Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 [ 116 ] 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Подставляя значения производных и интегралов токов i hts в уравнение (13-65), получаем:

{гп+1/pCii) JubH- -i2f2cB = 0; (I3-66a)

ruiuB + [ri + PL22 + tacB = 0- (13-666)

Дифференциальные уравнения (13-65a) и (13-656) относительно функций ii(.b, /зев превратились в алгебраические [(13-66а) и (13-666)] относительно этих же функций. Такое преобразование называется алгебраизацией системы дифференциальных уравнений.

Полученная система двух однородных уравнений (13-66) с двумя неизвестными tjcs имеет решение, отличное от нулевого, если определитель системы равен нулю:

А(Р) =

. 1

РСц

= 0 (13-67а)

(нулевое решение = зев = О означает отсутствие свободного процесса, что возможно в частном случае и притом только в цепях, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка).

Из (13-67а) следует, что р является корнем уравнения А (р) = 0. Само же уравнение

А(/7) = 0 (13-676)

представляет собой характеристическое уравнение для данной системы дифференциальных уравнений. В рассматриваемом примере получаем характеристическое уравнение третьей степени.

Решение уравнения А (р) = О (точное или приближенное) производится по обычным правилам алгебры. Поэтому его корни pi, р^ и р^ в дальнейшем будем считать известными.

Выбор контуров при расчете методом контурных токов здесь целесообразно делать так, чтобы для каждого из контуров порядок дифференциального уравнения был наименьшим В качестве таких контуров нужно выбирать по возможности контуры, содержащие только сопротивления, только индуктивности, только емкости, только сопротивления и индуктивности или только сопротивления н емкости В самом деле, уравнение второго закона Кирхгофа для свободных токов в контуре с одними сопротивлениями является алгебраическим Для контура с одними индуктивностями оно хотя и дифференциальное, но интегрированием легко приводится к алгебраическому В контуре с одними емкостями оно интегральное, но дифференцированием приводится к алгебраическому Наконец, для контуров с сопротивлениями и индуктивностями или с сопротивлениями и емкостями получаем дифференциальные уравнения первого порядка Кроме того, контуры, конечно, надо выбирать так, чтобы уравнения по второму закону Кирхгофа были независимыми Тогда порядок дифференциального уравнения относительно одной неизвестной функции и степень характеристичестсого уравнения цепи 6j дут равны сумме порядков дифференциальных уравнений отдельных контуров.

Степень характеристического уравнения цепн можно найти,не составляя и да раскрывая определитель системы дифференциальных \ равнении Например, чля цепи рис 13-25 выберем контуры так. чтобы второй включал индуктивность Ц и емкость Са, а первый - только емкость 1огда порядок дифсре-



нциального уравнения для второго контура равен двум, а для первого - еди-Р^-- Следовательно, степень характеристического уравнения цепи равна трем

в общем случае, когда цепь разбивается указанным выше способом на п контуров и каждый контур содержит в своем составе индуктивность и емкость, степень характеристического уравнения цепи будет 2 п

Составить определитель А (р) в общем случае можно следующим образом Рассматривая коэффициенты при свободных контурных токах ticB и hcs в равенствах (13-66а) и (13-666), видим, что они записаны как комплексные сопротивления тех же контуров, но с заменой /со на р Например, комплексное сопротивление второго контура

= 22 4 /< L22 + 1 соСгг

заменяется величиной

7г2 (р) = Г22 + PL22 4- 1/РС22.

Следовательно, определитель системы может быть составлен подобно тому, как это делается при расчете цепей переменного тока методом контурных токов.

Как будет показано ниже (§ 14-3), можно записать в зависимости от р входное сопротивление цепи (рис 13-25) для любой из ветвей, например первой

и, приравняв его нулю, сразу получить характеристическое уравнение цепи При этом легко убедиться, что числители входных сопротивлений любой из ветвей будут одинаковы. Поэтому для получения характеристического уравнения можно составить любое

из входных сопротивлений Zibx {р), звх {р) или Zggx {р)-

Найдя корни характеристического уравнения системы, напишем общие выражения для каждого из контурных токов. Рассмотрим несколько случаев.

а) корни р1, Pi и рз вещественные и различные:

б) корни Pj, Р2 и р^ вещественные и равные, т - pi ~ р2 ~ Рз ~ = р

iu, = iA, + A2t + A,t)eP;

в) корень р1 - вещественный, а корни р^п р^ - комплексные и сопряженные, т е. р2 = + /со, р^ = -ос - /со,

hcB == AxePi -f (Ла cos (d 4- Лз sm со/)

Поскольку порядок расчета не зависит от вида корней характеристического уравнения, рассмотрим в дальнейшем первый случай.

Выберем произвольно положительные направления свободных Токов в ветвях схемы (рис. 13-25) Целесообразно (но, разумеется, не обязательно), когда это возможно, выбрать их совпадающими

принятыми ранее положительными направлениями контурных Токов (например, токи tjee и tjcB в ветвях / и 2).



Далее запишем выражение переходного тока, например, ветви /: h = imp + hcB = hup + A leP. + A ф^ + Л зе (13-68) и покажем, как определить постоянные интегрирования Ль А^ и Лд

Для этого дважды продифференцируем (13-68) и подставим = О в (13-68) и в полученные дифференцированием выражения:

11(0)=-г1 р(0)4-Л1 + Л2 4-Лз;

г;(0)==ч'пр(0) + Р1Л1 + /7И2 + Мз; (13-69)

h (0) = ilup (0) + /7?Л 1 + рМг + Р\А^- .

Так как значения принужденного тока Гщр и его производных при = О, а также корни характеристического уравнения р-, р^ и р^ известны, то из уравнений (13-69) можно найти Ах, Лз, Лд, если известны значения тока tj и его производных i[ и rl при г' = 0. Для вычисления Ji(0), / J (0) и i[ (0) запишем уравнения первого и второго законов Кирхгофа для токов ветвей;

ii=-h-\-h; (13-70а)

i i + ci + 3 3 = ei, (13-706)

где ti - Ciduci/dt;

rh + и+ С2 - /-з^з = 0, (13-70В)

где г 2 = Сз ducjdt.

По законам коммутации токи в ветвях с индуктивностью и напряжения на емкостях в момент коммутации скачком не изменяются. Следовательно, в системе (13-70а)-(13-70в) при г = О значения h{, ci(0) и uci (0) известны. Тогда из первых двух уравнений (13-70) находим ix (0) и tg (0).

Затем продифференцируем уравнения (13-70а) и (13-706) и перепишем уравнение (13-70в):

dixidt = dijdt -f dhldt; (13-71 a)

+ * + (13-716)

rk + + rsis - 0. (13-71B)

Рассматривая систему уравнений (13-7la)-(13-71в) для г' = О и учитывая, что в ней известны начальные значения всех токов, а также ei (0) и UciiO), из уравнения (13-71в) находим i2 (0), а из первых двух li (0) и is (0).

Дифференцируя еще раз эту систему, получаем:

--. + - + -3-0. (13-72В)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 [ 116 ] 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов