Главная  Электрическая энергия в отраслях промышленности 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

Таким образом, уравнения, составленные относительно неизвестных напряжений на зажимах ветвей, не зависят от того, какой узел в схеме заземлен

Аналогичные соотношения справедливы и для узловых уравнений в случае более сложных схем. Действительно, например, для


Рис. 1-23.

узлов 1,2, 3 и 4 схемы рис. 1-23, а и б при Фб = О запишем следую-ш,ие уравнения:

(gi + gu + gii) ф1 - gu(pi - gu4>i = Eigi = /ь

- §21ф1 + {g2 + gil + g24) Фз - ё'ззфз = 0;

- ёГззфз Л {g32 + g3i + gs) Фз - ё'з4ф4 = О,

- ЙХФХ - ё'4зФз + (gil + gi3 + gi) Ф4

(1-40)

Этим уравнениям соответствует определитель узловых прово-димостей

{gl + gl2+gll) -gl2 О -gu

-gn igi+gil + gii) -g23 0

0 -g-33 (g32 4-g34 + g-3) -g-34

-gil 0 -gi3 {gil + gi3 + gi)

(1-41)

Для той же схемы и при том же заземленном узлефз = О можно составить независимые узловые уравнения для других узлов, например для 2, 3, 4 и 5, в следуюш,ем виде:

- + (g2 + g21 + g .ч) ф2 - ё23Ц>6 = 0;

- §32ф2 + (§3 + е32 Ч g3i) Фз - ?3ф4 ~= 0;

- 41ф1 - §43ФЗ + to + 41 + ё'и) ф4 = О,

(1-42)



£)(у)=

(1-43)

Полученным уравнениям соответствует определитель

-g21 ig2+g21+gls) -g2i О

О -gsz (gs + gsz + gsi) -g-n

-ga 0 -g-43 (g-4 gj.+Я43)

- Sl -gi -gs -gi

Определители (1-41) и (1-43) в раскрытой форме равны между собой и содержат по 45 слагаемых. Однако в определителе (1-41) окончательный результат получается после сокращения 76 попарно равных по абсолютному значению и противоположных по знаку членов, а в определителе (1-43) только 16 таких слагаемых Иначе говоря, если в определителе (1-41) общее число членов (до сокращения) равно 121, го в определителе (1-43) таких членов 61

Особо подчеркнем, что определители (1-41) и (1-43) легко получаются из определителя, составленного для зависимой системы уравнений, т е записанной для всех узлов схемы Действительно, для схемы рис 1-23 определитель системы узловых уравнений для всех пяти узлов

(gl2 l-gu + gl) -gl2 о - -g,

- gai (g2i + g2j + g2) -g3 0 -ga

0 -gM (g32-hg3, + g3) -g34 -gj

-gji 0 - gjj (g4, I g + g4) -a

D(y)=

- gl - g2 - gj - g4 (gl + g2 + gj + fi*)

(I 44)

Этот определитель соответствует неопределенной узловой магрице (отмечено индексом н ), т е полной системе уравнений с пятью неизвестными узловыми потенциалами, сумма элементов такого определителя по строкам и столбцам равна нулю Определитель (1-41), соответствующий системе независимых уравнении (1-40), получается из (1-44) вычеркиванием пятой строки и пятого сточбца, а определитель (1-43), соответствующий уравнениям (1-42), получается из (1-44) вычеркиванием первой строки и пятого столбца Все это и определяет основные соотношения между параметрами схемы, узловыми уравнениями н соответствующими определителями, которые следует учитывать при анализе цепей методом узловых потенциалов

Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками э д с , а сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (1-33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной э д с из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются

Для иллюстрации рассмотрим схему (рис 1-24, а), у которой в ветви 2-4 сопротивление равно нулю, а э д с равна Е Если 1- аждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включи1Ъ-




Рис. 1-24.

ИСТОЧНИК напряжения с э. д. с, равной Е и направленной от узла 2 (на рис. 1-24, а эти э. д. с. изображены пунктиром), то токи во

всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками'/, 5, 4 будут, так же как в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 1-24, б). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (1-33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 1-24, б), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением г = О (рис. 1-23, а) по первому закону Кирхгофа.

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса э. д. с. через узел схемы в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 1-24, а) ф4 = О, то потенциал фа узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов ф1 и фз нужно составить уравнения (1-33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 1-23, б).

Полезно еш,е рассмотреть применение уравнений (1-33) для частного случая схемы с двумя узлами

и произвольным числом активных ветвей, когда требуется определить напряжение между этими узлами.

Пусть между узлами 1 и 2 включено т ветвей (рис. 1-25). Найдем напряжение U, записав уравнение (1-33) для первого узла

{gl + ei + gi\---- + gh-\-----\-gm) Ф1 -

h - т

+ gm)i= 2] Ehgk,


Рис 1-25.

- (gi + й +3 + откуда

(1-45)

12 = Ф1-Ф2 =

h - m 2 hgh

h=m й = 1

(1-46)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 [ 10 ] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов