Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [ 119 ] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Если скачок тока принципиально возможен, то g (0) 0. Тогда скачок напряжения в момент = от величины Ui (ti) до величины 3 (h) вызовет, разумеется, и скачок тока

iM)t=t,--[u,it,)-u,{t,)]g{0). (13-78)

Если скачка тока быть не может, то g (0) = О и по формуле (13-78) в момент времени t = ti также и {Ai)t = , = О, несмотря на наличие в этот момент скачка напряжения.

Наконец, для промежутка времени £ < оо учтем, что в момент t = 2 включается постоянное напряжение - 2 (з) и. что элементарные скачки, определяемые кривой напряжения (0. действуют до момента времени t = t. Поэтому ti

i (О = 1 (0) g{t) + \ и[ (т) g{t-x)dT + [и, ih) - Hi т g{t- h) 4-о

Л-\ u,{T)g{t-T)dx-u,{t,)g{t-h). (13-79)

Рациональнее, однако, воспользоваться для решения этой задачи третьей формой записи формулы Дюамеля. Для промежутка времени О i sgi согласно третьей форме записи формулы Дюамеля имеем:

i (t) = g (0) и, (О + j g (t - T) (T) dr.

Сравнивая последнее равенство с (13-76), заключаем, что для этого промежутка времени третья форма записи преимуществ не дает.

Для следующего промежутка времени =g / s£ <2 сначала преобразуем интегрированием по частям входящие в (13-77) интегралы:

; и[ {%)git-T) dx = g (t-h) н ik)-g (О 1 (0)+ \g (t-x) Ml (X) dx;

\ < (T) g(t-x) dx = g{0) u, (0-g (t-h) Щ (k) + \ g (t-x) Щ (X) dx.

Подставляя полученные значения интегралов в (13-77), будем иметь после простых преобразований для промежутка i t-:

i (О = g (0) 2 (О + { g(t-T)Uy (X) dx + \g (t-X) щ (X) dx. О h

Здесь внеинтегральный член и интегралы записаны согласно третьей форме Записи формулы Дюамеля. Легко видеть, что расчет тока ( {t) по последней формуле несколько проще его расчета по формуле (13-77), так как в (13-77) нужно учитывать еще одно дополнительное слагаемое [щ {t) - (ii)] g {i - tj). Разумеется, эти выводы будут правильны, если подынтегральные выражения в (13-77) и в по-Меднем выражении примерно одинаковой сложности. Аналогично для промежутка 4 =ё < оо ti t,

i (i) = J g - т) 1 (T) dT + J g (< - T) 2 (T) dx.

, Легко видеть, что расчет тока ( (t) по этой формуле проще, чем по формуле Ш-79), так^ак в пос.тедней иужно-4Щнтьшат48-и-дополш ель1шх-СлаЕаемт>!х,- Условленных скачками приложенного напряжения в моменты =0, t, 4-



Рис. 13-30.

Преимущества третьей формы Записи формулы Дюамеля тем более ощутимы чем больше разрывов непрерывности первого рода у приложенного напряжения на заданном промежутке его действия.

Рассмотрим, наконец, переходные процессы при включении произвольного активного двухполюсника к напряжению любой формы.

Найдем ток i в любой ветви активного двухполюсника (в частности, и в ветви рубильника). Расчет проведем по принципу наложения. Сначала будем считать двухполюсник пассивным, т. е. учтем только включаемое напряжение и (t). Расчет f тока при этом проведем по формулам - Дюамеля. Затем учтем только источники активного двухполюсника, т. е. найдем ток в той же ветви при замыкании накоротко зажимов источника напряжения и {t). Расчет тока в этом случае выполним, например, классическим методом (см. § 13-14). Суммируя найденные составляющие токи, получаем искомый ток.

Отметим еще, что при подаче на вход активного двухполюсника ряда импульсов напряжения (рис. 13-30) расчет токов в любой ветви также можно провести при помощи формулы Дюамеля.

При действии последовательности прямоугольных импульсов расчет можно вести и без применения формулы Дюамеля. В самом деле, для учета действия любого прямоугольного импульса можно считать, что в момент начала его действия включается постоянное напряжение, равное по величине напряжению импульса, а в момент окончания действия импульса включается такое же постоянное напряжение, но противоположное по знаку.

Пример 13-4. Найти ток в индуктивности (рис. 13-31) для промежутков времени О 2,5 мс и / Зг 2,5 мс, если ri= 2 Ом, = 5 Ом, L = 4 мГ. Форма кривой приложенного напряжения задана (рис. 13-32).

aft)


Рис. 13-31.

Рис. 13-32.

Решение. Переходную проводимость для ветви с индуктивностью найдем по формуле (13-17)

g(0 = i p + [W(0)-<i p(0)].-/\ .



Постоянную времени х найдем по формуле (13-16):

/ Л1-1-/-2 357

Тогда

g (0 = 0,5 (1-е~з57<) См.

Уравнение приложенного напряжения (рис. 13-32)

ц (0=100 (1-800/) В.

Применяя первую форму записи формулы Дюамеля для промежутка О: / 2,5 мс, получаем:

(О = и (0) £г (О + j If (< - т) и' (т) dt = 162 - 4 104/ 162е-зб7/ д. о

Проверяя, убеждаемся, что (0) = 0..

Для промежутка времени = 2,5 мс / <; оо -записываем:

и получаем:

<л (О = (0) g (О + jg(i-r) и' (т) dx - и (t,) g (/ - 4) ( (0=- Ие-357< Д.


При / = ti ток ij измениться не должен, несмотря на скачок приложенного иапряжения. Проверяя, убеждаемся, что

(/i-0) = /,(/, + 0) = -4,5 А.

Кривая тока приведена на рис. 13-33.

Заметим, что попытка применить для вычисления тока (О в промежутке 2,5 мс / < <х>

вторую форму записи формулы Рис. 13-33.

Дюамеля, когда интеграл

S{t-x)u(T)dx в правой части равенства (а) был бы заменен интегралом о

] g(x) и'(t~x) dr, дает неправильный результат. Действительно, из ра-

о

вепства (13-75) следует, что эти интегралы равны только при верхних пределах /. если же верхний предел равен t, то

ti t

\g{l-r)u. {r)dr \ g{r)uit-r)dr,

0 - t±t,

откуда и следует для промежутка 2,5 мс / < оо выражение тока {t) по второй форме записи формулы Дюамеля:

J г ил = и (0) iLit)A s (г) и' и - т) dT - м (/,) g (/ - /,).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 [ 119 ] 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов