Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений э. д. с. на проводимость для всех ветвей, содержащих э. д. с. (с положительным знаком берутся э. д. с. направленные к узлу /), а знаменатель - арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами.

Пример 1-3. На рис. 1-26, а изображена электрическая схема с шестьчз неизвестными токами; э. д.с. источников: fij = б В, £3 = 2 В и £3 = 18 В; сопротивления ветвей: = / 2 = г^ = 2 Ом и = /-5 = /-д = б Ом. Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.

а)


Рис. 1-26.

Решение. Пусть потенциал точки О равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами (pi, фа и фз:

(gl +g-2.+ gs) Ф1 -йфг - ёзЧ>з = - Eigi - Ei-Eaga,

- ЙФ1 + (gi + g-. + ge)4>i- gb4>a = -eaga;

- ЙФ1 - gb4>1 + (gs + gi + gb) фз = Eggs,

или после подстановки числовых значений проводимостей и э. д. с.

уф1-2Ф2-

2фз = -18; - 4-ф1+й~ф2-1 Фз = 6;

1 1,5 -1 Ф1- 6 Ф2 + -6 Фз

6 = 9.

Решая совместно эти уравнения, находим искомые потенциалы: ф[ = - 9 В; Фз = 3 В; Фз = 6 В. Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 1-26, а)

1=(фо -ф1 -£1)= 1,5 А; /2=(ф1-ф2--£2)ё'а = 0; /з=(ф1 -фз+£з)§з= 1,5 А; /4=(фз ф„) 1 А; /!; = (фз-ф2)§ = 0,5 А; /б = (ф2-фо)§в = 0,5 А.

Матричные уравнения узловых потенциалов. Уравнения узловых аотенциалов (1-33) можно записать в матричной форме:



где

g(y) =

- gn §22

-gi-y -giy

- gyl-gy2----+gt

У У

- квадратная матрица узловых проводимостей схемы;

И Je==

- матрица-столбец потенциалов узлов и матрица-столбец токов источников тока в узлах, где по (1-ЗЗа) и\, = Ji + EEjg,/, при этом алгебраическое суммирование, выполняемое с учетом знаков, распространяется на все ветви с источниками токов и с источниками напряжений, присоединенные к г-му узлу.

Умножая слева уравнение (1-47) на lgyV получим выражение для определения потенциалов узлов схемы в виде

(1-48)

где lg<y> - матрица, обратная матрице [igjl.

Ниже показано, что матрицу узловых проводимостей цепи можно составить непосредственно по соответствующей схеме, применяя формулу

g<y) = Ag (1-49)

где А - матрица соединения узловых проводимостей ветвей схемы или ее ориентированного графа, ga - диагональная матрица проводимостей ветвей; А' - транспонированная матрица соединения узловых проводимостей ветвей схемы или ее ориентированного графа. Матрица А составляется следующим образом- столбцы матрицы соответствуют ветвям схемы, а ее строки - узлам, на пересечении строки и столбца записывается ±1 или О (пробел) в зависимости от того, присоединена данная ветвь к соответствующему узлу или nei; положительный знак записывается в том случае, когда ветвь направлена от узла, а отрицательный - к узлу; при этом направление ветви обычно совмещается с положительным направлением тока ~в нен7



Для иллюстрации применения формулы (1-49) рассмотрим схему рис. 1-26, а, для которой на рис. 1-26, б построен ориентированный граф. Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для нее можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трех строк и шести столбцов:

-1 1 10 0 0 А= 0-1 0 0-11 О 0-11 10 Диагональная матрица проводимостей ветвей = 1/г^ равна: g-i О О О О О О

О О О

О

О

О

о

о о

о о

gb о о Sa

О

о

- go gb

О

ge О

Произведение матриц А и равно:

- gl gi gs

Agrf= О -g2 О О О -g3

Матрица узловых проводимостей цепи получаегся после перемножения матриц Agrf и А':

Si Й2 g, О 0 0 3. g, о о - gj g, 3 о -из о

g(y) = AgAf =

-I О

I -1

0 -1

I -h ga -Ь g,) -Й2 (i

. + S, + ge)

f £i + gs)

Матрица-столбец потенциалов узлов

ф= ф2

Матрица-столбец источников тока

- Eigi - Е.£2 - Eags

Jc=i E2g2

Г

Esga



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [ 11 ] 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов