где числитель представляет собой алгебраическую сумму произведений э. д. с. на проводимость для всех ветвей, содержащих э. д. с. (с положительным знаком берутся э. д. с. направленные к узлу /), а знаменатель - арифметическую сумму проводимостей всех ветвей, включенных между узлами.

Пример 1-3. На рис. 1-26, а изображена электрическая схема с шестьчз неизвестными токами; э. д.с. источников: fij = б В, £3 = 2 В и £3 = 18 В; сопротивления ветвей: = / 2 = г^ = 2 Ом и = /-5 = /-д = б Ом. Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи во всех ветвях.

а)

Рис. 1-26.

Решение. Пусть потенциал точки О равен нулю. Запишем уравнения для узлов с потенциалами (pi, фа и фз:

(gl +g-2.+ gs) Ф1 -йфг - ёзЧ>з = - Eigi - Ei-Eaga,

- ЙФ1 + (gi + g-. + ge)4>i- gb4>a = -eaga;

- ЙФ1 - gb4>1 + (gs + gi + gb) фз = Eggs,

или после подстановки числовых значений проводимостей и э. д. с.

уф1-2Ф2-

2фз = -18; - 4-ф1+й~ф2-1 Фз = 6;

1 1,5 -1 Ф1- 6 Ф2 + -6 Фз

6 = 9.

Решая совместно эти уравнения, находим искомые потенциалы: ф[ = - 9 В; Фз = 3 В; Фз = 6 В. Для определения токов в ветвях следует задаться их положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов (рис. 1-26, а)

1=(фо -ф1 -£1)= 1,5 А; /2=(ф1-ф2--£2)ё'а = 0; /з=(ф1 -фз+£з)§з= 1,5 А; /4=(фз ф„) 1 А; /!; = (фз-ф2)§ = 0,5 А; /б = (ф2-фо)§в = 0,5 А.

Матричные уравнения узловых потенциалов. Уравнения узловых аотенциалов (1-33) можно записать в матричной форме:

где

g(y) =

- gn §22

-gi-y -giy

- gyl-gy2----+gt

У У

- квадратная матрица узловых проводимостей схемы;

- матрица-столбец потенциалов узлов и матрица-столбец токов источников тока в узлах, где по (1-ЗЗа) и\, = Ji + EEjg,/, при этом алгебраическое суммирование, выполняемое с учетом знаков, распространяется на все ветви с источниками токов и с источниками напряжений, присоединенные к г-му узлу.

Умножая слева уравнение (1-47) на lgyV получим выражение для определения потенциалов узлов схемы в виде

(1-48)

где lg<y> - матрица, обратная матрице [igjl.

Ниже показано, что матрицу узловых проводимостей цепи можно составить непосредственно по соответствующей схеме, применяя формулу

g<y) = Ag (1-49)

где А - матрица соединения узловых проводимостей ветвей схемы или ее ориентированного графа, ga - диагональная матрица проводимостей ветвей; А' - транспонированная матрица соединения узловых проводимостей ветвей схемы или ее ориентированного графа. Матрица А составляется следующим образом- столбцы матрицы соответствуют ветвям схемы, а ее строки - узлам, на пересечении строки и столбца записывается ±1 или О (пробел) в зависимости от того, присоединена данная ветвь к соответствующему узлу или nei; положительный знак записывается в том случае, когда ветвь направлена от узла, а отрицательный - к узлу; при этом направление ветви обычно совмещается с положительным направлением тока ~в нен7

Для иллюстрации применения формулы (1-49) рассмотрим схему рис. 1-26, а, для которой на рис. 1-26, б построен ориентированный граф. Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для нее можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трех строк и шести столбцов:

-1 1 10 0 0 А= 0-1 0 0-11 О 0-11 10 Диагональная матрица проводимостей ветвей = 1/г^ равна: g-i О О О О О О

О О О

О

О

О

о

о о

о о

gb о о Sa

О

о

- go gb

О

ge О

Произведение матриц А и равно:

- gl gi gs

Agrf= О -g2 О О О -g3

Матрица узловых проводимостей цепи получаегся после перемножения матриц Agrf и А':

Si Й2 g, О 0 0 3. g, о о - gj g, 3 о -из о

g(y) = AgAf =

-I О

I -1

0 -1

I -h ga -Ь g,) -Й2 (i

. + S, + ge)

f £i + gs)

Матрица-столбец потенциалов узлов

ф= ф2

Матрица-столбец источников тока

- Eigi - Е.£2 - Eags

Jc=i E2g2

Г

Esga