я найдем напряжение на конденсаторе до коммутации

Спр~ (О = - + с t H f - Ф - o°),

где

Следовательно,

(oC(/- + /-i)

(0) = - Fi + sm - ф -

Найдем по методу двух узлов комплексное изображение напряжения и^ь'

£i 1

Uab = -

чс (0)

P-/CU

r+i/pC

Зная его, находим комплексное изображение тока /:

Р

Далее, поскольку конденсатор в момент коммутации был заряжен, найдем комплексное изображение напряжения па конденсагоре как разность комплек-

---<>-

А

Uc(P)

Рис 14-7.

сных операторных потенциалов ф* и в эквивалентной операторной схеме (рис 14-7, б)

и, (0)

Р рС-

Подставляя значение Uв формулу для а значение / в формулу ДЛЯ пвсле ряда алгебраических преобразований получаем

JUr (0) т

(р-/ )( + гр) pl bAjci-i тр) i-f-тр

именив теорему разложения (14-10), найдем комплексный оригинал иско-иапряжения на конденсаторе:

Q учетом приведенного выше значения и^, (0) нандем напряжение . (/) = Im [tip (/)] = - + 4 (ш^ + ij5 - Фх - 90) +

+ где

£ + Sin (ij5 - ф - 90-) + - *с - Ф1 - 90°)

в частности, при t= О получаем для (0) приведенный выше результат.

14-4. Переходные процессы в цепях с взаимной индуктивностью

Рассмотрим переходные процессы в цепи (рис. 14-8), у которой две катушки с сопротивлениями г^, г^и индуктивностями L, Ц связаны взаимной индуктивностью М, причем вторая катушка замкнута накоротко, а первая включается на постоянное напряжение U.

Токи il и io в обеих катушках связаны уравнениями Кирхгофа

rih + Li§ + Mj=/;

Отметим, принципиально важное обстоятельство, что учет взаим- Рис 14-8. ной индуктивности между катушками не повышает порядка дифференциальных уравнений.

Перепишем уравнения (14-26) и (14-27) для изображений

(гг + pLi) Ii + pMh=- pMh 4- {г, -f pL,) /2=0. Решая их, находим;

pLiT,0-k){p + ap + b) pF,(p]-

J Ш 3 (P)

2 - /jL2(l-fe2)(p2 + ap + j) F(p)

1 = LJr{, tj = LJr.2, - постоянные времени каждой из кату-к, когда другая разомкнута;

fe3 Vti tJ (1-2) т1т2

/j/LiLj - коэффициент связи.

Решая характеристическое уравнение системы ip) = p + ap + bO,

находим его корни:

Л, 2- 2(l~fe2)

л- -l/7 4(1-и'

Применив к выражению для тока теорему разложения в вице (14-11), а к выражению для тока /g - в виде (14-10), найдем после некоторых преобразований с учетом равенств

оригиналы токов ii и

и

а L Pi-Pi Pi-Pi

(gOii - йРаП

(P2-Pi)(l-)Af >

Для лучшего уяснения процесса рассмотрим простейший случай, когда обе катушки одинаковы:

Г1 = Г2 = г; Li = L2 = L; k - MlL.

Тогда постоянные времени каждой из катушек в отдельности равны между собой:

Ti = Та = т = Li/ri = Lg/ra = L/r.

Коэффициенты затухания и также упростятся:

1 г 1

1 -- -(1) -;гж; 2 -- Ра -- Л^

и токи катушек

/ rt rt

t, = -(2-e t-j; i, = J( e £+4.-1-]. (14-28)

На рис. 14-9 построены кривые изменения токов и i. Одна из свободных составляющих токов затухает медленно, т. е. имеет большую постоянную времени, определяемую суммой индуктивности L и взаимной индуктивности М, а вторая затухает быстро, так как ее постоянная времени определяется разностью L в М. Дл сравнения на рис. 14-9 показано, как изменялся бы ток первой катушки при ее включении, если бы вторая была разомкнута (пунктирная кривая). В первые моменты после включения ток первой катуШКИ увеличивается быстрее, чем он возрастал бы при разомкнутой вто- ]ро¥1<атзтпкеГТЗТтоЖЖжп^ ния производных dii/df в обоих случаях. При замкнутой вторичв^