Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [ 139 ] 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

е-ъ I COS с, (-) 1-1 оэтому

/(T)COSC0ft(-T)dT -< \ \f{x)\dx.

пемляя 7 к бесконечности, заключаем, что если функция бсолютно интегрируема в бесконечных пределах (т. е. если

f iV -f со \

ен интеграл J l/WM > то конечное значение имеет также интеграл / W cos co - т) при любых со и t. При этом же

условии ,2

lim i \ /(т)Л = 0,

т е приближенно

сю +ет

f{t) 1УА(о I (т) cos coft (/ - т) dr. (15-2)

fe=l оо

Но так как Дсо - 2я/Т --> О при Т оо, сумма в правой части (15-2) переходит в интеграл, а приближенное равенство (15-2) - в точное (при этом Аю заменяется на doi, а дискретные значения частоты coft - на непрерывно изменяющуюся частоту со):

/ (t) da f (t) cos 0) (t - т) dx. (15-3)

Поскольку Тоо, то функция / {t), заданная на промежутке - 00 s::; / 4 оо, является уже непериодической функцией. Поэтому можно утверждать, что формула (15-3) представляет собой сумму бесконечно большого числа гармонических функций с непрерывно изменяющимися частотами со и бесконечно малыми амплитудами. В самом деле, выражение

dco / (т) COS &{t - x) dx

представляет собой бесконечно малую по амплитуде гармонику частоты (О Конечно, эта бесконечно малая гармоника частоты со может бигь найдена только по заданной функции / {(). Суммируя атем гармонические составляющие (внешний интеграл по со) Ри изченснии со от О до оо (т. е. учитывая все бесконечное г\шожест-гармоник с непрерывно изменяющ*имися частотами со),получаем заданную функцию / (/).

Рр ь1ми. стонами, непериодическая функция характеризуется не-Р рывным спектппм частот, в то время как периодическая функ--дискрешым,



Формула (15-3) называется интегралом Фурье в

неметрической форме. Отметим, что абсолютная интегрируемое функции / (/) в бесконечных пределах является для вывода форму J* (15-3) достаточным условием, но не необходимым.

Ввиду четности cos и {t - т) относительно со формулу (15-3) репишем еще в виде

-оо -оо

Подчеркнем, что при рещении электротехнических задач ran. МОНИКИ с отрицательными частотами физического смысла не имеют (см. также гл. 12). Однако введение их позволяет представить фун^, цию / (О вместо формулы (15-3) более симметричной формулой (i5.4)

Далее в силу нечетности функции sin со (t - т) относительно со аналогично (15-4) найдем, что

- со -(со

!i ® S /(T)sinco(/-T). (13-5)

-со -00

Умножая (15-5) на / и складывая с (15-4), получаем интеграл Фурье в комплексной форме, который часто значительно удобнее для расчетов:

-f ОС --со

/(0=-2S I 5 / (т) е^ -Чт. (15-6)

-СО -со

Если функция / (О задана на промежутке от О до оо, а на промежутке от - оо до О равна нулю, то соответственно

-f со со

dco / (т) COS со (/- т) dx; (15-7)

/ (/) i da е / / (т) dx. (15-8)

Внутренний интеграл с заменой т на (значение определенного интеграла ие зависит от того, как обозначена переменная интегрирования) может быть переписан так:

F (/оэ) =- \ е f (О dtFiiu) efiK (l

Комплексная ф}нкция частоты F (/ш) дает закон измененп комплексных амплитуд гармоник в зависимости от частоты со и н зывается частотным спектром (спектральной плотность с11ектральиой, частотной пли амплитудногфазовай-ха[--1актррнстико^ заданной функции / (t). Само соотношение (15-9) называется п р



ппеобразованием Фурье и обозначается еще f учетом (15-9) перепишем (15-8) так:

армонику частоты со, а выражение 2 Р il) е' d(u представляет бой гармонику с частотой со функции / (/). Эта гармоника выра- на в комплексной форме, имеет бесконечно малую амплитуду и *!зывается элементарной. Соотношение (15-10) называется обрат- ь1М преобразованием Фурье и обозначается F (/со)}. Сравнивая формулы прямого и обратного преобразований Лапласа (14-1) и (14-2) с формулами прямого (15-9) и обратного (15-10) преобразований Фурье (см. также приложение 3), заключаем, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, получается из него при /? = /со и применимо для более узкого класса функций / (/), что и было отмечено выше. Следовательно, частотный спектр F (/со) функции / (/) получается из ее лапласова изображения F (р) по формуле

F{j(o) = Fip)p. ,. (15-11)

Поэтому установленные в гл. 14 свойства преобразования Лапласа справедливы и для преобразования Фурье.

Выше было показано, что операторный метод, основанный на преобразованиях Лапласа, применим для расчета переходных процессов Поэтому и частотный метод, основанный на преобразованиях Фурье, может быть как частный случай операторного метода применен для тех же целей.

15-2. Законы Ома и Кирхгофа и эквивалентные схемы для частотных спектров

Рассмотрим цепь г, L, С (рис. 14-1), которая была подключена к источнику э. д. с. (/) и в момент / = О переключается к источнику э. д. с. e{f).

Найдем согласно (15-9) частотный спектр э. д. с. е {t):

Е (/со) = 5 (t) dt = E ip)p.j. (15-12)

о

Закон Ома для частотных спектров при ненулевых начальных - овиях получим из (14-17) при р = /со:

. £(;(o)+It(Q)- c(0)/;co

7) r + ,L + l/ic---()-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 [ 139 ] 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов