Совместим начало координат с центром кольца. Введем в рассмотрение цилиндрическую систему координат г, ф, z ось Z кото-рой совпадает с осью Z декартовой системы координат, а угол ip отсчитывается от полуплоскости х^О; w=0; -сх)<2<сх) (см рис. 2.2).

Переходя в (2.14) и (2.15) к цилиндрическим координатам и

учитывая, очевидные соотношения - = -совф--5- -sin©

дх дг г аш

ош dw . , \ dw

- = - sin ф Ч---cos ф, получаем

ду дг \г аф

1 мц 4я

Ч)+2л

iprfp i /х(Р. )

= -1шЛ ,(г, ф)-(

.-iftL, (г. ф. р. *)

а, ф U(.r, ф, р, Ip)

1 dw(r, ф)

/ аф

sin ф;

(2.29)

rw г ; .1Л----- d\J) =

f-oC-, ф. P. ФЬ

= -1©/1%(7-, ф)-

аш{г, ф) . 1 dw(r, ф)

--Sin ф---COS ф,

дг г аф

где L{r, ф, р, 1)) = 1 - 2-1-р2-2/-pcos(\J)-ф); Oi</-<i 0<ф<2я,

а функция гг(г, ф) должна быть определена из уравнения (2.11), которое в рассматриваемом случае имеет вид

1-1----\-kW = l(xi--

(2.30)

J д / d w

г дг \ дг

(2.31)

Как и в (2.14) и (2.15), правые части уравнений (2.29) и (2.30) определены не полностью. Составляющие А°х{г, ф) и А°х{г, ф) - известные функции, а ш(г, ff)=w°{r, ff)+w(r, ф). Функция w°{r, ф) является однозначным и ограниченным при aira2 частным решением уравнения (2.31). Она легко определяется при .любом первичном поле, и ее можно считать известной. Однако о функции ш(г, ф) пока известно только, что она является однозначным и ограниченным при aira2 решением однородного уравнения

а / аш\

дг \ дг )

1 dw

-f ft2w = 0.

дг \ дг I т' аф2

Ее окончательное определение возможно только после использования условия (2.16), которое в рассматриваемом случае записывается следующим образом:

/г (Oi, ц = /г (С2. = О, (2.32)

Предполагается, что источники первичного поля не находятся на поверхности кольца.

где /г(р, i) -радиальная составляющая вектора j(p, 1J3), связанная с /а:(р, 1з) и jy{p, 1)) соотношением

/, (р. ) = /х (р. If) cos 1) + jy (p. 15) sin tjp. (2.33)

Так же, как в общем случае, (2.29) и (2.30), можно объединить в одно интегральное уравнение для вектора j(p, ij:):

4я J Lo(r, ф, р, 1р)

= -i©A\(7-, ф)-gradti)(7-, ф); а^г^Оа; 0<ф<2я, (2.34)

где А'(г, ф) =х'А'а:(г, ф)-f У^Л^у(г, ф) - касатсльная к плоскости z = 0 составляющая первичного векторного потенциала

А(г, ф)=А(г, ф 0) при а\г^а2.

Из (2.29), (2.30) и (2.34) легко получаются интегральные уравнения задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящем бесконечно тонком диске радиуса а. Для этого достаточно в левых частях указанных уравнений положить ai=0 и а2=а, а вместо (2.32) потребовать выполнения условия /V(a, 1:)=0.

Для перехода к случаю идеально проводящие плоскости с круглым отверстием радиуса а в указанных уравнениях нужно положить а\=а, а2=оо и потребовать, чтобы при г-оо функция w удовлетворяла условию излучения.

Полученные интегральные уравнения могут быть сведены к системе независимых одномерны. интегральных уравнений для Фурье - составляющих плотности тока, наведенного на рассматриваемой поверхности.

i. Представим искомые функции jx{p, >1р) и jy{p, \1р) в виде

/v(p. у^)= /ГЧр)е

v = x, у.

(2.35)

Подставляя (2.35) в (2.29) и (2.30), меняя порядок интегрирования и суммирования и переходя во внутреннем интеграле к новой переменной p=it)-ф, получаем

- j pdp f /v(p, )

Ф

g- i fcl, (r. Ф. p. U{r, Ф, p, *)

d \j) = i CO Av(/-, ф) =

= i© 2 A<>{r)e f; v = a;; y,

m=-00

2Л g-ifcl. (r. p. P)

2jt i fcio (r. p, P)

L (r, p, P)

o(r. p, P) = l -2 + p*-2/-pcosp.

cosmpdp.

(2.36)

(2.37)

Таким образом, левые части (2.29) и (2.30) представлены в вц. де рядов Фурье. Разложим в ряды Фурье и правые части этих урав нений. Пусть

v (г, ф) = 2 W е ; = х; у;

= /( . Ф)= Ц /< >(/ ) е': - ;

w(r, ф)= 2 w Цr)e ч>.

(2.38 (2.39 (2.40

Так как первичное поле известно, то функции Лж (. Л * С) и / (г) также можно считать известными. Для определенир w< Цr) подставим (2.40) в (2.31). В результате получим

+ = (2.4.

Решение (2.41) может быть записано в виде

даС ) (г) = fej ) (kr) + (kr) + /( (/ ), (2.42

где /,( )(r) = {/ж(йг)]7 Чр)рЛт(А:р)йр+Л^т(йг) < (p) X

Xp/m(ftp)dp};

a bi( > и Ьг * - некоторые постоянные, значения которых должны быть найдены из (2.32).

Функция P {r) полностью определяется первичным полем, и ее можно считать известной. Следовательно, (2.42) определяет функцию ш< )(г) с точностью до двух постоянных bi< > и Ьг** . которые пока можно считать произвольными.

Отметим, что решение (2.41) может быть также записано в несколько иной форме:

шС ) {г) = УГ Hi (kr) + Hi (kr)- (/ ), (2.43)

где Рг*- (г) = ? (р) р (kr) ЯО (ftp) - Я() (kr) X

Hmikr) И W>m{kr) -функция Ханкбля ш-го порядка первого l второго рода соответственно, а bi( ) и Ьг , как и в (2.42), - не которые постоянные, подлежащие определению.

В правые части (2.29) и (2.30) входят функции созф

Sin ф,

I dw I dw .

COS ф и--sin ф.

дг г дф г d(f

Учитывая (2.40), представим их в виде рядов Фурье. Подставля} полученные выражения и используя (2.36) и (2.37), получаем

i©4j,(r, ф)=1© 2 -rWе'= 40

S е^-[-ш ДОС ) (г) + 4 ггС -) (г) -

©у44,(7-,ф) = 1© 2 Л^ Ч'-)е =

(2.44)

2 е'-ф{-1шЛ- (г)--[?гг;(--1)(г)-!

(2.45)

Jcли функции гг( )(г) выражаются формулой (2.42), то из (2.29) и (2.30) с учетом (2.36), (2.38), (2.44) и (2.45) следуют интегральные уравнения для функций /х< >(р) и /V 4p):

--i >AV>(r) + crj {kr) + 4 N (kr)+gr(r}-gr{r); (2.46) i/r(p)Ppj cosmMP

= -icO Л^< (/ )- i dr Jm (kr)-idr {kr)~\gr {r)-igr (r).

где ara, I

(Л) =

dp(m--l)

(2.47)

(2.48) (2.49)

2 I r w -Г

a ci( ), сг* *, dl *) и г^ ) - постоянные, связанные с biC ) и Ьг соотношениями

с} ) = А-[ ь}- - ; сГ* = [ ьГ->- 4 + ] ;

(2.50); (2.51)

(2.52): (2.53)

тметим, что (2.48) и (2.49) можно также представить в виде ?Г{г) = { {kr) J/(-) (р)р N , {kp)dp +

fm{kr)lh -Hp)pJm-l{kp)dpj :

+ iV (/г/-) ff< +> (Р) Р (ft Р) d р

где

еГ(г)=4-

Pi -(г) -()

±1/Г+)(;-) +

dPf+i) (г)

(2.58) (2.59)

Таким образом, исходные интегральные уравнения (2.29) (2.30) эквивалентны системе независимых одномерных интеграль- 2 I г dr ных уравнений (2.46) и (2.47) для функций /У-)(р) и /У-)(р) со- постоянные с^ и diK v=l, 2, связаны с постоянными ответственно 1 о V в

Уравнение (2.46) в принципе позволяет определить функцию'J 2- правую часть (2.43) соотношениями (2.50) -

/У (Р) с точностью до двух пока неизвестных постоянныИ- формулы (2.58) и (2.59) можно также преоб-с.сп) и сг . Аналогично (2.47) определяет функцию /V-Jp с точ-Р^ь к виду ностью до двух других также пока неизвестных постоянных , inft . ш-п ,2) m

d,(ni) и 2< . Эти четыре постоянные связаны с постоянными О i (7-)=-Jpf {p)lfiW (kr) W Li(kp)-Wrn {kr)H}Li(kp)]dp; bi*- -), bl +\ b2< *-> и b2 + соотношениями (2.50)-(2.53). Как

уже отмечалось, для нахождения неизвестных постоянных служат ( ,L ft°.( ,) 2)-. , (I) , , (2) .

условия (2.32). Действительно, разлагая функцию /г(р, ij:) в ря.12 КП--\РГ (P)Wm (kr)H,n+\{kp)-n,n {kr)H +\{kp)]dp.

Фурье

Ив этом случае в выражение для радиальной составляющей /г (р. 1)= S / Чр)е * (2-54);V(n)(p) плотности полного тока, наведенного на плоском

и подставляя (2.54) и (2.32), получаем

/r(ai)=/r(a.) = o.

кольце,

войдут только постоянные biC ) и 2 , которые однозначно определятся из (2.53). При этом также однозначно определятся посто-(2 55)* 2 . i и 2* .

Полученные системы интегральных уравнений (2.46), (2.47) и

Сравнивая (2.46) и (2.47) и учитывая вытекающее из (2.33) ра (2.56), (2.57) эквивалентны и различаются только формой запи-венство . /г< >(р) = (1/2)[/У' -1>(р) +/У +>(р)] - (i/2) [/V * (p)- си правых частей. Однако для перехода к случаю диска удобнее yynt+i)(p)], нетрудно показать, что в выражение для т-й компс пользоваться (2.46) и (2.47), а для перехода к случаю плоскости ненты Фурье радиальной составляющей плотности полного токяс круглым отверстием - системой (2.56) и (2.57). Рассмотрим эти уУ (р) войдут только постоянные Ь!** и Ьг *- Поэтому наложе частные случаи.

ние на функцию /V (p) условий (2.55) приводит к .пинейной ал- Полагая в (2.46) и (2.47) а,=0 и fl2=a и учитывая, что функ-гебраической системе двух уравнении с двумя неизвестнымчц^,, ,(m)r) должна быть ограниченной при г-0 (т е Т^О) и Ь2 ). Из этой системы постоянные Ь,-) и Ь^щ определяют-получаем интегральные уравнения задачи дифракции электрома-ся однозначно. Так как данные рассуждения справедливы дл гнптных волн на идеально проводящем бесконечном диске-любого номера т, то, как и следовало ожидать, все решение бу

-ifcl.oC-. Р. Р)

ные вид

дет определено однозначно. г /( (p)pdp f -

Если функция гг)( )(г) выбрана в форме (2.43), то интеграль Ал J - ц(г, р, Р) ; уравнения для составляющих Ух* )(р) и / (р) принимаю . ( .)--г -

cos га р d р =

Lf/f)(p)pdp

2л - 1 ft io (г. P. P)

Lo(r. p. P)

cosrapdp =

iTcop

4л

(r)+c[

a 2л -1 ftl. (r. p, P)

i/r(p)PPi 7-

0 0 o(-. p. P)

(2.60)

cosmpdp =

= -ЫАТ^{г) + сГ Hl (kr) + ci HT {kr)-Gr (г) + ОГ ( ); (2.56<-= -ioi-) (O-idj-)/ ( r)-ig( ) (r)-ig( )(r), 0.

o, 2Л -ifcl. (r, p. p)

Liet f /( )(p)pdp f--

cos ra p d P =

где функции Л^С) и g2< () определяются (2.48)

-1соЛ°-(г)-1.Г>я-(И-1 4-я-(и + 1с|-(о-МсГ>(.).ТГ ~

(2.57 () = f .т (А'-) I/ 0>) Р Л^п, (ft Р) d Р -Ь

5а / а,

(2.61) и (2.49) со-