Переходное напряжение на емкости

Так как конденсатор не был заряжен, т. е. при t = О напряжение Ис (0) = О, то Л = ~t/ и

ис = и{1-е-). (13-24) 0-г^с-,

Для тока получим:

(13-25)

Uc \

Рис. 13-13,

Начальное значение тока i (0) может быть получено и непосредственно. Так как нс (0) = О, то все напряжение источника U при t = О оказывается приложенным к сопротивлению г.

Кривые изменения Uc, нспр. Ссв и t (рис. 13-14) показывают, что напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно. Напряжение возрастает и ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи т, т. е. чем медленнее затухает свободное напряжение нссв-

Отметим аналогию законов изменения тока il в цепи г, L и напряжения Uc в цепи г, С при включении их на постоянное напряжение. Она следует из сравнения равенств (13-12) и (13-24) и кривых на рис. 13-6 и 13-14. Аналогично также изменение величин Ul и i в тех же цепях. Аналогия распространяется и на случаи включения цепей г, L и г, С на синусоидальное напряжение.

К исследованию процессов зарядки и разрядки конденсатора через резистор сводятся многие важные практические задачи, возникающие при расчете переходных процессов в цепях автоматики, телемеханики, электроники и связи.

Как будет показано ниже, энергия, переходящая в тепло при включении цепи г, С, не зависит от г.

Рис 13-14.

Пример 13-2. В цепи, показанной на рис. 13-15, Замыкается рубильник. Найти напряжения на конденсаторах и ток, если конденсаторы были заряжены до напряжений Ui = 100 В, = 25 В; Q = 1 мкФ; 2=2 мкФ; г = 75 Ом.

Решен и-е.&ыбрррм ппппжительные направления тока i и напряжений на эндеисаторах % и (рис. 13-15).

Рис 13-15.

в установившемся режиме ток будет равен нулю. Поэтому потенциалы точек an b сравняются, т. е.

И1пр- 2пр = 0,

или

?1по/С1 = (72прС'2, (а)

где я - заряды на конденсаторах. Согласно закону сохранения заряда

/lnp + /2np = 9l0 + 920i (6)

где

9io=Ciio; q2o=CU2Q. Решив совместно уравнения (а) и (б), получим:

юр-гпр- Ci + C;-

иу = и^ + Ае-* = Ъ0-\.Ае-*1\ (в)

где т = /--р. = 50.10-б с,

поскольку конденсаторы соединены последовательно.

По второму закону коммутации при / = О получим % (0) = Uiq и из формулы (в) 1 (0) = 50 + Л, откуда

A = ui(0)-50 = 50 В и ui = 50+50e- В.

Аналогично находим:

U2 = 50-25e- В

и ток

Устремляя г к нулю и решая задачу в этом случае, получим, что суммарная энергия конденсаторов по окончании переходного режима меньше их суммарной первоначальной энергии. Это указывает на неточность постановки задачи прн

г= 0. в самом деле, при / О ток ( -> оои интеграл \ (V Лможет быть конечным.

откуда Тогда

13-8. Включение цепи г, С на синусоидальное напряжение

Пусть цепь г, С (рис. 13-13) включается на синусоидальное напряжение

u = Um sin ((o/-f ф). Принужденное напряжение на емкости

йс;р^штг(ш^ + ф-ф--),-

где

г = 1/г2 + (1/(оС)2; tg9 = -l/coCr.

Изменение свободного напряжения на емкости по-прежнему определяется соотношением

Переходное напряжение на емкости

С = С пр + Сс

51п(и^ + ф-ф-я/2)-1-Ле-/. Начальные условия дают: нс = О при = 0. Отсюда

и

sin№-T-n/2)

и напряжение на емкости

с= шИ + ф-ф-я/2)-8ш(ф-ф--]е-А, (13-26)

где постоянная времени цепи х = гС. Ток

t = C

ж

jcos ф sin ((0 -f ф - ф) - sin ф sin ф - Ф - I j е-А

(13-27)

Проверка для = О дает для напряжения uq значение нуль, а для тока i (0) = sin т{)/г. Действительно, в момент включения цепи емкость как бы закорочена [ с (0) = 0] и все напряжение питания приложено к зажимам сопротивления.

Полученное выражение для тока объясняет возникновение больших толчков тока при включении ненагружен- -.о-{ ной кабельной сети, т. е. сети, в которой распределение энергии происходит по кабелям. На рис. 13-16 приведена экви-

валентная схема ненагр уженной кабельной сети, где С - эквивалентная Рис 13-16. емкость, учитывающая емкость каждой

фазы на землю и емкость между фазами. Если сеть достаточно мощная, то поперечные сечения кабелей значительны и сопротивления г малы. Поэто.му при включении сети в момент, когда напряжение одной из фаз проходит через амплитудное значение, наблюдаются весьма значительные толчки тока.

Кривая изменения напряжения Uq аналогична кривой тока на рис. 13-9, а. Спустя время от Т/4 до 3 Г/4 после включения, пряжение Uc может достигать значений, превышающих ампли-Иу ттринужденного режима. Максимальное значение Uq полу-