Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [ 144 ] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

15-4. О переходе от преобразований Фурье к преобразованиям Лапласа

Выше было показано, что если оригинал - функция / (i) абсо-лютно интегрируемая в бесконечных пределах, то с>ш,еств>ет прямое и обратное преобразования Ф;урье

f (/(0) -\e-fif)dtF{fii)}; (lG-36)

о

Но если функция / (/) не является абсолютно интегрируемой в бесконечных пределах, го интегралы (15-36) и (15 37) не с\щестЁ;уют и преобразованиями Фурье или нельзя пользоваться, или можно пользоваться с очень большой осторожностью, производя все время проверку результатов, формально полученных с их помощью

В этом случае целесообразно перейти от функции / (/), не интегрируемой абсолютно, к другой функции fi (/), интегрируемой абсолютно в бесконечных пределах при помощи соотношения

Д(0=/(Ое--Ч (15-38)

где Оо > О и / > О

К функции /i (/) можно применять преобразования Ф>рье (15-36)

Fi{ju)- \ eifx(t)d.t e-( )/(Oй'/-f (ого-f/со). (15-39)

Полагая в (15-39) р Од + /и, т е вводя новое комплексное переменное р, будем иметь

F{p)-\ePn{t)dtL{f{t)], \l5-40)

о

т е прямое преобразование Лапласа для функции / (г).

Применив к функции Д {t) обратное преобразование Фурье и учитывая соотношения (15 38) и (15-39), получаем

-оэ ~ со

/i(0-/(0e- = 2! e fi(Hdco- J е/ Г(оГо4 /со) dco,

-со -00

-foo

eg + / ><ffe4ico)rfco.



1-[роизведя в (15-41) ту же, что и выше, замену переменных, т. е. = (То + и dp = jda, получаем:

(0=2я7 S ePf (Р)Ф = Ь~М^(Р)}. (15-42)

Оо - /со

е. обратное преобразование Лапласа для функции / (f). Таким образом, если функция / (/) не интегрируема абсолютно 0 бесконечных пределах и не может быть преобразована по Фурье, следует перейти к преобразованиям Лапласа, которое применимо к функции / (/), не интегрируемой абсолютно в бесконечных пределах.

Это позволяет рассматривать преобразования Лапласа как обобщение преобразований Фурье.

15-5. Сравнение различных методов расчета переходных процессов в линейных электрических цепях

Сопоставим достоинства и недостатки расчета переходных процессов классическим методом, различными вариантами операторною метода и методом интеграла Фурье.

В цепях с характеристическим уравнением первой или второй сгепсни трудности расчета невелики и примерно одинаковы, каким бы методом ни производить расчет Классический меюд в этих случаях даже несколько проще Чем выше степень характеристического уравнения, тем больше уравнений нужно решать совместно при определении постоянных ишегрирования и тем больше возрастают трудности расчета при пользовании классическим мето,дом. Для разветвленной цепи с характеристическим уравнением выше четвертой или пяюй степени расчет классическим методом представляет известные трудности из-за сложности определения четырех и болсе постоянных интегрирования

Отметим, что если цепь представляет собой полный многоугольник, т е каждый узел связан ветвью со всеми остальными узлами, то трудности определения постоянных интегрирования, свойственные классическому методу, возрастают с увеличением числа узлов и степени характеристического уравнения. В более простых цепях, когда не все узлы связаны друг с другом, часто можно значительно уменьшить число уравнений, которые нужно решать совместно В особенности это касается цепей с двумя у.злами В последнем случае, как и в ряде других, разумно ввести в рассмотрение тютенциалы узлов.

Таким образом, если степень характеристического уравнения выше четвертой - пятой, классическим методом пользоваться менее целесообразно, а нужно пользоваться одним из вариантов операторного метода

Пере.ходя к операторному методу, сравним два варианта - расчет переходных токов по теореме раздожения и расчет свободных токов тю нх изображениям

При расчете операторным методом не нуясно определять постоянные интегрирования из начальных условии решением как:ой-либо-~системы уравнений Кроме того, при расчете изображений в эквивалентных операторных схемах ожно пользоваться всеми ранее известными методами расчета цепей при устано-ВДащихся режимах. Эти два момента и определяют достоинсгва операторного етода к недостаткам операюртюго метода надо отнести утомительность вычис- ния слагаемых сумм в теореме разложения. Если при расчете по теореме раз-

-оженир-тхопяду-я- грзяу геаеходные токи, m из-га ладяаид штешних э. д с

г'фмонических с разными частотами и экспоненциальных с разными коэффици-



ентами затухания) усложняются многочлены (р) и F2 (р) в составе изобрах^ ния какого-либо тока / (р) = Р^ (р)/р2 (р) илн напряжения Если, наприме,~ цепь содержит три гармонические э д с разной частоты, то число слагаем^ в теореме разложения больше степени характеристического уравнения по край ней мере на три Кроме того, все изобралгения усложняю1СЯ за C4ei внутренних (расчетных) о Д с L( (0) и -{0)/р Отметим также, что обычная форма теоре^ц^ разложения (14-10) неприменима при наличии кратных корней

Подчеркнем, что расчет по теореме разложения возможен и для всех таких внешних э д с , изображения которых являются отношением двух целых трансценденшых функций

Расчет операторным методом только свободных токов по их изображениям целесообразен тот да, когда действует ряд различных по характеру внешних э д е (гармонических с разными частотами, экспоненциальных с разными коэффици. ешами затухания и т д) В эквивалентную операторную схему для свободных токов внешние э д с не входят, что существенно упрощает изображения токов и напряжений Однако для определения внутренних (расчетных) э д с необходимо знать режим до коммутации и принужденный режим после коммутации. Поэтому рассматриваемый вариант операторного метода применим в тех случаях, когда внешние э д с имеют простую форму изменения (гармоническую экспоненциальную, постоянную) и принужденные токи сравнительно легко найти.

Расчет переходных процессов методом интеграла Фурье очень близок к расчету операторным методом и характеризуется теми же достоинствами и недостатками Метод интеграла Фурье целесообразно применять для расчета переходных процессов в заданной системе в том случае, если для исследования каких-либо других процессов в ней уже применяются частотные методы, аналитическим аппаратом которых являются преобразования Фурье К таким системам относятся, например, линейные системы автомашческого регулирования, для которых необходимо исследовать устойчивость при помощи одного из геометрических критериев, исследовагь качество регулирования и полностью рассчитать какие-нибудь переходные процессы Этот метод целесообразно применять при приближенном расчете переходных процессов по вещественной частотной характеристике, особенно когда амплитудная и фазовая частотные характеристики входного сопротивления или проводимости получены экспериментально В этих случаях метод интеграла Фурье имеет преимущества перед операторным Заметим, что пользуясь операторным методом, входные или взаимные операторные проводимости можно только рассчитать и нельзя получить опытным путем Проводя же расчет методом интеграла Фурье, получив экспериментально характеристики входных или взаимных проводимостей, имея э д с е (О и найдя частотный спектр Е (/ш), можно графически найти частотный спектр тока / (/со) и построить его вещественную или мнимую частотные характеристики Далее, применяя метод трапеций, можно приближенно рассчитать переходный процесс

Если напряжение на зажимах пассивного двухполюсника дано кусочно-аналитической кривой, имеющей разрывы, расчет целесообразно вести при помощи формул Дюамеля При этом переходная проводимость g (t) или переходная функция у {t) находятся одним из известных методов

Отметим также, что при пользовании любым из указанных методов можно задачу расчета переходных процессов с ненулевыми начальными условиями свести к задаче с нулевыми начальными условиями (см § 14 5) Целесообразность этого приема нужно выяснить в каждом конкретном случае с точки зрения максимально возможного упрощения расчета

В заключение укажем, что операторный метод и метод интеграта Фурье весьма широко применяются в теории автоматического регулирования и при расчете переходных процессов в электрических машинах, а операторный метод и в некоторой мере метод интеграла Фурье - еще при расчете переходных процессов в цепях с распределенными параметрами, в то время как классический метод во всех этих случаях почти ие находит применения.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [ 144 ] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов