Главная  Анализ дифракции радиоволн 

1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Интегральное уравнение (2.82), соответствующее первичным полям, имеющим только составляющие Е°х, Е^у и Н°г, может быть получено следующим образом. Так как в этом случае векторный потенциал А имеет одну х-ю составляющую (к=-к.оА{х, у)), то из (1.12) и граничного условия (1.4) следует дифференциальное уравнение для функции А:

d*A dx*

(2.85)

Решая (2.85) методом вариации произвольных постоянных и приравнивая получающееся прн этом выражение для А соответствующему выражению, вытекающему из (2.84) при а^х^Ь. у=0, приходим к (2.82).

Интегральные уравнения для других плоских поверхностей, относящихся к рассматриваемому классу, записываются аналогично. Остановимся более подробно на частном случае, когда поверхность 5 представляет собой полуплоскость.

Для перехода от полосы к полуплоскости достаточно в полученных выше формулах положить а = 0 и Ь=оо. При этом для £-поляризованных полей интегральное уравнение получается из (2.70) и может быть записано в форме

i{l)H{k\x-l\)dl = F(x), х>0.

(2.86)

где F(x) =

Отметим, что (2.86) допускает строгое решение. Оно может быть получено, например, методом Винера - Хопфа. Применение этого метода [67] приводит к следующему выражению:

/ (е) = 1-! -Л. f(£ T,)-V2 ei i -1 If (x) (x~ ri)-V e-* dx.

(2.87)

Для применения (2. 87) достаточно знать напряженность электрического поля в точках, принадлежащих рассматриваемой полуплоскости. Однако формула (2.87) весьма сложна, и получение на ее основе результатов, удобных для численных расчетов, часто оказывается затруднительным.

Гринбергом [50] было показано, что в тех случаях, когда о первичном поле имеются более подробные данные, а именно, известна касательная составляющая напряженности магнитного поля на самой полуплоскости и на ее продолжении, решение (2.86) может быть представлено в значительно более простой форме:

л 0 Ч -f-

IB случае -поляризованных полей переход к интегральному уравнению для полуплоскости осуществляется аналогично. В качестве исходного может быть взято интегральное уравнение для полосы в форме (2.76) или (2.83). При этом условие ]х(а)=0 принимает вид /х(0)=0, а условие /х(Ь)=0 должно быть заменено требованием, чтобы функция Ах(х) (правая часть указанных уравнений) удовлетворяла условию излучения при х-оо. Для построения решения полученного таким образом интегрального уравнения также может быть использовано (2.87). Однако, как и в случае f-поляризации, получение на ее основе результатов, удоб-

ных для численных ным. Гринбергом [34

засчетов, часто оказывается затруднительна основе развитого им метода теневы.ч токов было получено значительно более простое выражение для плотности токов, наведенных Я-поляризованным первичным полем на идеально проводящей полуплоскости:

о Vt(t-\-l)

(2.89)

If Выпишем теперь интегральные уравнения плоской задачи дифракции электромагнитных волн на нескольких полосах, расположенных в одной плоскости или в параллельных плоскостях, полученные в [34]. Обозначим через j, плотность токов, наведенных на q-Pi полосе (aqxbq-, у=уд; -oo<z<oo). В случае £-поляризации lg=2°jq{x), и непосредственно из условия равенства нулю касательной составляющей напряженности первичного электрического поля на т-й полосе следует соотношение

-Y \ira{l)Hf{kL,)dl = E\(x; yq),

4 m=l а„

(2.90)

ugxbq, q=\, 2, n.

где Lmq=V {x-l)+{yq-ymY\ Ут И у, - зизчения координаты у иа т-й и q-H полосах соответственно. Соотношение (2.90) представляет собой систему из п совокупных интегральных уравнений Фредгольма первого рода для функций jq{x), q=l, 2, п. В случае Я-поляризацни jg=xO/g(x), и по аналогии с (2.71) получаем

Y flm (1) о' гпя) dim- Л\ (х, {/,) -

т=1 а

ш дх

т

йдХ^Ьд, 9=1,2,..., П,

где Wq - функция, удовлетворяющая уравнению

ОдХ

(2.91)

(2.92) 51



Соотношение (2.91) также предегавляет собой систему из п совокупных интегральных уравнений Фредгольма первого рода для функций j,j(x). Как и для одиночной полосы, правые части интегральных уравнений определены не полностью. Уравнение (2.92) позволяет построить каждую из функций Wg{x) с точностью до двух произвольных постоянных. Поэтому окончательное определение Wq{x), а следовательно, и искомых функций jq{x) возможно только после использования условий jg(aq)

Очевидно, что вместо Wg в (2.91) можно подставить ее явное выражение, получающееся из (2.92). При этом правую часть (2.91) можно представить различным образом, аналогично тому, как это было сделано для одиночной полосы. Легко перейти также к случаю, когда одна или несколько полос имеют полубесконечную ширину, т. е. являются полуплоскостями. При этом, конечно, соответствующие нм функции должны удовлетворять условию излучения.

Отметим, что в [34] и [50] получены асимптотические решения интегральных уравнений двумерных задач дифракции произвольных Е- и Я-поляризованных электромагнитных полей на идеально проводящей плоскости с широкой по сравнению с длиной волны прямолинейной щелью.

2.4. Задачи дифракции на плоских экранах с анизотропной проводимостью

В последние годы существенно возрос интерес к задачам дифракции электромагнитных волн на анизотропных экранах (см., например, [68]). Исследование этой проблемы сопряжено с большими математическими трудностями, и решение даже двумерной задачи дифракции линейно-поляризованной плоской электромагнитной волны на анизотропной полуплоскости [69] оказывается весьма сложным.

Анализ многих практически важных вопросов может быть сведен к решению задачи дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких плоских экранах, обладающих бесконечно большой проводимостью в заданном направлении и непроводящих в других направлениях. Однако и этот частный случай анизотропии исследован недостаточно. Фактически решена только задача о дифракции поверхностных волн на ребре анизотропно проводящей полуплоскости [70-73].

В [74] был предложен метод анализа дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких плоских экранах, обладающих анизотропной


проводимостью, основанный на сведении задачи к строгому интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Изложим основные идеи этого метода.

Пусть бесконечно тонкий плоский экран произвольного очертания 5 (рис. 2.6), расположенный в плоскости у=0, обладает бесконечно большой проводимостью в направлениях +1°, где t*=x*cos a-f-z sin а, и является непроводящим в любом другом направлении.

Тогда при любом первичном поле Е , Н° плотность токов, на-вгденных на экране S, может быть представлена в виде i=t°j(x, z), а векторный потенциал этих токов A=fPA{x, у, г), где

dS;

(2.93)

L=\r(x-ir + y + (z-l);

d5=dd; X, у, г - координаты точки наблюдения; х=\, у=0, z=t, - координаты точки интегрирования ( и eS).

Если бы значения функции А(х, у, z) были известны в какой-нибудь области пространства, то (2.93), примененное к точкам этой области, можно было бы рассматривать как интегральное уравнение для функции /(; ). Попробуем определить А{х, у, z) на поверхности экрана 5.

На S должно выполняться граничное условие

£,(>;. О, г) = ~Е\(х, О, г); при х и zeS, (2.94)

где Et и E°t - проекции векторов напряженности соответственно вторичного и первичного электрических полей на направление t.

Выражая Et через скалярную функцию А (х, у, z) и подставляя в (2.94), получаем дифференциальное уравнение в частных производных

cos=a- + sin2a-H-sin==a--bftM=f(x. 2): х и ге5,

(2.95)

где f(x, z)=-itueM,(£°3cCOsa-b£°zSin а) а знак Л, как и прежде, означает, что соответствующая функция вычислена в точках, принадлежащих экрану 5.

Предположим для простоты, что источники первичного поля не находятся на поверхности 5. Решение (2.95) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых

AF{x, z) + w{x,z), (2.96)

где F{x, z)-некоторое ограниченное и однозначное на S частное решение (2.95), а w{x, z) -тоже ограниченное и однозначное на 5 решение однородного уравнения

cos2cti!.sin2a4+sin a--f А^сг<=0; х и ге5. (2.97)



Если экран S протяжен до бесконечности, то функция w должна удовлетворять условию излучения.

Применяя (2 93) к точкам поверхности S и приравнивая правые части (2.93) и (2.96). придем к интегральному уравнению Фредгольма первого рода

{I, I)

ds = f{x, z) + w{x. г); х и ?eS,

(2.98)

где Lo=](x-i)2+(z-C)2.

Уравнение (2.98) относится к тому же классу, что и уравнения, рассмотренные в § 2.1. Входящая в правую часть (2.98) функция f(x, z) легко определяется при любой правой части (2.95), и ее можно считать известной. Если бы функция w{x, z) также была полностью определена, то (2.98) могло бы непосредственно служить для нахождения плотности тока j(x, z). Так как на самом деле она известна не полностью, то для определения j(x, z) так же, как и в рассмотренных ранее уравнениях, требуется сначала решить (2.98) в общем виде, подставив в него в качестве w(x, z) наиболее общее решение (2.97), ограниченное и однозначное на S. Функция w(x, z) найдется после этого из требования обращения в нуль на краевой линии экрана проекции вектора плотности тока \(х, z) на нормаль к этой краевой линии. На непараллельных вектору to участках краевой линии рассматриваемого экрана это требование эквивалентно требованию обращения в нуль самой функции /(х, z). После выполнения сформулированного условия функция w(x. z), а следовательно, и все решение задачи, как естественно ожидать и как будет видно из приведенного ниже примера, определяется однозначно.

Отметим, что (2.97) относится к параболическому типу [75] и введением переменных =xcosa--zsina; 1,=--xsma+zcosa преобразовывается к канонической форме. При этом общее решение (2.97) может быть записано в виде йУ= Vi()e 6-b 2()е- б, где v\(x) и viix)-произвольные ограниченные и однозначные на S функции, для окончательного определения которых должно быть использовано указанное выше условие на краевой линии экрана.

В частном случае двумерных задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах, обладающих анизотропной проводимостью, (2.98) упрощается.

Пусть экран S представляет собой бесконечно тонкую полосу y=0, -cx3<2<cxD, обладающую бесконечно большой проводимостью в направлениях it и непроводящую в других направлениях, а первичное поле ие зависит от переменной z.

Функция А в этом случае определяется выражением

А (X. /) = f у / (i) н? {к V{x ir+y) dl;

а

(299)

а дифференциальное уравнение (2.95) принимает вид dA

+ xM=-i(x). а^х: дх* cosa

(2.1(Ю)

где

fi{x)=Eo{x)cosa + E\sina; x = /cosa. (2.101)

Решение (2.100) можно представить в форме л (х) = f (х) + w (х), где

f{x)=

. jfi(?)sinx(x-E)d?;

ft cos а

a; (x) = Ci е-Ч-Q е' *,

a Ci и Сг - некоторые, пока произвольные постоянные. С учетом полученных соотношений из (2.98) получаем

--т hi ik\x-l\) dlc, е-- + Q е'- -ft cos а J

(2.102) (2.103)

(2.104)

Постоянные C и Сг должны быть определены в процессе решения (2.104) из условий /(а)=/(6) =0.

В частном случае ь = оо, когда полоса переходит в полуплоскость, (2.104) допускает строгое аналитическое решение.

Рассмотрим в качестве примера падение плоской линейно-поляризованной электромагнитной волны на анизотропно проводящую полуплоскость х^о, у=0, -оо<2<оо. Пусть направление распространения волны образует углы у, л12+у и л/2 с осями

Y и Z соответственно. Положим в (2.104) а=0, Ъ = оо, а напряженность первичного электрического поля зададим в виде Е = е £о е~ * <=°= v - * sin v) (2.105)

где £o=const, а е'=х'* cos ij3-)-y° cos if2-i-z° cos ij)3 - единичный вектор, перпендикулярный направлению распространения плоской волны (2.105).

Углы ifi, 1))2, if3 и Y связаны соотношениями cos2t3i-bcos2(t;2-f -;-cos2i)33= 1, cosCOSY-cosi):2 sin y = 0. В рассматриваемом случае f 1 (x) =/7£oe~**°*, где p = cos i);! cos a-l-cos \]зз sin a. Выполняя интегрирование в (2.102), получаем

f{x) =

i (oeji p Eo 2ft cos a

I ftjc cos V g- i ft cos V g- X * I

(2.106)

к-f ft COSY X -ft COSY J

Подставляя (2.106) и (2.103) в (2.101) и учитывая, что функция А должна удовлетворять условию излучения при х-->оо находим одну из постоянных, входящих в правую часть (2.104):

С, = - i (ЙЦ /7 Ej\2k{\ + cos Y cos tx)]. 55.



1 2 3 4 5 6 7 8 [ 9 ] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов