а нормальные к ребру и Н^ могут иметь особенность р 0<х<1. В рассматриваемом случае параметр >{=1/2, т. е. вблизи контура Со

Ех1 = 0(р-1/); Hxl-0(p-v2). (1.7)

Если поверхность S имеет ребра (изломы) помимо контура L, то на них также должны выполняться условия (1.6). Однако параметр X в общем случае будет отличен от 1/2. Для определения ~л в общем случае нужно знать внутренний угол так называемого

Касательная к Со То

Грани эквивалентного нлина

Рис. 1.1.

Рис. 1.2.

Рис. 1.3.

эквивалентного клина, который строится следующим образом. Через произвольную точку М на рассматриваемом ребре проводится касательная / к ребру и две полуплоскости, касательные к S в точке М, так, чтобы их ребра совпали с /. Клин, образованный этими полуплоскостями, и называют эквивалентным клином (на рис. 1.3 показано сечение поверхности S плоскостью, перпендикулярной ребру эквивалентного клина в точке М). Пусть внутренний угол эквивалентного клина равен Q (предполагается, что 0.< <п). Тогда из (1.6) и уравнений Максвелла (1.1) следует, что

х = (п-0)/(2я-fi). (1.8)

В частном случае, когда рассматривается контур Со, fi = 0, х= = 1/2, приходим к (1.7). Отметим, что в общем случае параметр у. может быть функцией точки М (угол fi может быть разным в разных точках ребра).

Таким образом, задача дифракции электромагнитных волн (поля £0, Н°) на идеально проводящей незамкнутой поверхности S состоит в определении вторичного электромагнитного поля Е, Н, удовлетворяющего уравнениям Максвелла (1.1), краевому условию (1.4), условиям излучения (1.5) и условиям на ребре (1.6). Как известно [7], эта задача имеет единственное решение.

Поставленная задача является трехмерной и векторной и должна рассматриваться во всем пространстве. Методы ее решения могут быть различными в зависимости от классов поверхностей S и частоты электромагнитного поля о. Для рассматриваемой задачи характерны следующие особенности:

неограниченность области, в которой должно быть определено решение системы уравнений (1.1), и необходимость в связи с этим удовлетворения условиям на бесконечности (1.5);

краевое условие (1.4) должно выполняться на обеих сторонах поверхности S, а решение задачи - удовлетворять условиям непрерывного примыкания к граничным значениям;

необходимость выполнения (1.6) в окрестности контура Cq, а также в окрестностях других ребер, если они имеются.

Указанные особенности определяют трудности, возникающие при разработке достаточно универсальных методов решения поставленной дифракционной задачи, пригодных для широкого класса поверхностей S. Кроме того, выбор метода решения существенно зависит от параметра ka, где а - характеристический размер поверхности S. Обычно выделяют три области значений параметра:

низкочастотная /га<С1; резонансная \ <, ka <, 10; высокочастотная /га 1.

В низкочастотной области могут быть использованы асимптотические методы, позволяющие представить решение краевой задачи в виде рядов по положительным степеням параметра ka. В высокочастотной области применяют асимптотические методы, позволяющие представить решение задачи в виде рядов по отрицательным степеням параметра ka. В резонансной области асимптотические решения, как правило, либо непригодны, либо малоэффективны, и в основном должны использоваться численные методы.

Особенности рассматриваемых задач существенно ограничивают выбор возможных численных методов их решения и создают значительные трудности на пути построения универсальных вычислительных алгоритмов, эффективных при достаточно произвольной форме поверхности S. Поэтому численные методы и алгоритмы развиваются на основе сужения видов поверхностей и первичных полей с учето.м их конкретных особенностей. При этом стремятся понизить размерность исходной задачи, а также перейти от векторной к некоторой эквивалентной скалярной задаче. Далее будут рассмотрены методы перехода от векторных электродинамических задач к скалярным задачам, а также электро.магнитные поля типичных сторонних источников.

1.2. Электродинамические потенциалы. Сторонние источники

Общие сведения. При построении строгого решения задачи дифракции электромагнитных волн во многих случаях вводят в рассмотрение вспомогательные функции, которые называют потенциалами. При этом решение задачи проводится в два этапа. Сначала формулируется и решается краевая задача для потенциалов, а затем по найденным потенциалам вычисляются векторы электромагнитного поля. Краевая задача для потенциалов во многих случаях оказывается значительно проще исходной, сформулированной для векторов Е и Н. В качестве таких вспомогательных

функций часто используют электродинамические потенциалы А и w, связанные с векторами Е и Н соотношениями

Е = -gradY-icoA; Н = (l/(i)rot А. (1.9); (1.10)

Равенство (1.10) допускает неоднозначное определение вектора А, так как при замене его на Al=A+gradф, где ф - некоторая скалярная функция, вектор Н остается без изменения. Это позволяет наложить дополнительное условие на функции А и Ч* , которое называют условием калибровки. Обычно требуют, чтобы divA+iojEiY=0. (1.11)

Соотношение (1.11) позволяет в (1.9) исключить скалярный потенциал Ч* , т. е. выразить векторы Е и Н через один векторный потенциал А:

graddivA-ifoA; Н = -rotA. (1.12)

СОЕ|Х Х

При выполнении (1.11) вектор А вне поверхности S удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца

VA + kAo (1.13)

и может быть представлен в виде интеграла от плотности токов j, наведенных на рассматриваемой поверхности S:

-dS,

(1-И) (рис.

где L - расстояние от элемента dS до точки наблюдения 1.4).

В (1.14) и в дальнейшем под j в случае незамкнутой поверхности S понимается плотность полного поверхностного тока, т. е. сумма плотностей электрических токов, текущих по обеим сторонам поверхности S. В случае замкнутой поверхности ток на ее

внутренней стороне не наводится, и функция j равна плотности поверхностного тока, текущего по внешней стороне повер.хно-сти S.

Наряду с потенциалом А часто вводят так называемый магнитный потенциал Ам, связанный с векторами Е и Н соотношениями

Рис. 1.4.

Е=---rotA; Н =

grad div А„ - icoA

(1.15)

и удовлетворяющий однородному уравнению Гельмгольца У^АмЧ---/г^Ам=0. Если потенциалы А и Ам вводят одновременно, то

Е=--graddivA-icoA--5-rotA ,

шех е

H=-LrotA-

coefi

- graddivA -ifu A .

(1.16)

, Введение потенциалов A и Ам в ряде случаев позволяет исход-ую задачу дифракции свести к двум более простым независимым краевым задачам, одна из которых сформулирована для вектора А, а другая - для Ам- Граничные условия для потенциалов А и Ам получаются из граничных условий (1.4), причем их вид часто упрощается, если вектор Е° первичного электромагнитного поля выразить через потенциалы А^* и Ао соотношениями, аналогичными (1.15). Кроме граничных условий, потенциалы А и А„ должны также удовлетворять условиям излучения и соответствующим условиям на ре0ре.

При постановке дифракционных задач обычно считают известными (задают) либо непосредственно первичное поле Е°, А**, либо сторонние источники. Во втором случае предполагается, что первичное поле - это поле, создаваемое сторонними источниками в безграничном пространстве, обладающем теми же свойствами, как в рассматриваемой задаче, но при отсутствии поверхности S.

Рассмотрим некоторые простейшие сторонние источники, часто встречающиеся в работах, посвященных анализу дифракционных : явлений.

Элементарный электрический вибратор. Пусть сторонний источник представляет собой элементарный электрический вибратор - короткий по сравнению с длиной волны тонкий проводящий цилиндр, обтекаемый электрическим током, комплексная амплитуда которого /=const. Ось цилиндра параллельна оси Z, а его середина совпадает с точкой Л'о. Первичный векторный потенциал имеет в это.м случае одну г-ю составляющую и определяется выражением

A<> = z

II10 1 е-- 4 л R

(1-17)

где - координатный орт переменной г: I - длина вибратора (/-СЯь); R - расстояние от точки Л'о до точки наблюдения .V. Соотнощенне (1-17) получено в предположенип, что ?2>/.

Первичное поле Е , Н выражается через вектор А формуламп

Е = --graddivA --i(oA ; Н =--rotA , (1.18)

cosp (l

аналигнчнымн (112). Явные выражения .тля компонент векторов Е и Н' не выписываются, так как их вид зависит от используемой системы координат.

Иногда задают не / , а комплексную амплитуду касательной к боковой поверхности Se цилни.тра составляющей напряженности магнитного поля H.j\sf= = /7. (рис. 1.5). При этом предполагают, что /7.. = const, а магнитные силовые линии перпендикулярны осп вибратора. Поле, соответствующее данной модели элементарного электрического вибратора, также может быть вычислено по (1.17) и (1.18), если в (1.17) по.пожить Р=рЯ , r.ic р - периметр поперечного сечення вибратора.

Токовая нить (линейный электрический ток). При переходе от реальной электродинамической задачи к ее физико-математическим моделям в ряде практически важных случаев можно считать, что первичное поле создается бесконечно протяженной прямолинейной нитью, обтекаемой электрическим током, ампли. туда и фаза которого не зависят от координаты, изменяющейся вдоль нити.

Пусть такой сторонний источник (токовая нить) параллелен оси Z и про--ходит через точку 7V с координатами х=дгс. у=Ув. 2=zo=0 (рис. 1.6). Выражение (1-17) можно рассматривать как векторный потенциал, соответствующий элементу токовой нити. Поэтому явное выражение для векторного потенциала,

получаем

(1.19)

(1.20)

Г/17ле*~ о. аргумента

источника до точки наблюдения. оотекающего нить; Z) - расстояние от

Рис. 1.5.

Рис. 1.6.

меж1;УТА упрощ™- - - dvA =0 и связь

Ев= - ioAo.

Подставляя (1.20) в (1.21), получаем .

/о< (kD).

(1.22J

Используя (1.22), легко перейти к случаю, когда первичное поле представляет собой плоскую электромагнитную волну, вектор напряженности электрического поля которой параллелен оси Z. Проведем луч из начала координат через точку .Vo, определяющую положение токовой нитп (см. рис. 1.6). Устремим точку No в бесконечность вдоль указанного луча. Прн этом будем считать, что одновременно увеличивается абсолютное значение комплексной амплитуды тока /° так, чтобы величина / с \/го, где го= l/A-fЛ -расстояние от точки ,Vo до начала координат (см. рис. 1.6), оставалась постоянной. Заменяя в (1.22) функцию Ханкеля первым членом ее асимптотического разложения при больших значениях аргумента

преобразуем (1.22) к виду Е = 2° £о ехр [i А (X cos а-f sin а)].

где

(1.23)

(1.24)

А/о

21/2 я Аго

- ехр [ - i (А г„ - л/4)] = const.

кьфажен и, раш]

ение (1-24) определяет напряженность электрического поля плоской вол-

пагаростраияющейся, как показано иа рис. 1.6.

Аналогично может быть осуществлен переход к случаю плоской волны в а основе (1.17). Однако при удалении источника на бесконечность нужно счи-г ть постоянной величину I°e-Чro, где го= \2 xo+yo+z\ а Хо, уо, Zo - декартовы координаты середины вибратора.

Формулы (1.19) и (1.14) позволяют также получить выражение для векторного потенциала А, создаваемого токами, распределенными по цилиндрической поверхности S таким образом, что амплитуда и -фаза вектора плотности этих токов j не изменяется вдоль образующих поверхности S. Предполагается, что цилиндрическая поверхность S является неограниченно протяженной вдоль образующих (оси Z).

Пусть Г - контур поперечного сечения поверхности S (рис. 1.7), а М - точка этого контура. Векторный потенциал А, а следовательно, и электромагнитное поле в этом случае не зависят от переменной z. Поэтому можно считать, что точка наблюдения N и контур Г лежат в одной плоскости. Записывая (1.14) для рассматриваемой цилиндрической поверхности и применяя (1.19), придем к

A(N) = Ь (М) Я<2 {kL)dl,

(1.25)

где й1ы - элемент контура Г; Lun - расстояние от точки интегрирования М до точки наблюдения JV.

Рис. 1.7.

Рис. 1.8.

Рис. 1.9.

Элементарный магнитный вибратор. Перейдем теперь к случаю, когда сторонний источник можно считать элементарным магнитным внбраторо.м. Пусть он представляет собой короткий по сравнению с длиной волны (/<1СХ) тонкий цилиндр, обтекаемый магнитным током, комплексная амплитуда которого / м. Для определения поля, создаваемого таким вибратором, удобно ввести векторный магнитный потенциал Pim- В рассматриваемом случае

-z -

(1.26)

где R - расстояние от середины цнлнндра (точки Vo с коордннатамн хк, уо, го) до точки наблюдения N. Предполагается, что i?>/.

Подчеркнем, что (1.26) соответствует случаю, когда положительное направление магнитного тока / м совпадает с положительным направлением оси Z. Векторы первичного электромагнитного поля определяются выражениями

Ео= -rotA°; аиалогичны.ми (1.15).

graddivA -icoAj; .

(1.27)