Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [ 118 ] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Переходную проводимость g (t) и переходную функцию напряжения у (t) при любой схеме пассивного двухполюсника можно най' ти классическим методом (или операторным методом, или методом интеграла Фурье - см. ниже). Таким образом, в дальнейших рас-четах g (f) и у [t) будем считать известными.

Так как включается пассивный двухполюсник, то при t q токи и напряжения в любой ветви равны нулю. Поэтому при t о следует считать любую переходную проводимость g (О = О и любую переходную функцию напряжения у (t) = 0.

Все дальнейшие рассуждения проведем для случая, когда нужно рассчитать ток.

Непрерывно изменяющееся напряжение и (t) заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками Аи Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при t = О постоянного напряжения и (0), а затем как включение элементарных постоянных напряжений Ан, смещенных друг относительно друга на интервалы времени Ах и имеющих знак плюс или минус, смотря по тому, рассматривается возрастающая или падающая ветвь заданной кривой напряжения.

Составляющая искомого тока в момент t от постоянного напряжения и (0) равна и (0) g (t). Составляющая тока в момент t от элементарного скачка напряжения Ан, включаемого в момент времени т (рис. 13-27), равна Аи g (t - т). Здесь аргументом переходной проводимости служит время {t - т), поскольку элементарный скачок напряжения Аи начинает действовать на время т позднее включения рубильника или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментом т начала действия этого скачка и моментом времени t равен t - т.

Элементарный скачок напряжения Аи может быть выражен следующим образом (рис. 13-27):

Аи =Ат tgo6=.= AT н'(т).

Поэтому искомая составляющая тока

Ан g- ( - т) = н' (т) Ат g ( - т).

Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от = О до момента t, для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при Ат -> О и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения н (0), получаем:

i(i)=u (0)g{t) + \ W (т)g (t-T)dx. (13-74)

Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения называется формулой или ин-л:егралом Дюамепя Выражение пз-74) на зывают первой формой за-писи формулы Дюамеля.



Из теории определенных интегралов известно, что для любых двух функций И) и fa (f) существует соотношение t t

S fl {t - T) h (t) dt = \h (t) /, {t - T) dx, (13-75)

которое легко проверить заменой переменной интегрирования.

На основании (13-75) перепишем выражение (13-74) и получим вторую форму записи формулы Дюамеля:

(0 = (0)g(0 + i (;-T)g(T)dT, b

где ( - ~ производная функция и {t - г) по ее аргументу t - х или, что то же самое, ее производная по t.

Интегрируя по частям в правой части равенства (13-74), получаем:

\g(t-%) и' (т) dxg(Q) и (t)-g (t) u (0) +jg (;-т) u (r) dx,

где g (t - t) - производная функция g {t - т) no ее аргументу t - т или, что тоиче самое, ее производная по t

Подставляя значение полученного интеграла в правую часть равенства (13-74), получаем третью форму записи формулы Дюамеля:

((0=g(0) (0 + ig {t~x)u{x)dx. о

Применяя формулу (13-75) к интегралу правой части последнего выражения, получим четвертую форму записи формулы Дюамеля;

((/) = g(0) u(t) + \g{x)u{t-x)dx.

Далее легко видеть, что выполнением дифференцирования выражение

(0=- S u(?-T)g(T)dT

о

приводится к первой или второй формам Оно представляет собой пятую форму записи формулы Дюамеля. Наконец, шестая форма записи формулы Дюамеля

выполнением дифференцирования приводится к третьей или четвертой формам.

Ту или иную из полученных первых четырех форм выбирают, руководствуясь Удобством и простотой выполнения вычислений. Следует отдать предпочтение той из первых четырех форм записи формулы Дюамеля, для которой будет проще подынтегральное выражение и которая имеет меньше слагаемых, что зависит от условий конкретной задачи.

Кроме того, если напряжение, воздействующее на цепь, изменяется с нуля, Лт ~ первые слагаемые в первой и второй формах записи формулы дюамеля равны нулю и их выражения несколько упрощаются. Если в ветви, оторой определяется ток, последний не может изменяться скачком, то g (0) - 0. Ьз.в первое слагаемое в третьей и четвертой формах записи формулы Дюамеля г по нулю, поэтому они также несколько упрощаются.

Иятая и нгрстая формы представляют собой сокрзщвнаую занйеь. первой-шнт . рои и соответственно третьей или четвертой форм,



13-16. Включение пассивного двухполюсника на напряжение

любой формы

В дальнейшем под любой формой напряжения будем понимать его изменение, определяемое кусочно-аналитической функцией, т. е. функцией, аналитически заданной на каждом конечном интервале

и имеюш,ей в точках стыка интервалов разрывы непрерывности первого рода.

Пусть произвольный пассивный двухполюсник подключается к источнику напряжения, кривая изменения которого дана на рис. 13-29. Для вычисления тока определим, как и выше, переходную проводимость g (t).

Рис. 13-29. Так как в промежутке О ,

ststi включаемое напряжение задано функцией Ui (t), то, воспользовавшись первой формой записи формулы Дюамеля (13-74), можем написать для этого промежутка времени:


i (О = 1 (0) g{t) + \ 1 (т) g{t~T) dx.

(13-76)

В следуюш,ем промежутке t 4 напряжение задано другой функцией 2 (0. причем в момент ti оно изменяется скачком от величины Ul (ti) до величины и^ (ii). Для учета скачка напряжения в точке t = ti будем считать, что в этот момент к двухполюснику прикладывается отрицательное постоянное напряжение, равное 2 (i) - \ {д- Кроме того, учтем составляюш,ие тока от начального скачка напряжения Ui (0) и от элементарных скачков напряжения, определяемого кривой Ui {t) и действующего от == О до = i.

Тогда получим:

i it) = Ul (0) g (t) + \ u[ (T) g(t~x)dx-

+ [ 2 (i) - Ul {ti)-\g {t -ti) + \ u, (T) g{t-x) dx. (13-77)

В этом равенстве в третьем члене аргументом переходной проводимости служит величина t - ti, так как напряжение и^ (i) - Wi (i) включается в момент ti. Аргумент t - т переходной проводимости g в обоих интегралах один и тот же, поскольку он имеет смысл промежутка времени, прошедшего от включения элементарного скачка напряжения Ан до рассматриваемого момента времени t (рис. 13-2.)- iI>днaкo7paзyжeт-eя7p€дeлfeншшieшiя X-B 0-dQШLJIн^ личны.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 [ 118 ] 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов