Главная  Анализ дифракции радиоволн 

1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Как видно, зависимость векторов первичного поля Е Н , от переменной z (определяется множителем ехр (-1*2cos б). Очевидно, что векторы вторичного электромагнитного поля Е|, Н| будут зависеть от z аналогично

Ei = Eji,(a:, г/)ехр( -ifecos6). Hi = Hj, (д:, j/)exp ( - i cos 6). (1.43)

причем Я^р^(д:, i/)=0.

Вектор El удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1.2), которое с учетом (1.43) может быть записано в виде

Е^дх + EJdy + (k sin 6)= Е, = 0. (1.44)

При решении задачи в случае £-полярнзованной первичной волны можно ограничиться определением составляющей Ег, так как остальные составляющие выражаются через fz.

Выведем формулы, связывающие поперечные составляющие векторов поля с продольными. Записывая уравнения Максвелла (1.1) в декартовой системе координат н учитывая, что дифференцирование по z в рассматриваемом случае эквивалентно умножению на (-iAcos6), приходим к соотношениям

дЕг

+ ik cos б-Ну = i (О еЕх, ikcose-Hx

дНг

= -iaeEu

+ 1 kcost-Ey= -i op. Язе, 1Асо5б-£эс4

дЕ, дх

= i щ1Ну.

(1.45)

Из (1.45) легко выразить составляющие £ , Нх и Ну через Е^ и Н^. Опуская элементарные преобразования, получаем

(А sin 6)2 (

дЕ. а Я,

k cos б --Н tofJ.

{ksini

дх дЕг

к cos б-- сои

1дНг

(к sin 6)=

(А sin б) (

дЕг , , дНг

г-- А cos б-

д Ег дНг

О) е -- -}- А cos б

>

(1.46)

В случае £-поляризацин Яг = 0 н для декартовы.х составляющих векторов Е| и Н| получаются соотношения

i А cos б дЕг (А sin 6) дх i сое дЕг

Hiy =

i А cos б fdEjz (А sin 6) ду ime dEiz

(ksinb) ду (A sin 6) дх

Для определения Et достаточно вычислить функцию £р^ =1Гг У^ которая удовлетворяет уравнению

ire 1Гг

-а/ + + (А Sin б)* = О.

вытекающему из (1.44). Как видно из (1.43), fj, отличается от Eг только множителем ехр (-[Аг cos 6). Функция должна также удовлетворять гра-

ничному условию £jp(Af)=-£ jj, (М), М^Т и условию излучения, аналогичному (1.32). В концевых точках и точках излома контура Г функция Е должна быть ограниченной. 26

Задача определения функции jfj, удовлетворяющей сформулированным .требованиям, эквивалентна двумерной задаче дифракции плоской волны Е в = 20 fOjrz =- оэ ехр ( - i Ai у), (1.47)

- хО£оэ УёТЙ ехр (-iAiJ/) на рассматриваемой цилиндрической поверхности S. В (1-47) £o3=£ioSin6, а Ai = Asin6. (1-48)

Подчеркнем, что эквивалентная двумерная (плоская) задача существенно отличается от исходной. Плоская волна (1-47) распространяется вдоль оси Y, т. е. падает на S перпендикулярно ее образующим, а волновое число ifei связано с волновым числом к исходной задачи соотношением (1.48). Физически (1.48) означает изменение частоты электромагнитных колебаний: решение эквивалентной задачи должно быть получено не при частоте I, а при faKB=/sin6.

Пусть теперь на цилиндрическую поверхность S падает Я-Поляризованная плоская волна (1.41). В этом случае удобно ввести в рассмотрение функции

EOjjj, = EOjjj, {X. y)=}fi £,0 ехр (- i Аг/ sin 6) .i

o = HO I ar - гг

связанные с Е^г и Hz соотношениями. EOj - Ео (jc, у) ехр (- i kz cos б),

HOj = (X. J/) ехр (- i A2 cos бЬ.

аналогичными (1.42). Векторы вторичного электромагнитного поля могут быть представлены в виде

E2=Ejjj,(x, у)ехр( -iAzcos6), Hi, = Hjjj,(x, у)ехр( -i Агсозб),

причем EYz У)=-

При определении вторичного поля Ег, Нг достаточно найтн составляющую Н2г(-<, у), так как остальные составляющие однозначно выражаются через Я21. Формулы, связывающие £21, Е^у, Н^х и Ягу с Ягг, могут быть получены из (1.46). Так как £2z=0, то

Но S НО {X, у) = £jjo Уе/р (уо cos б - 2 sin б) ехр ( - i ку sin б),

(1.49)

Еп-г = -

Яозс---

i шр, д H2Z

(к sin 6)2 ду i А cos б дН-г

i <оц д Н^г

(Asin6)

i А cos б дНг

(А sin 6)2 дх (А sin 6)2 ду

Как следует из (1.49), функция Hz отличается от Я^р^ только множителем ехр (-iAzcosfi). Поэтому для определения Ягг достаточно вычислить Я^. Функция Я^р^ должна удовлетворять уравнению Гельмгольца

д^Н

-f (Аsin 6)2 Я^р^ = 0,

вытекающему из (1.33), н граничному условию

дН\(М)

(1.50J

дп - дп

являющемуся следствием (1.34). В (1.50) didn означает дифференцирование по нормали к контуру Г. Кроме того, должно выполняться условие излучения, аналогичное (1-35). В концевых точках и точках излома контура Г функция Я^ должна быть ограниченной.



Задача определения функции HiK у), удовлетворяющей всем перечисленным требованиям, эквивалентна двумерной задаче дифракции плоской волны

H si3 = - z Я„э е- , Н„э = £2 Vi7]I sin 6 J

(1.51)

на рассматриваемой цилиндрической поверхности S.

Как и при £-поляризацин, эквивалентная плоская волна (1.51) падает на поверхность S перпендикулярно ее образующим, а частота колебаний электромагнитного поля в эквивалентной задаче (жв связана с частотой f в исходной задаче соотношением /экв =} sin б.

Таким о'бразом, задача о наклонном падении линейно-поляризованной плоской электромагнитной волны на идеально проводящую цилиндрическую поверхность S в общем случае сводится к двум независимым скалярным задачам.

Подчеркнем, что в качестве поверхности S можно рассматривать как уединенную поверхность, так н систему цилиндрических поверхностей S Зц, S3, ...

образующие которых параллельны оси Z, а контуры поперечных сеченнй Гь Гг, Гз ... - произвольные кусочно-гладкие кривые.

1.4. Потенциалы Дебая

При решении задач дифракции в сферической системе координат часто используют потенциалы Дебая \U и V. Их вводят следующим образо.м [49].

Предположим, что векторный потенциал имеет только радиальную составляющую А =гМ. Тогда составляющие вектора Н в соответствии с (1.10)

1 М 1 дА

ц г sin в 5 ф

Из первого уравнения Максвелла (1.1) и (1.10) следует равенство Е = - (i/шер,) rot rot А.

В сферической системе координат из (1.53) получаем

fOBjj. г* sin е

-( sine- )

£ - -

соер, г дгдв

sine

шер, г sin е аг а ф Одновременно должны выполняться соотношения aF

Er = - -- - i <оА,

г sine аф

(1.52) (1.53)

(1.54а)

(1.546, в)

(1.55а) (1.55б, в)

вытекающие нз (1.9).

Сравнивая (1.546) и (1.54в) соответственно с (1.556) и (1.55в), находим' ==({1(ов\х.)дА1дг.

Тогда (1.55а) принимает вид

(Dep. дг

iioA.

(1.56)

Приравнивая правые части (1.56) и (1.54а), после элементарных преобразований получаем дифференциальное уравнение

г2 sine

sinG аф*

--АМ = 0.

(1.57)

Прн этом, конечно, условие калибровки (1-11) не выполняется.


ние (1.57) существенно упрощается, если перейти к новой скалярной икции и, связанной с А соотнощеинем

A=rU. (1.58)

.Подставляя (1.58) в (1.57), получаем для функции U уравнение Гельмгольца

%;U+IU = Q. (1.59)

Выражая составляющие векторов Е и Н через функцию U и учитывая (1.58), J(1.59). нз (1.52) и (1.54) получаем

а' (г U)

£ = -

* (ot(A sin в

а (rU) дгдв 1 d{rU)

+ (rU)

p, г sin e

d(rU) дц

1 d(rU)

(1.60)

Из (1.60) видно, что функция и позволяет описать только такие электромагнитные поля, в которых отсутствует радиальная составляющая вектора Н. Для описания произвольного электромагнитного поля требуется наряду с U ввести вторую скалярную функцию V, связанную с магнитным векторным потенциалом А„. Это может быть сделано следующим образом. Векторы Е п Н выражаются через векторный Л„ и скалярный -Ч' магнитные потенциалы соотношениями Е = - (l/e)rotA ; Н = -grad Ч'м-1ш А .

Предположим, что вектор имеет только радиальную составляющую Ам = =г°Лм. Поступая далее так же, как в случае функции U, найде.м связь между Аи и Ч'м. Исключая Ч'м, получим для A дифференциальное уравнение, аналогичное (1.57). Введя функцию VAkIt, придем к уравнению Гельмгольца

VV + kV = G. (1.61)

При этом составляющие векторов Е и Н выражаются через функцию V соотношениями

£, = 0; F = -

6 е г sin е

1 1 а (rV)

ае

(rV)

дг 1 d(rV)

+ krV

* (оец г sin е

агае а*(г1)

(1.62)

Как видно из (1.62), функция V позволяет описать только такие электромагнитные поля, у которых отсутствует радиальная составляющая вектора Е.

Формулы (1.60) и (1.62) являются независимыми. Поэтому произвольное электромагнитное поле можно представить в виде суперпозиции полей, соответствующих функциям и к V:



(оер i

аг 1 aM-f/)

d{rV)

(оер

е г sin 6 а ф 1 d{rV)

Нг= -

оер, г sin е аг а ф

i га (rV)

ег дВ

1 аМ-Ю

а)8р

агае i а' (гУ)

шец г sin 6 аг а ф

d{rU)

U г sin 6 а ф 1 djrU)

~ \i.r ае

При использовании потенциалов Дебая задачу обычно формулируют относительно функций и и V, удовлетворяющих уравнениям Гельмгольца (1.59) и (1.61). При этом краевое условие (1.4) переписывается в виде краевых условий для функций и и V. Кроме того, на бесконечности потенциалы U и V должны удовлетворять условиям излучения, а найденные через U к V векторы Е и Н - условиям на ребре (§ 1.1).

Ниже (см. § 5.3) будет показано, что введение потенциалов Дебая существенно упрощает вывод интегральных уравнений некоторых задач дифракции.

Глава 2

Интегральные уравнения задач дифракции электромагнитных волн на плоских поверхностях

2.1. Вывод общих уравнений (метод Гринберга)

Задача дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой поверхности 5 может рассматриваться как краевая задача для уравнения Гельмгольца. При этом искомая функция (векторы вторичного поля Е и Н или векторные потенциалы А и Ам) должны удовлетворять уравнению Гельмгольца, граничному условию (1.4) пли вытекающим из (1.4) соотношениям, а также условию излучения и условиям на ребре.

Возможен и другой подход к решению этой задачи, а именно сведение ее к интегральным или интегро-дифференциальным уравнениям для плотности полного тока j, наведенного на поверхности S. В данной монографии рассматриваются в основном вопросы, связанные с решением указанной задачи путем сведения ее к интегральным уравнениям.

В случае гладкой замкнутой поверхности задача дифракции, как известно [20-22], может быть сведена к интегральным уравнениям второго рода при произвольной форме поверхности S. Получить интегральные уравнения, допускающие аналитическое, или эффективное численное решение для незамкнутой поверхности в

5щем случае не удается - приходится рассматривать конкретные 1ассы поверхностей и использовать особенности выделенного тасса.

Г. А. Гринбергом [33, 34] был предложен метод, позволяю-1ИЙ свести к решению интегральных уравнений задачу дифракции Jзлeктpoмaгнитныx волн на идеально проводящей плоской поверх-

Iмости (бесконечно тонком плоском экране произвольного очертания). Изложим основные положения это-iro метода.

* Пусть идеально проводящая плоская

Хйоверхность S произвольного очертания

расположена в безграничной однородной

изотропной среде без потерь. Введем де-картову систему координат х, у, z так, чтобы поверхность S лежала в плоскости

- г=0 (рис. 2.1). Первичное поле будем считать известным.

Вторичное поле Е, Н может быть выражено через векторный потенциал А соотношением (1.12), а вектор А - через плотность полного электрического тока j, наведенного на S, формулой (1.14). В рассматриваемом случае в (1.14) L=[(x~l,)-\- {y-y + zyi ; dS = ddr], а g и Г] - координаты точки интегрирования М = =Ма, п, 0)eS.

J Соотношение (1.14) однозначно определяет вектор А, если известны значения вектора j. С другой стороны, если бы в какой-либо области пространства были известны значения вектора А, то (1.14), примененное к точкам этой области, можно было бы рассматривать как интегральное уравнение относительно вектора

Обозначим через W° и А скалярный и векторный потенциалы, соответствующие первичному полю. Тогда


Е = - gradW -iojA .

(2.1)

Будем считать, что функции W° и А° связаны условием калибровки

divAe + icoEfxYoO,

(2.2)

аналогичным (1.11). С целью сокращения записи введем значок Л ДЛЯ указания, что рассматриваемая функция вычислена в точках, принадлежащих поверхности S, например, W=Ys; *F =

=4013; AAs; Ao=Aos и т. д. Из (1.9) и (2.1) следуют равенства:

(t+°) + ico(4+>.) = -(f +£ ,):

(t + o) + i oi {A, + A\) = -(Ёу + Ё\).

д

(2.3): (2.4)



1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов