Перенося все токн для момента t = О- в левую часть равенства Р1 учитывая, что h{0-) = ii(0-), будем иметь:

Uk (О - ) + iii (О -) + (О -) + Uk (О -) + Мзгг! (О -) + + М^4х (О -) - Lit! (О +) + Miat2 (О +) + МigJs (О +) 4-

+ Lsts (О + ) + Мзх (О + ) + M32t2 (О +).

Легко видеть, что левая часть последнего равенства представляет собой результирующее потокосцепление рассматриваемого контура 2 до коммутации, как если бы в этот контур входила катущка Гз, Ls, что и доказывает приведенный вьше первый обобщенный закон коммутации.

Решим задачу об определении значений токов в катушках в момент коммутации (t = 0+), учитывая в общем случае, что все они связаны взаимными индуктивностями (рис. 13-42).

Запишем потокосцепления 1-го и 2-го контуров перед коммутацией ( = О -), считая, как обычно, Mij = Mji и понимая под 2 (О -) в соответствии с данным вьше определением алгебраическую сумму потокосцеплений катушек 1 и 3, которые непосредственно образуют замкнутый контур 2 после коммутации:

¥i (О -) iU + + 2м12) il (О -) + (Mi3 4- М23) is (О -); (13-113)

(0-) = (Li + + M31) Jl (0-) + (L3 + M,s) 13 (0-) + Ms2ii (0-).

(13-114)

Токи tl (0-) и (0 -) в случае любых э. д. с. ej и вз (постоянных, гармонических и т. д.) находятся из уравнений второго закона Кирхгофа:

h (Гг + Га) + (1 + L, + 2М,2) § + {Мгз + Ms) § = (13-115)

hrs + Ls § + (Mai + Мза) § = ез. (13-116)

Далее запишем потокосцепления контуров 1 и 2 в момент комму-эции ( = О -f), учитывая, что для узла А по первому закону Кирх-зфа i, = il -

% (О -f) = L,i, (О -f) -f Mia [h (0 +) - /3 (0 4-)] + Mi3ts (0 -f) + + L2 [t 1 (0 +) - 4 (0 +)] + Ma iti (0 4-) + M is (0 4-); (13-117)

M0 + ) = Uii (0 +) 4- Mia [4 (0 4-) - is (0 4-)] + Mi34 (0 4-) 4-+ Lsis (0 4-) 4- Msiti (0+) 4- M32 [4 (0 4-) - 3 (0 4- )] (13-118)

Токи il (0+) и ig (О +) находятся из уравнения 2-го закона Кирхгофа:

iifi + и + Ми {il - is) + Mis jj 4- ih - is) Г2 + U{ii~~ I,) -I-+ М21ЧЛ12з^ = еь (13-119)

iiri 4- 5 + (il - is) + Ml, 4- fVs 4-

+ L, Ч Л4з1 i, 4- 1 (f 1 - гз) = ei. (13-120)

Приравнивая потокосцепления

41 (О 4-) = 41(0-), 42(0 + ) =4,(0-), (13-121)

получаем два уравнения для определения ii (0+) и г'з (О +).

Отметим, что значения (О +) и (О +), которые получаются решением уравнений (13-121), не изменятся, если вместо контура 2 взять контур 3, образованный катушками 2 я 3. Для доказательства запишем потокосцепления третьего контура (рис. 13-42) до и в момент коммутации.

Ws (0-) = L,ii (0-) + Mnii Ф~) + M,sis (0-) -

-L33 (0-)-(Мз1 + Мз,) ii (0-);

¥з (0+) = [ii (0+) - Is (0+)] + Mih (0+) 4-

4-233 (0+) - 33 (0+) - M.lil (0+) -

-Ms2 [h {0+)-is (0+)].

Теперь придется для определения tj (О 4-) и t, (О f) решить совместно два следующих уравнения:

Yi(o-f)=4,(0-); %{0+)=%{0Ч- (13-123)

Легко видеть, что на основании (13-122), (13-117) и (13-118) получаем:

¥з(0+) = ¥1(0~1-)-¥2(0+) (13-124)

и соответственно на основании (13-122), (13-113) и (13-114) имеем

43(0-) = (О-)-42(0-), (13-125)

так что система уравнений (13-123) приводится к системе уравнений

{0+) = Wi (0-);

(13-122)

4i{0+)~W,{0+)=Wi{0-)-W,{0-), j

которая в силу первого из уравнений (13-126) тождественна системе уравнений (13-121), что и доказывает сделанное выше утверждение Рассмотрим процессы, возникающие при одновременном вклю- чении двух заряженных до разных напряжений конденсаторов Сг и Сз к заряженному до напряжения U конденсатору Ci (рис. 13-43j.

Полагаем, что сопротивления г^, п^, проводов, соединяющих кон-енсаторы Ci, С^, Сз, пренебрежимо малы. Поэтому постоянные ппемени, обусловленные ими, также ничтожны. При этих условиях напряжения на всех трех конденсаторах в момент включения рубильника могут изменяться скачком и через них могут проходить бесконечно большие токи. Все три конденсатора до включения рубильника были заряжены до различных напряжений Ua (О -) = =г= U; йог (О - сз (О -) и имели заряды qci (О -) = Сфа (О -); ас2 (О -) = 2 С2 (О -); 9сз (О -) == = Cj C3 (О -) Токи конденсато- 0-с ров будут существовать только в течение бесконечно малого промежутка времени от = О - до = О +. Так как напряжение источника и и сопротивление по- Рис. 13-43. следовательного участка цепи г конечны, то суммарный ток i должен оставаться конечным и импульсы токов в трех параллельно соединенных конденсаторах должны взаимно уравновешиваться, т. е.

= 0; 0-=с^<0 + ,

(13-127)

Интегрируя это равенство по времени отг' = 0- до = 0 +

/ = 0 +

/ = 0 +

/ = 0 -

или

или

или

Cl<0+) 02(0+) 03(0+)

Ci \ duci + C I duc2 + Cs I ducs = 0,

Cl(O-) C2(0-) сз(о-)

Ci [ucx (0+) - uci (0-)] + C2 [ C2 (0+) - C2 (0-)] +

+ Сз [ucs (0+) - Hc3 (0-)] ==0, (13-128)

Ci Аисх + Са Амс2 + Сз Ансз = 0, Приходим к равенству

(13-129)

(13-130)

Отсюда следует, что изменение зарядов на всех параллельно люченных конденсаторах за время коммутации равно нулю, т. е. Умма зарядов конденсаторов перед коммутацией {f = О -) равна <Умме их зарядов непосредственно после кол{мутации (f = О +) - акон сохранения заряда. Этот же результат получается и из (13-127),