Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [ 120 ] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

13-17. Временная и импульсная переходные характеристики

В линейной теории автоматического управления и в других дисциплинах часто пользуются понятиями временной и импульсной переходной характеристики какой-либо системы или цепи. Первая из них введена в § 13-15 для двухполюсника. Последняя называется иначе весовой функцией системы или цепи.

Временной характеристикой, например, четырехполюсника называется реакция (напряжение или ток) на вы-

д ходе при приложении ко входу единичного

ступенчатого воздействия. Рис 13-34. Единичный скачок (или единичное ступен-

чатое воздействие) задается единичной функцией 1 (t), изображенной на рис. 13-34, и представляет собой с точки зрения теории электрических цепей единичное постоянное напряжение или ток, включаемые на вход цепи или системы в момент t = О, так что

f О при г!<0; / 0 = 1 (13-80)

[1 при t>0.

Если определяется ток, то в соответствии с § 13-15 временная функция h (t) совпадает с переходной проводимостью g (t), т. е.

h{t)=g{t), (13-81)

а если определяется напряжение, то она совпадает с переходной функцией напряжения у {t), т. е.

hit) = y{t). . (13-82)

Понятие временной характеристики, как реакции системы (или как выходной величины, за которую может быть принята любая из функций системы) на единичное ступенчатое воздействие, приложенное к ее входу (причем, за вход системы может быть принята любая точка, ветвь или два ее зажима), применимо не только к электрическим цепям, но и к любым физическим системам - механическим, пневматическим, гидравлическим, электромеханическим и т. д.

Таким образом, временные характеристики цепей г, L; г, С; г, L, С, если, например, в качестве выходной величины выбраны токи, даются формулами (13-12), (13-25), (13-60), (13-63) при U = I, а если выбраны напряжения на емкостях, то формулами (13-24), (13-59), (13-62) также при = 1.

Временная характеристика введена в основном по двум причинам:

1. Единичное ступенчатое воздействие 1(f) - скачкообразное и поэтому довольно тяжелое для любой системы внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы именно при та



ком воздействии. Ийые, например, всевозможные плавные воздействия будут для системы легче.

2. Если определена характеристика h (t), то при помощи интеграла Дюамеля (см. § 13-15 и 13-16) с учетом равенств (13-81) и (13-82) можно определить реакцию системы при любой форме внещних воздействий.

Вьше были определены переходные процессы в цепях г, L и г, С также при гармонических внещних воздействиях. Это делалось потому, что гармонические воздействия очень часто встречаются в электротехнике. Но, разумеется, реакции любых цепей на приложенные к их входу гармонические внещние воздействия можно найти и по известным временным характеристикам h (t) при помощи интеграла Дюамеля.

Существует еще один вид внешнего воздействия, называемый единичным импульсом, дельта-функцией б (t) или функцией Дирака, которое определяется как производная по времени единичной функции f

- 8{t) = dl{i)/dt (13-83)

i представляет собой предельный случай импульса }чень большой величины и очень малой продолжи-гельности (рис. 13-35), когда его длительность стремит-г ся к нулю, но площадь сохраняется равной единице.

Действительно, оставляя сейчас в стороне вопрос о законности операций дифференцирования разрыв- Рис 13-35. ной функции HQ отметив, что в теории обобщенных функций эти операции достаточно строго обоснованы, найдем площадь единичного импульса:

\6it)dt= I d/(o=/(o i;:i=/(co)-/(-co)=i-o=i.

- 00 -со

(13-84)

Импульсной переходной характеристикой или весовой функцией системы (например четырехполюсника) называется реакция на выходе, если к входу приложено внешнее возмущение в виде единичного импульса б (t). Эту реакцию обозначим как k {t). Поскольку внешние возмущения / (г ) и б (t) связаны равенством (13-83), а также полагая, что h {О +) = О, получаем, что подобным же равенством связаны и их реакции на выходе системы, т. е.

k{t) = dh{t)ldt. (13-85)

В справедливости (13-85) можно убедиться непосредственно. Вычислив h(t), k{t)l и dh{t)/dt, что особенно удобно сделать операторным методом (см. гл. 14).

Если же h (О +) 0, то соотношение (13-85) обобщается:

(0== + /t(0-f)6(0. (13-85а)



Например, если при включении цепи г, С на единичный импульс в качестве выходной величины рассматривается ток, то

t(0 = /i(0 = e-A и /г(0 + )=.

Так как при = О в составе приложенного напряжения имеется дельта-функция и в этот момент по второму закону коммутации Не (О +) = О, то дельта-функция должна быть и в составе тока, что и объясняет наличие второго слагаемого в правой части (13-85а).

В задачах теории автоматического управления часто нужно бывает знать импульсную переходную характеристику k (t). Она введена по тем же двум причинам, что и h (t):

1. Единичный импульс - скачкообразное и поэтому довольно тяжелое возмущение для системы или цепи; оно тяжелее, чем плавное возмущение. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи на это возмущение.

2. При помощи некоторого видоизменения интеграла Дюамеля можно, зная k (f), вычислить реакцию системы или цепи на любое внешнее возмущение (см. § 13-18).

Реализацию внешнего воздействия в виде единичного импульса б (t) обычно представляют как экспоненциальное воздействие с очень большой начальной ординатой (t/J и очень малой постоянной времени т, так что

6(0= lim ([/от)=1, (13-86)

С/о-*оо Т-.0

где UgX - площадь, ограничиваемая экспоненциальным импульсом, т. е.

UmlUoe-*dt = Udt. (13-87)

о

Отметим еще, что если в теории электрических цепей типовыми внешними воздействиями считаются ступенчатое и гармоническое, то в теории автоматического управления и в других дисциплинах - единичное ступенчатое / (t), единичный импульс б (t) и гармоническое внешние воздействия.

13-18. Запись теоремы свертки при помощи импульсной переходной характеристики

Пусть на вход пассивной системы или цепи действует источник напряжения Hi (/) или тока (t). Для того чтобы охватить оба случая, будем говорить о действии внешнего возмущения Xl (О (рис. 13-36). Определим реакцию на выходе в момент времени t.

Разобьем кривую х^ (i) на отдельные импульсы шириной dx и высотой Xl (т) для момента времени t х. Для единичного импуль-са, действующего в момент времени т, реакция на выхо.де по опреде-лению равна импульсной переходной характеристике k {t - )



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 [ 120 ] 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов