Иногда задают не / м, а комплексную амплитуду касательной к боковой поверхности цилиндра Sa, составляющей напряженности электрического поля £ я=£о^ (рис. 1.8). При этом предполагают, что f ! =const, а электрические силовые линии перпендикулярны оси цилиндра. Поле, соответствующее данной модели элементарного электрического вибратора, также может быть вычислено по (1.26) и (1.27), если в (1.26) положить /м=-р£°., где р - периметр поперечного сечения вибратора.

Возможны и другие модели элементарного магнитного вибратора. Например, элементарным магнитным вибратором можно считать малую по сравнению с длиной волны рамку, обтекаемую электрическим током, амплитуда и фаза которого не изменяются вдоль рамки. В это.м случае введение векторного магнитного потенциала нецелесообразно. Для определения поля, создаваемого рамкой, можно вычислить векторы Е и Н по (1.26) н (1.27), а затем в полученных выражения.ч положить

/°/ = ia)Ki/ AS, (1.28)

где /° - комплексная амплитуда электрического тока, обтекающего рамку, а AS - площадь рамки.

Своеобразным магнитным вибраторо.м является также элементарный щелевой излучатель, представляющий собой короткую по сравнению с длиной волны узкую щель, прорезанную в металлическом экране, на которой задано распределение касательной составляющей напряженности электрического поля, перпендикулярной оси щели. Предполагается, что комплексная амплитуда этой составляющей Е<> ]sщ=Ёo =const, где 5щ - площадь щели.

Односторонний элементарный щелевой излучатель (одна нз возможных схем его практической реализации показана на рис. 1.9) эквивалентен элементарному магнитному вибратору, лежащему иа идеально проводящей поверхности. Двусторонний элементарный щелевой излучатель эквивалентен двум противоположно ориентированным элементарным магнитным вибраторам, лежащим на разных сторонах идеально проводящей поверхности одни под други.м.

Магнитная нить (линейный магнитный ток). Предположим, что сторонний источник можно представить в виде бесконечно протяженной прямолинейной нити, обтекаемой магнитным током, комплексная амплитуда которого не зависит от координаты, изменяющейся вдоль нити. Пусть такой источник (магнитная нить) параллелен оси Z н проходит через точку .Vo(-Vo. уо. Zo). Выражение для векторного магнитного потенциала А'ы в этом случае может быть получено путем интегрирования (1.26) по г от -оо до оо с учетом (1.19):

где D, как и в (1.20), расстояние от нити до точки наблюдения.

до Рассматриваемом случае вектор А\ не зависит от г, то div

А м -О и для вектора Н получается более простое выражение

сое

Элемент Гюйгенса. Во многих задачах теорпп антенн в качестве излучателя рассматривают элемент Гюйгенса - элементарную площадку AS, на которой заданы значения касательных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей. Пусть комплексные амплитуды этих составляющих £.jus= Ет;о^° tIuSio =const. Ориентация векторов то *тО показана иа рис. 1.10а. От составляющих Еи Я. можно перейти к эквивалентным им магнитным и электрическим токам (рис. 1.106), комплексные амплитуды которых определяются соотношеииямн lK-Eh; /° = =W.jj,/i, где /] к h - длины сторон площадки AS. Это означает, что элемент Гюйгенса можно рассматривать как систему, образованную двумя элементарными вибраторами: электрическим и магнитным. Поле, создаваемое элементом 20

L Гюйгенса равно сумме полей, создаваемых обоими вибраторами. Если элемент * Гюйгенса ориентирован, как показано на рис. 1.10. то поле, создаваемое соответствующим ему элементарным электрическим вибратором, можег быть вы;

числено по (1.17) и (1.18), если, конечно, орт z в (1.17) заменить на у°, а поле, создаваемое элементарным магнитным вибратором, - по (1.27) и (1.26), если в (1.26) орт z заменить на (-х ).

1.3. Сведение некоторых векторных задач электродинамики к скалярным задачам

Плоские задачи дифракции. Рассмотрим задачу дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей цилиндрической поверхности S, бесконечно протяженной вдоль образующих, поперечное сечение которой представляет собой кусочно-гладкий контур Г (рис. 1.11). Введем декартову систему координат х, у, z так, чтобы ось Z была параллельна образующим поверхности 5. Первичное поле будем считать не зависящим от переменной г.

Такие задачи имеют большое практическое значение. Они возникают, например, при анализе диаграмм направленности в поперечной плоскости антенн с цилиндрическими зеркалами (уголковая антенна, цилиндрическая параболическая антенна) и во многих других случаях.

Так как предполагается, что первичное поле и поперечное сечение поверхности S не зависят от переменной z, то и вторичное поле не будет зависеть от Z. При этом легко убедиться, что уравнения Максвелла (1.1) распадаются на две группы уравнений, в одну из которых

- = i(olЯ,;-=-i(oiЯ,; - i(oe£, = - дк ду ох

(1.29) 21

входят только составляющие Ег, Нх и Ну, а в другую

дЕх

только составляющие Е^, Еу и Hz. Системы уравнений (1.29) и (1-30) можно рассматривать независимо друг от друга. Иными словами, возможны поля двух типов: £-поляризованные, когда образующим поверхности S параллелен вектор Е, и Я-поляризованные, когда образующим поверхности S параллелен вектор Н. В общем случае вторичное поле представляет собой суперпозицию полей обеих поляризаций.

Очевидно, что произвольное двумерное (не зависящее от z) первичное поле также может быть представлено в виде суперпозиции f-поляризованного и Я-поляризованного полей, которые можно рассматривать независимо.

Под воздействием f-поляризованного первичного поля на поверхности S наводятся продольные электрические токи с плотностью j=z /(M), МеГ. Эти токи создают вторичное электромагнитное поле, вектор Е которого имеет одну z-ю составляющую E=z*£z. Задача поэтому может быть сведена к нахождению скалярной функции Ez{x, у), удовлетворяющей уравнению Гельмгольца dEJdx-\-dEJdy-\-k2Ez=Q, вытекающему из (1.2). На поверхности S должно выполняться граничное условие

ЕЛМ)=-Е\{М), ЛГеЕГ,

(1.31)

а на бесконечности - условие излучения, которое в рассматриваемом случае может быть записано в виде

r-oc I дг j

(1-32)

где г - расстояние от оси Z до точки наблюдения.

Условие (1-32) означает, что на бесконечности вторичное поле должно представлять собой расходящуюся цилиндрическую волну. На краях и других ребрах поверхности 5 (в концевых точках п точках излома контура Г) функция Е-, должна быть ограниченной. Как известно [7], сформулированная задача имеет единственное решение.

Под воздействием Я-поляризованного первичного поля на поверхности 5 наводятся поперечные (перпендикулярные образующим) электрические токи с плотностью j=t /(M), МеГ, где тР - орт касательной к контуру Г. Эти токи создают вторичное Я-по-ляризованное электромагнитное поле, вектор Н которого имеет одну составляющую: Н=2 Яг. Задача в этом случае может быть сведена к нахождению скалярной функции Н^{х, у), удовлетворяющей уравнению

(1.33)

заничному условию

ая, (М)1дп = -ая г midn, М^Т,

я условию излучения

\\mVr

= 0.

(1.34)

(1.35)

Уравнение (1.33) является следствием (1.3), а граничное условие

(1.34) получается из (1.4) и уравнений Максвелла (1.1). Условие

(1.35) так же, как (1-32), означает, что на бесконечности вторичное поле должно представлять собой расходящуюся цилиндрическую волну. В концевых точках и точках излома контура Г функция Hz должна быть ограниченной. Отметим, что сформулированная задача для функции Hz также имеет [7] единственное решение.

Таким образом, векторная плоская задача дифракции сводится к двум плоским скалярным задачам при произвольном (не зависящем от z) первичном поле и произвольной форме поперечного сечения поверхности S (контуре Г). В частности, в качестве поверхности S можно рассматривать систему цилиндрических поверхностей Si, S2,..., Sn, образующие которых параллельны оси Z, а контуры поперечных сечений Fi, Г2,..., Гп - произвольные кусочно-гладкие кривые.

Осесимметричные задачи дифракции. Пусть идеально проводящая поверхность S обладает симметрией вращения. Введем цилиндрическую систему координат г, Ф, Z так, чтобы ось Z совпадала с осью симметрии, а угол ср отсчиты-вался от плоскости, проходящей через ось Z и точку наблюдения N= =N{r, О, z). Сечение поверхности S полуплоскостью ф = const представляет собой кусочно-гладкий контур Г (рис- 1.12).

Лервичное электромагнитное поле Е , Н будем считать не зависящим от угла ф. При этом вторичное поле также не будет зависеть от этого угла. Уравнения Максвелла (1.1), записанные в цилиндрической системе координат, распадаются в рассматриваемом случае на две группы уравнений, в одну из которых

Шлиппашсть

Рис. 1.12.

дНг дН,

- = i о№ £,

г дг

дг дг дг

входят только составляющие Е^, HrVi. Hz, а в другую

(1.36)

дЕг dEz

-дГ-дГ=- <- только составляющие Ег, Ez н Н

= -{ощ Н^\ = - i о№ Е^;

{rH)=iaEEz (1.37)

ф. Системы уравнений (1.36) и (1.37) можно рассматривать независимо друг от друга. Это озна-

чает, что возможны поля двух типов: Е - поляризованные, у которых 5i

Е = р ч, ( 2); Н=1* Я, (г, 2) + z Я, (г, г). . (1.38)

и Я-поляризованные, у которых

Н = фо Я^ (г. 2); Е = г (г, г) + z (г. г). (1.39)

В общем случае вторичное осесимметричное поле представляет собой суперпозицию полей обеих поляризаций. Очевидно, что любое первичное поле, обладающее осевой симметрией, также может быть представлено в виде суперпозиции f-поляризованного и Я-поляризованного полей, которые можно рассматривать независимо.

Под воздействием £-поляризованного первичного поля на поверхности S наводятся кольцевые электрические токи с плотностью j= p /(Af), MS, которая не зависит от угла ф. Эти токи создают вторичное -поляризованное поле, и задача поэтому может быть сведена к нахождению скалярной функции =Е^ (г, г), удовлетворяющей дифференциальному уравнению

получающемуся из (1.2) при Е=фО£ .

Функция £д, должна удовлетворять граничному условию £ч) (W)=-i: (М), МеГ, и условию излучения (1.5), которое в данном случае эквивалентно соотношению

где 1= I r--\-z - расстояние от начала координат до точки наблюдения.

На концах и в точках излома контура Г функция Е^ должна быть ограниченной. Сформулированная для функции Е^ (г, z) задача имеет единственное решение.

Под воздействием Я-поляризованного первичного поля на по-вер.\ности S наводятся электрические токи с плотностью j = =т^/(М), MS, где т -орт касательной к контуру Г, проходящему через рассматриваемую точку поверхности М. Очевидно, что функция / не зависит от угла ф.

Наведенные на S токи создают вторичное Я-поляризованное электромагнитное поле, и задача поэтому может быть сведена к нахождению скалярной функции Н^=И^ (г, z), удовлетворяющей дифференциальному уравнению

1 дН г дг

-+(а==-)я,=о.

получающемуся из (1.3) при Н=фО (г, z), граничному )лсловию Ф^(М)) § H\(M).rl

ie д/дп означает дифференцирование по нормали к контуру Г, условию излучения

litnri

В концевых точках и точках излома контура Г функция Яф (г, z) должна быть ограниченной. Сформулированная для функции Яф (г, г) задача имеет единственное решение.

Таким образом, осесимметричная векторная задача дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей поверхности вращения S в общем случае сводится к двум независимым скалярным задачам. При этом в ка-честве поверхности 5 можно рассматривать как уединенную поверхность, так и систему соосных поверхностей вращения Si, S2, S3,..., контуры осевого сечения которых - кусочно-гладкие кривые.

Дифракция произвольно падающей плоской волны на цилиндрической поверхности. В рассмотренных выше случаях возможность сведения векторной задачи дифракции к скалярным задачам была обусловлена отсутствием зависимости поля н формы контура поперечного (или осевого) сечения поверхности S от одной из координат (z или ф). Однако в ряде случаев векторная задача дифракции может быть сведена к скалярным задачам и тогда, когда поле зависит от всех координат.

Рассмотрим задачу о произвольном падении плоской лннейно-полярнзован-ной электромагнитной волны на идеально проводящую цилиндрическую поверхность S. бесконечно протяженную вдоль образующих. Проведем ось Z декартовой системы координат х. у, z параллельно образующим поверхности S. Пусть поперечное сечение поверхности S - кусочно-гладкий контур Г, а направление распространения плоской волны составляет с осями координат X, У и Z углы я/2, я/2 - б и б соответственно.

В общем случае (прн произвольной ориентации вектора Е ) первичное поле может быть представлено в виде суперпозиции полей двух одинаково распространяющихся плоских волн, у одной из которых плоскости YOZ параллелен вектор напряженности электрического поля, а у другой - вектор напряженности магнитного поля: E = E<,-t-E 2; Н<= H ,-h HOj, где

(1.40)

(1.41)

Е ! = £ (у cos б - z sin б) exp [ - i ft (j/ sin б -Ь 2 cos 6)]. \ HOi= - x £ioVe7tiexp[-ift(j/sin6--zcos6)], J

EOj = X £20 exp [ - i ft (1/ sin б -I- 2 cos 6)],

HOjs = £jsoVe7fi(y<cos6 -zOsin6)exp[- ift(j/sin6--2cos6)], J £10 = const; £20 = const.

Волну (1.40) будем называть Е-поляризованной, а (1.41) - Н-поляризованной. Задачи, соответствующие этим волнам, можно рассматривать независимо.

Пусть на цилиндрическую поверхность S падает £-полярнзованная плоская волна (1.40). Перепишем (1.40) в виде

. 1 = t jj. {х, у) ехр (- i ftz cos б),

Но = HOjj, (д^, у) ехр (- хкгcos б), где

E ir {х. у) S EOjj, = £ (у cos б - г sin б) ехр ( - i ky sin S); HOjj. (X, у) = Hej, = -TfiEZ lATJi exp (- i ky sin 6).

(1.42)