Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [ 125 ] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Палее запишем ток в промежутке времени, соответствующем 1.й паузе, т. е. при пТ + tot{n+ 1) Т:

(13-147)

Для определения тока установившегося режима преобразуем /13-146) и (13-147), вводя замену t пТ + f, где f - время, отсчитываемое от начала действия п + 1-го импульса напряжения.

Для (13-146) получим;

iKtrje ГС + f ,c+(o + rC)e-/.]. (13-148)

Для (13-147) будем иметь;

с

рТ/гС -пТ/гС

i = - Tirc .-(13-149)

Полагая в (13-148) и (13-149), что и->оо, находим установившийся ток. В течение действия импульса

4сх =77 4- V [- -с + (0 + гС) е-АСJ. (13.150)

в течение паузы

4e.-K~ZrJ7c - (13-151)

Если источник э. д. с, начиная с момента t - О, создает бесконечную последовательность импульсов без пауз, т. е. t> = Г, то ток и для этого случая получим из формул (13-142), (13-143), (13-144), (13-146) и (13-150), положив в них 4 = Т.

При более сложной форме э. д. с. источника иногда целесообразнее рассматривать его как наложение импульсов на некоторое постоянное или какое-либо иное напряжение.

Глава четырнадцатая J-** I <А-1г

ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

14-1. Применение преобразования Лапласа к расчету > переходных процессов^*

2 Классический метод расчета переходных процессов требует общем случае многократного решения систем алгебраических сравнений для определения постоянных интегрирования по началь-

ным

т

- ?;1етодом.

условиям и для нахождения начальных значений функции и ее з].°0ДНЬ1х, что и представляет собой основную трудность расчета



Так как дифференциальные уравнения переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами представляют собой линейные уравнения с постоянными коэффициентами, то их можно интегрировать также операторным методом, основанным на преобразовании Лапласа. Это было впервые показано русским математиком М. Е. Ващенко-Захарченко в его монографии Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений (Киев, 1862). В конце XIX в. английский ученый О. Хевисайд независимо пришел к операторному методу и впервые применил его к расчету электромагнитных переход, ных процессов. Однако Хевисайд не приводил математических обоснований метода. Дальнейшему развитию операторного исчисления способствовали своими трудами советские и зарубежные ученые В. С. Игнатовский, Д. Р. Карсон, Б. Ван-дер-Поль, А. М. Эфрос, А. М. Даниловский, К. А. Круг, А. И. Лурье и др.

М. Е. Ваш,енко-Захарченко показал также, что операторный метод применим не только к обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами и их системами, но также к линейным уравнениям с переменными коэффициентами и к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами в частных производных, т. е. говоря на языке электротехники, к расчету переходных процессов в цепях с распределенными параметрами.

Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой заданной однозначной ограниченной функции / (t) вещественной переменной (например, времени t), называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном промежутке времени и равной нулю при < О, сопоставляется др}гая функция F (р) комплексного переменного р = s + ja, называемая изобр ажелием.

Напомним, что условия Дирихле заключаются в том, что ш любом конечном промежутке функция f (t) должна быть или непрерывной, или иметь конечное число разрывов непрерывности первого рода, и, кроме того, должна иметь на этом же промежутке конечное число максимумов и минимумов,

Зто сопоставление производится по формуле

F(p):=\e-Pf{t)dt, (14-1)

о

которая представляет собой прямое преобразование Лапласа над функцией / {t) и обозначается так:

F{p) = L{f{f)} или Fip)=f{t),

где F (р) называется Лапласовым изображением функции / (0;

Обратно, если нужно по имеющемуся изображению F (р) найТИ оригинал I (О, то это может быть выполнено в общем случае пр



мощи обратного преобразования Лапласа (интеграла Бромвича)

а f/со

/(0 = 2 5 ePF{p)dp, (14-2)

а - ;оо

ппое представляет собой рещение интегрального уравнения fu 1) относительно неизвестной функции / (/) и может быть получено ртодамп теории функций комплексного переменного. Интеграл Л4.2) вычисляется по прямой на плоскости комплексного перемен-7 = S + /со, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции F (р).

Интеграл (14-2) обозначается еще так:

f{t)L-{F{p)} или f{t) = F{p).

Иногда изображение функции / (t) определяется несколько иначе:

ср{р) = р] e~Pfit) dt. о

Последнее выражение называется прямым преобразованием Кар-сона - Хевисайда. Очевидно,

(p{p)==pF{p).

Основным преимуществом изображения функции по Лапласу является очень простая связь его с частотным спектром функции (см. гл. 15). В случае применения преобразования Карсона - Хевисайда эта связь сложнее, но изображением постоянной величины является она сама, так что с точки зрения физики оригинал и изображение имеют одинаковые размерности.

В дальнейшем будем пользоваться преобразованием Лапласа.

Переходные процессы, как было показ'ано в гл. 13, описываются системой интегродифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Для преобразования их по Лапласу в соответствии с формулой (14-1) приходится находить изображения производных и интегралов от оригинала. При этом оказывается, что изображения производных и интегралов от оригинала выражаются алгебраическими функциями от изображения и начальных значений самой функции, ее производных и интегралов. Поэтому система интегро-дифференциальных уравнений относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений,

е. производится алгебраизация исходной системы интегродифференциальных уравнений.

При решении полученной системы алгебраических уравнений определяются изображения искомых функций, а затем при помощи й^ратного преобразования, вытекающих из него формул или спе-1альных таблиц - оригиналы, т. е. искомые функции времени.

13 Основы теории цепей 385



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 [ 125 ] 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов