень ю у каждого из после^ дующих членов полиномов числителя и знаменателя меньше, чем у предыд, щего, на две единицы.

Переписывая (17-14) в операторной форме и вводя 1>, (р) вместо (<а) получаем:

7 /,л Gjp) ....... аор^ + а^р' - + + а^п-Р^ + а-т nyus

Находя корни полиномов числителя и знаменателя xyi относительно OD и обозначая нх cof, соз, со -] для числителя и 2 для знамеЯателя, получаем:

ар (со-(о^)((о^-со)...(ю^-ю. )

Ь„ (о((о2-(о|)((о^-ю|)...((о2-ю| ,) -)

Полагая Я = fl-Qo. получаем формулу, известную под названием теоремы Фостера. При значениях ю^, равных корням знаменателя, будем иметь полюсы входной функции х^у^ (со) (аналогично резонансу токов в простейшей цепи), а при значениях со, равных корням числителя, - нули входной функции лгвх ( ) (аналогично резонансу напряжений в простейшей цепи).

Переписывая (17-15) в операторной форме и вводя Z (р) вместо

(со), получаем:

Z (у) ° (p-+ 0(P- + 40-(p--+ i.-T) .17.13

p(p + co,(p-fco)...(p + co .,) -2)

2. Для реактивных двухполюсников х^ (ы) всегда возрастает с ростом частоты, т. е.

dxJd(o>0,

откуда вытекает свойство чередования полюсов и нулей х^ (со). Простейший пример чередования был уже получен в § 5-5 для кривой X (со): вслед за полюсом (при со = со,.) следовал нуль (при со сОц); кроме того, для всех со (О со оо) выполнялось неравенство dx/dco > 0. Для всех схем, которые рассматриваются ниже, это положение будет подтверждено.

Сопротивление х^х, увеличиваясь, например, от - с (полюс функции), проходит через нуль (нуль функции) и, продолл<ая увеличиваться возрастает до -]- с (снова полюс функции). Затем х^к скачком изменяется от оо до - оо и процесс повторяется так, что dxJdoi > 0. Те же рассуждения остаются справедливыми, если х^ начинает увеличиваться с нуля. Отметим, что х^х меняет знак при каждом переходе через нуль и через полюс.

Таким образом, в силу чередования нулей и полюсов функции Хе% для корней ее числителя и знаменателя имеем:



Для доказательства этото положения в общем случае предположим, что двухполюсник имеет п реактивных ветвей Для любой (-й ветви, содержащей индуктивность L, и емкость С имеем

a:, = coL,- 1/(вС, и dxJd<i) = Li-

>0.

Но входное сопротивление двухполюсника Xgx (о)) зависит от сопротивлений д. (со) всех ветвей Поэтому

dxx (ю)

Завх (w) dx

1 = 1

Для доказательства нужно еще показать, что

do3

(17-16)

> О Пу сть ко входу

двухполюсника подключена э д с (рнс 17 8) Выделим люб}ю г-ю ветвь и, применяя теорему компенсации, заменим

ее сопротивление !Х,э д с £, = -/д;,/, jj

(знак минус объясняется совпадением положительных направлений э д с £,

и тока /,) На основании принципа надо- j, .

жения определим токи /i и /, Су i=~jbh

Рис 17-8

где все проводимости Кц, Кц, К^, и К; не зависят от сопротивления /д; т е

остаются постоянными при его изменении Подставляя вместо его значение - jxji и исключая из уравнения (17-17) ток / получаем

1УиУаХг \

(17 18) (17 19)

дхх У1,

дх, [Уп + 1(УпУп-УЬ)хА-

(17 20)

Так как рассматривается реактивный двухполюсник, то все собственные и взаимные проводимости чисто мнимые, т е К = -]Ь Окончательно получаем

дх, 1Ьи + ФпЬп-Ь{,)х,] что и доказывает высказанное положение

т>о.

(17 21)

17-5. Частотные характеристики реактивных двухполюсников

В зависимости от расположения нулей и полюсов возможны четыре типа частотной характеристики многоэлементного реактивного двухполюсника.

1. Частотная характеристика с двумя внешними полюсами (рис. 1/-9), называемая характеристикой оо - сю. В этем-елучав=



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 [ 161 ] 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов