Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [ 136 ] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Для переходной матрицы состояния системы получим:

Zg-i-iei -2е-< + Зе-2-

Для первых свободных составляющих переменныхЧостояния будем

70) иметь

,св (О

= fx(0) =

Зе- -2е-2 -2е-< + 2е-21

- е- + 2е 2<

- е- + Зе-2<

1св(0!и^о=-~+2 ;

Далее на основании (14-66) наттдем сумму принужденных и вторых свободны составляющих переменных состояния:

sin т ат = \

7е~* е' sin т dr - 6е^2< .ат gj, f-j о о

7р- f sin xdx - 9г~ \ е^т sin т rft о О

3g- (i-T, 2е-2 (<-т) 2р- <-t) ]- 2е-2 (<-т, 3g- 3g-2 (/-Ti 2е- -)- Зе-2 (<~т)

sin X dx =

7 у G , 11 . , 23 1

e--e-2/ s,n/ cos

Суммируя полученные результаты, находим искомые значения переменных состояния:

7 б 11 23

1 (О = - е-* -Ь 2е~2 + Y в - + То 10 =

1 . . 23 , 5 . 4

-, + 3P-4-2e--e--lsin-iJcos =

Так как решение уравнения (14-43) было получено выше и ДЗ!? формулой (14-66), то для проверки правильности решения (14- и вычисления с его помощью матрицы пеэеменных состояния XU можно сначала непосредственной подстановкой (14-66) в у- 1, убедиться, что последнее при этом обращается в тождество. этого нужно только сначала вычислить х* (/), дифференияр^ (14-66). При этом получаем:

(14-71)

х(1) (0 = А^А/х (0) -f \ АеА(-)Ви(т) dt + Bu (О-

о



нетрудно непосредственно убед]гться, что (14-66) действн- шляется решенпем матрпчпого дифференциального уравие-тедь, лол

111Я ци, что переходная матрица состояния системы е* поз-найти в пространстве состояний, т. е. в пространстве, число Боляет которого равно числу компонент вектора переменных измере перемещение, начинающееся из некоторого пачаль- положения (при t = О или при / = т), причем вектор х (/) Ж11Т значительную информацию, так как одновременно описы- erVe переменные состояния, т. е. функции времени Xi (/), (/), ...

, Хп (О- Для того

чтобы непосредственно воспользоваться решением П4-66) и Ви1числить матричную экспоненциальную функцию e, е прибегая к обратному преобразованию Лапласа, следует, напри-

выполнить ее разложение в ряд:

= 1+а+аа;:+ааа„+...=

= I-fA + A;+A= J+...

(14-72)

При этом правую часть (14-72) нужно представить в замкнутой форме, чтобы ее вычисление могло быть произведено путем выполнения конечного числа операций, как, например, в формуле (14-70). Вычисление переходной матрицы состояния может производиться различными методами - методом разложения в бесконечный ряд, методом, основанным на критерии Сильвестра, методом Кэйли - Гамильтона, методом частотной области, методом передаточной функции и др.

Рассмотрим кратко два первых метода. Сначала рассмотрим первый метод (разложение в бесконечный ряд) на числовом примере.

Найдем переходную матрицу состояний по заданной основной матрице а системы

О -2

Степени а получим последовательным умножением на а:

На основании 1 О О 1

-2 ~3 (14-72)

0 -2

1 -3

; а =

-2 -3

-14 -15

21 +

~ 14 -15

Складывая матрицы правой части, -получаем:

+ ....

2! +

31 +

14/3

+ 3! + 3i

21 1 :wi

1-3/ + -

15/3 3!

sbi теории цепей



Далее следует найти в замкнутом виде каждый элемент эю грицы. Для данного примера нетрудно убедиться в юм, что кажд

из элементов матрицы можно представить в замкнутом виде как ность двух экспонент: Рэз.

2е - е'

pKt.

что и решает поставленную задачу.

По методу, основанному на критерии Сильвестра,

(14-73)

k = \

(14-74)

где

П (А--Р/1)

II iPk-PiV

/=1, 2, п.

(14-75)

Здесь ри, pi

собственные значения или характеристические числа матрицы А, т. е. простые корни характеристического уравнения цепи (число их равно п).

Пример 14-6. Для цепи рис 14-15

при r--j Ом, С = 1Ф, L = Г рас

считать ток при включении ее к ис точнику тока ( it) при условии, что в момент включения = 0) даны ток в нндук тивности (0) и напряжение на конденсаторе (0), что обеспечивается одновременной и мгновенной коммутацией всех трех рубильников цепи. Решение В качестве переменных состояния выбираем и i, а выходной величиной у считаем ток в емкости 1.

На основании законов Кирхгофа составим уравнения состояния цепн и уравнение для выходной величины.


4-15.

= f+ i + C

, d4

du,. 111 dl.

= 17 C

(14-/7)

В матричной форме

11 ч

11

rC С

rl 1 0

= Ax + Bu. U

1 ly

0 0

i ii -

JZU--,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 [ 136 ] 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов