де Га - диагональная матрица сопротивлений ветвей;

В' - транспонированная матрица соединения контурных сопротивлений.

Матрица соединения контурных сопротивлений В составляется -ак, что ее строки соответствуют независимым контурам, а столбцы - [етвям. На пересечении строки и столбца записывается ±1 или О пробел) в зависимости от того, входит или не входит данная ветвь I соответствующий контур; положительный знак принимается в том У1учае, если направление ветви совпадает с направлением обхода юнтура, а отрицательный знак - если не совпадает. При этом 1аправление обхода каждого контура примем совпадающим с поло-кительным направлением соответствующего контурного тока, а на-травления ветвей - с положительными направлениями токов в вет-

jhx.

Для получения независимых контуров следует сначала выбрать lepcBo схемы, что в свою очередь определяет ветви связи, а следо-зательно, и контурные токи.

Для иллюстрации рассмотрим схему на рис. 1-27, а с выбран-тым деревом из четвертой, пятой и щестой ветвей (рис. 1-27, б). В этом случае независимые контуры содержат контурные то-<и II, /о и что соответствует первой, второй и третьей ветвям :вязи.

Матрица соединения контурных сопротивлений В состоит из грех строк и шести столбцов:

Диагональная матрица сопротивлений

Гх О О О О О

О О О О О

О О Гз О О О

О О О Г4 О О

О О О О Г5 О

О О О О О

Произведение матриц В и равно:

Г1 О О г,

О О

о о

О -г, О

О

Квадратная матрица контурных сопротивлений определяется по формуле (1-66):

rW = BrrfB =

0 о

1 о о 1 о -1

1 -1

О/ 1

{rx-\-ri + rz) -Г5 -Г4

- 5 {г г -\-Гь + г^) - Ге

- ri Гб (з + г^ + Гц)

Матрица-столбец контурных токов

/з

Матрица-столбец контурных э. д. с.

Ex-Ei Е'= -Е, Es + Ei

Пользуясь уравнением (1-64), матрицами г' , Г и Ef\ легко получить уравнения (1-53).

Подчеркнем, что матрица токов ве;твей ! легко определяется через матрицу контурных токов V по формуле

Ь = В^1М. (1-67)

Например, для схемы рис. 1-27, а

he he he he I.

hK J 3K

1 -1 0 1

Из этого матричного уравнения сразу получаем равенства, определяющие токи ветвей через контурные токи:

he = hn, ha-hn, Iae~hK] /4* = Ik ~/з ,

he - 1 iK hr,-he~ hn - hif---

в дальнейшем индексы в у токов ветвей и индексы k у контурных токов в алгебраических выражениях, как правило, будем опускать,

В заключение подчеркнем, что все соотношения между токами ветвей и контурными токами для схем, показанных на рис. 1-27, а-в,

легко получить из графов, построенных соответственно для этих схем на рис. 1-30, а--в. При этом деревья графа изображены на рис. 1-30, б и б сплошными линиями, а ветви связи - пунктирными.

1-9. Уравнения состояния цепи в матричной форме

Пользуясь матрицей соединения узловых проводимостей ветвей А и матрицей соединения контурных сопротивлений В, а также законами Кирхгофа, можно получить узловые и контурные уравнения, определяющие электрическое состояние цепи в матричной форме; при этом попутно получаются выражения для определения матрицы узловых проводимостей (1-49) и матрицы контурных сопротивлений (1-66).

Первый и второй законы Кирхгофа запишем в матричной форме:

АЬ = 0;

ви.=о.

(1-68)

де Гв - матрица-столбец токов ветвей схемы;

Ue - матрица-столбец напряжений на зажимах ветвей той же схемы.

Пользуясь уравнением (1-67), представим первое из выражений (1-68) в следующем виде:

ABIW = 0.

(1-69)

Полученное выражение справедливо при всех значениях I , поэтому ART = О чля любой залянной электрической цепи.