Таким образом, уравнения, составленные относительно неизвестных напряжений на зажимах ветвей, не зависят от того, какой узел в схеме заземлен

Аналогичные соотношения справедливы и для узловых уравнений в случае более сложных схем. Действительно, например, для

Рис. 1-23.

узлов 1,2, 3 и 4 схемы рис. 1-23, а и б при Фб = О запишем следую-ш,ие уравнения:

(gi + gu + gii) ф1 - gu(pi - gu4>i = Eigi = /ь

- §21ф1 + {g2 + gil + g24) Фз - ё'ззфз = 0;

- ёГззфз Л {g32 + g3i + gs) Фз - ё'з4ф4 = О,

- ЙХФХ - ё'4зФз + (gil + gi3 + gi) Ф4

(1-40)

Этим уравнениям соответствует определитель узловых прово-димостей

{gl + gl2+gll) -gl2 О -gu

-gn igi+gil + gii) -g23 0

0 -g-33 (g32 4-g34 + g-3) -g-34

-gil 0 -gi3 {gil + gi3 + gi)

(1-41)

Для той же схемы и при том же заземленном узлефз = О можно составить независимые узловые уравнения для других узлов, например для 2, 3, 4 и 5, в следуюш,ем виде:

- + (g2 + g21 + g .ч) ф2 - ё23Ц>6 = 0;

- §32ф2 + (§3 + е32 Ч g3i) Фз - ?3ф4 ~= 0;

- 41ф1 - §43ФЗ + to + 41 + ё'и) ф4 = О,

(1-42)

£)(у)=

(1-43)

Полученным уравнениям соответствует определитель

-g21 ig2+g21+gls) -g2i О

О -gsz (gs + gsz + gsi) -g-n

-ga 0 -g-43 (g-4 gj.+Я43)

- Sl -gi -gs -gi

Определители (1-41) и (1-43) в раскрытой форме равны между собой и содержат по 45 слагаемых. Однако в определителе (1-41) окончательный результат получается после сокращения 76 попарно равных по абсолютному значению и противоположных по знаку членов, а в определителе (1-43) только 16 таких слагаемых Иначе говоря, если в определителе (1-41) общее число членов (до сокращения) равно 121, го в определителе (1-43) таких членов 61

Особо подчеркнем, что определители (1-41) и (1-43) легко получаются из определителя, составленного для зависимой системы уравнений, т е записанной для всех узлов схемы Действительно, для схемы рис 1-23 определитель системы узловых уравнений для всех пяти узлов

(gl2 l-gu + gl) -gl2 о - -g,

- gai (g2i + g2j + g2) -g3 0 -ga

0 -gM (g32-hg3, + g3) -g34 -gj

-gji 0 - gjj (g4, I g + g4) -a

D(y)=

- gl - g2 - gj - g4 (gl + g2 + gj + fi*)

(I 44)

Этот определитель соответствует неопределенной узловой магрице (отмечено индексом н ), т е полной системе уравнений с пятью неизвестными узловыми потенциалами, сумма элементов такого определителя по строкам и столбцам равна нулю Определитель (1-41), соответствующий системе независимых уравнении (1-40), получается из (1-44) вычеркиванием пятой строки и пятого сточбца, а определитель (1-43), соответствующий уравнениям (1-42), получается из (1-44) вычеркиванием первой строки и пятого столбца Все это и определяет основные соотношения между параметрами схемы, узловыми уравнениями н соответствующими определителями, которые следует учитывать при анализе цепей методом узловых потенциалов

Если в цепи имеются ветви с идеальными источниками э д с , а сопротивлениями этих ветвей можно пренебречь, то при составлении уравнений (1-33) получается неопределенность, поскольку проводимости таких ветвей бесконечно большие Такое затруднение преодолевается путем переноса заданной э д с из ветви с нулевым сопротивлением через соответствующий узел в другие ветви, присоединенные к тому же узлу и имеющие конечные значения сопротивлений В результате такого преобразования токи во всех ветвях заданной схемы не изменяются

Для иллюстрации рассмотрим схему (рис 1-24, а), у которой в ветви 2-4 сопротивление равно нулю, а э д с равна Е Если 1- аждую ветвь, присоединенную, например, к узлу 2, включи1Ъ-

Рис. 1-24.

ИСТОЧНИК напряжения с э. д. с, равной Е и направленной от узла 2 (на рис. 1-24, а эти э. д. с. изображены пунктиром), то токи во

всех ветвях останутся без изменения, поскольку разности потенциалов между точками'/, 5, 4 будут, так же как в заданной схеме, равны нулю. Теперь потенциалы узлов 2 и 4, очевидно, одинаковы и их можно объединить в одну точку (рис. 1-24, б). Для полученной схемы с тремя узлами (вместо четырех) можно составить два независимых уравнения вида (1-33), из которых определяются искомые потенциалы двух узлов, а затем по закону Ома токи во всех ветвях схемы (рис. 1-24, б), после чего легко найти ток в ветви с сопротивлением г = О (рис. 1-23, а) по первому закону Кирхгофа.

Рассмотренную и аналогичные ей задачи можно решить и без предварительного переноса э. д. с. через узел схемы в другие ветви. Действительно, если принять в заданной схеме (рис. 1-24, а) ф4 = О, то потенциал фа узла 2, очевидно, будет равен Е. Для определения двух неизвестных потенциалов ф1 и фз нужно составить уравнения (1-33), которые полностью совпадут с уравнениями, составленными для тех же узлов эквивалентной схемы (рис. 1-23, б).

Полезно еш,е рассмотреть применение уравнений (1-33) для частного случая схемы с двумя узлами

и произвольным числом активных ветвей, когда требуется определить напряжение между этими узлами.

Пусть между узлами 1 и 2 включено т ветвей (рис. 1-25). Найдем напряжение U, записав уравнение (1-33) для первого узла

{gl + ei + gi\---- + gh-\-----\-gm) Ф1 -

h - т

+ gm)i= 2] Ehgk,

Рис 1-25.

- (gi + й +3 + откуда

(1-45)

12 = Ф1-Ф2 =

h - m 2 hgh

h=m й = 1

(1-46)