Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

эквивалентными источниками э. д. с, а затем ввести контурные токи и на основании второго закона Кирхгофа составить систему уравнений для их определения. Действительные токи в ветвях без эквивалентных источников э. д. с, заменяющих источники тока, определяются по первому закону Кирхгофа суммированием контурных токов; в ветвях заданной схемы, в которых на эквивалентной схеме включены источники э. д. с, учитываются и токи источников тока.

При расчете электрических цепей изложенным методом всегда стремятся к тому, чтобы число контурных токов, замыкающихся через каждую из ветвей, было по возможности минимальным. С этой целью обычно выбирают каждый контур в виде ячейки (на рис. 1-27, а три ячейки с контурными токами 1, 1 и /д), руководствуясь указанным выше правило.м выбора независимых контуров (дерева и ветвей связи) при составлении уравнений на основании второго закона Кирхгофа.

Положительные направления контурных токов можно выбирать и произвольно, т. е. независимо от положительных направлений токов в ветвях.

Установим теперь более общие, необходимые для дальнейших выводов соотношения между контурными токами, сопротивлениями и э. д. с. цепи произвольной конфигурации. Для схемы, имеющей к независимых контуров, уравнения, аналогичные (1-53), запишутся в виде

rnh + ruh + ... + ruIi + ... + riJ = Ei;

23+22/2 4- + гЛ 4- +гк/к = fa;

\ (1-58)

r,J 14- г,.,12 +... + rnl, + ... + riJ =E,; rIi 4 r 2h +... + +... + r == J

В этих уравнениях сопротивление вида Гц (с двумя одинаковыми индексами) называется собственным сопротивлением контура /, а сопротивление вида г^,; = ri (с двумя различными индексами) называется общим сопротивлением контуров Ink, Правые части уравнений (1-58) называются контурными э. д. с. Каждая из контурных э. д. с. вида El равна алгебраической сумме э. д. с. всех источников в ветвях контура /. Положительные знаки в каждом уравнении (1-58) должны быть взяты для токов и э. д. с, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода соответствующего контура.

В более общем случае, огда электрическая цепь содержит как источники э. д. с, так и источники тока, контурное уравнение для /-Г0 контура записывается в виде

fH-/jH- 1; О;/, = гу/,; = £ег, (1-58а)



где 2 обозначает собственное сопротивление контура /;

rij - общее сопротивление двух контуров / и /; Jii - ток источника тока, замыкающийся по сопротивлению Гу.

Рещая систему уравнений (1-58) при помощи определителей относительно любого из токов, например получаем;

J -F

где D - определитель системы уравнений (1-58), т. е,

Гц Гхч . Гц ... ri, Г21 r.2i . . . Г21 . . Г^к

(1-59)

fh2 fnl fK

(1-60)

Du, D,2, ... , Dig, ... , Di - алгебраические дополнения определителя D**, причем Dig получается из D* путем вычеркивания /-Г0 столбца и д-й строки и умножения полученного определителя на (-1)+?. Необходимо отметить, что сопротивления вида Гц и г^; нужно записывать в выражении (1-60) с тем знаком, который стоит перед соответствующим напряжением в уравнениях (1-58).

Подчеркнем, что прн соответствуюи;ем выборе контуров получится такая система контурных уравнений, определитель которой имеет аналогично определителю D*y> минимальное число слагаемых с отрицательными знаками (которые сокращаются с соответствующими положительными членами).

Для иллюстрации отмеченных положений рассмотрим схему на рис. 1-27, а, для которой справедлива, например, следующая система уравнений;

(Гг + г^ + г^) Ii-rl2-~rJs = Ei-Ei, r-Ji + (r2 + rb + r ) h - Гв/з = -£2;

1/1 + 2/2 + rsl3 = Ei -- Ei + Es,

(1-61)

где последнее уравнение получено простым суммированием первых трех; оно справедливо для внешнего контура, проходящего через ветви связи с сопротивлениями г^, и Гд. Совместное решение любых трех уравнений системы (1-61) определяет неизвестные контурные токи



Покажем, что система из первых трех уравнений дает определитель с большим числом слагаемых (до сокраш,ения), чем система, например, из первых двух и четвертого уравнений. Для первых трех уравнений определитель

D< > =

- г- (гз + б + г,) - Гб

- а -г^ {rz + ri-\-r)

(1-62)

Этот определитель после раскрытия имеет 38 слагаемых (до сокращения), из которых 22 попарно равны по абсолютному значению, но по знаку противоположны и сокращаются.

Для первых двух и четвертого уравнений определитель

(Г1 + /-4Ч

б) - Гь

(а+ 5 + б) -г^ Г1 /-3

= (i + -4+5) (2 +б) 3 +

+ ( i + ri) г^го, + rlr + ГзГб (г, + Г4 4- б) - г1гз + ГбГбГ! 4-

+ 4-б'2 + riVt (Гз 4- б + б) (1 -63)

в этом определителе только два слагаемых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку и сокращаются.

Для решения общей задачи расчета неизвестных токов во всех ветвях линейной электрической цепи можно выбрать один из двух основных методов расчета: узловых потенциалов или контурных токов.

Методом узловых потенциалов целесообразно пользоваться, когда число узлов схемы, уменьшенное на единицу, меньше числа независимых контуров у - 1 <; к, а методом контурных токов при г/ - 1 > к.

Матричные уравнения контурных токов. Уравнения контурных токов (1-58) с учетом (1-58а) можно записать в матричной форме:

r(<)Iw = Ef,

(1-64)

где г* - квадратная матрица контурных сопротивлений; 1(к) - матрица-столбец контурных токов;

Е(к) - матрица-столбец контурных э. д. с, учитывающая источники э. д. с. и эквивалентные э. д. с. от источников тока. После умножения уравнения (1-64) слева ча Ц г^ [[ получим:

I(k) = r(k)j-iEW. (1-65)

Покажем, что матрицу контурных сопротивлений г* можно получить непосредственно по схеме при помощи матрицы соединения контурных сопротивлений В:

(Ь66)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов