Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [ 117 ] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248


l-ЬсВ J

Рассматривая систему (13-72а)-(13-72в) для = О и зная начальные значения всех токов и их первых производных, из уравнения (13-72в) находим Ц (0), а из первых двух i{ (0) и Ц (0).

Теперь легко найти постоянные интегрирования Аи Л Лд из системы уравнений (13-69).

В общем случае для дифференциальных уравнений, определитель А {р) которых и-го порядка, при вычислении постоянных интегрирования нужно пред-

варптельно определить на- -о

чальные значения искомой 0-£ величины и ее я - 1 производных.

Из подобных же уравнений определяются постоянные интегрирования, например, для тока tg, если его нельзя 0 найти из уравнений Кирхгофа по найденному току tj. Впро- Рис. 13-26.

чем, часто это можно сделать.

Например, для схемы, изображенной на рис. 13-25, следует после определения тока найти напряжение на зажимах ветви / и по нему ток г'з. Затем по первому закону Кирхгофа легко найти ток г..

пример 13-3. Найти токи г, jj и в цепи (рис 13-26) после выключения рубильника, если известны = 30 Ом, г= 10 Ом, L = 9 - Ю' Г, С = 9 -10 * Ф и= 180 sm (300 t+ 45°) В.

Решение. Найдем ток i и напряжение на индуктивности в принужденном режиме до коммутации

и

- = 3,14 + /0,40 А,

где

Z = R + jaL; Zl = l/jaC; = r/2; np- = 4,48sin(300/ + 7°20) A; up- (0) = 4,48 sin 7°20 = 0,574 A;

Cnp- = Vzr& = -

2np~--

Cnp-

= 1,3-/1,36 A;

inp- = np-M = - 10.9 + /85 B; inp = 121,3 sin (300; + 97°20)B; u, (0) = 120,3 B. Найдем все токи в принужденном режиме после коммутации:

Zy + Z,

= 3,21+/0,44 А,



где = г;

hnp - tn

P r~j/loC

=- 3,04 28°48 A;

= 1,65 z -63°05 A;

(пр = 4,58 sin (300; + 7°45) A; (np (0) = 4,58 sin 745=0,618 A. Переходим к расчету переходных токов.

Разбив схему на контуры, как показано на рис. 13-26, составим уравнения для свободных контурных токов:

{R + г) iacB + diacs/dt + П'йсв = 0; rtacB + ribcB-\--(j- \ ibcs dt = 0. Алгебраизуя эту систему дифференциальных уравнений, получаем: (40 + 9. 10-2p)r +10(*cB = 0; 10tacB + (lO + p,9io-4)ftcB-0.

Характеристическое уравнение составим, приравняв нулю определитель этой системы однородных алгебраических уравнений:

40 + 9. 10~2р 10

10 + -

= 0.

или

р-9. 10~* 81 . 10-вр2 + 36. 10-зр + 4 = 0.

Корни его

Pi = P2 = P = -222 с-1.

Напишем сначала выражение для тока i:

i = Inp + (св = 4,58 sin (300/ + 7°45) + (А^ + А4) е~*.

В момент коммутации {t ~ 0) ток в индуктивности не изменяется скачком. Поэтому

(0) = .-пр-(0) = 0,574 = 0,618+Л,

= 0,044 А.

Так как при < = О не изменяется скачком напряжение на конденсаторе Uq, то, как видно из схемы рис. 13-26, не изменится скачком и напряжение на индуктивности Mj что позволяет сразу найти (L di/dt):

Ч (0) = i p (0) = 120,3 = (L dildt)t = = 9 . 10-2 (4,58 300 cos 7°45 + 0,044 222 + Ла),

откуда Лг = - 35, 76 А/с.

Окончательно для ( получаем;

j = 4,58 sin (300/+ 7°45)-(0,044+ 35,760 А.

о контура схемы рис. 13 токов

О = ?(св + di-ldt + Паса,

Составив для внешнего контура схемы рис. 13-26 уравнение второго закона Кирхгофа для свободных токов



найдем,

что

(, = -0,1 (30( + 9. 10-2dicB/dO = (0,366+ 35,760 г-222< А.

Тогда

1CB = cb-2CB = -(0,41+71,520-222 А. Теперь запишем переходные токи ц и (j:

(2=2пр + 2св= 1.65 sin (300<-63°05) +(0,366+ 35,760 е-* А; ( = (1пр + (1св = 4,325 sin (300 + 28°48)-(0,41 +71,520 -222 Д.

13-15. Включение пассивного двухполюсника на непрерывно изменяющееся напряжение (формула или интеграл Дюамеля)

Пусть к источнику непрерывно изменяющегося напряжения ц () (рис. 13-27) подключается произвольный пассивный линейный двухполюсник (рис. 13-28). Требуется найти ток i (t) или напряжение в любой ветви и„ (t) двухполюсника после включения рубильника.

Mr \

4(0}

г

Рис. 13-27.

0 с^о-0-

\u(t)

0-0-

Рис. 13-28.

Задачу решим в два приема. Сначала найдем искомую величину при включении двухполюсника на единичный скачок напряжения (т. е. когда включаемое напряжение постоянно и по величине равно единице). Эти ток ii (f) или напряжение и^х (t) могут быть выражены так:

Ив1 {t) = l-y{t)=y(t).

(13-73)

Функция g (t), численно равная току, называется переходной проводимостью, а функция у {t), численно равная напряжению, называется переходной функцией напряжения.

Обе эти функции называются временными функция-м и или временными характеристиками и часто обозначаются через h [f).

Например, для цепи г, L переходная проводимость

i . (0 = (l-r)

для цепи г, С переходная функция напряжения на емкости

г/() = 1-е-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 [ 117 ] 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов