пока постоянные Ci и Сг, которые необходимо найти из условия обращения в нуль плотности тока в концевых точках контура Г. Оценка поведения плотности тока в окрестности копцевых точек

[7] показывает, что ф~1 р, где р - расстояние до соответствующей концевой точки.

Искомую функцию (О можно представить в виде (8.14) и

1 Q(т, О V(Оdt = /(т) -ЬС, V, (т) + С, V,(т). Q = - . (8.26)

а VUaW-t)

Тогда очевидно, что у(/)~(/-а) прн t-a и и(0~(Р-О прн /->-р, т. е. искомая функция ведет себя по линейному закону в окрестности концевых точек а и р. Поэтому для определения постоянных С) и Сг можно iipHMeiniTb линейную интерполяцию в окрестности точек а и р. Прн этом алгоритм численного решения интегрального уравнения принципиально ие отличается от соответствующего алгоритма для (8.15). Из-за линейности (8.26) его решение v(t) также может быть пре.тставлено в виде суммы трех слагаемых v{t) = Vf{t) +CVl{t) -i-CiViit), где решения V)(t),Vi{x), V2{t) соответствуют слагаемым правой части (8.26) f(x), Ki(t), Viix). Благодаря этому можно предложить следующий алгоритм определения постоянных С| и Сг. Интегральное уравнение (8.26) решается одновременно для трех слагаемых правой част (8.26), после чего получаются приближенные значения функций v{x), Vi{x), Viix) в некоторой системе узлов tit{k=\, 2, л}. Затем, имея значения сеточных функций в двух ближайших к данной концевой точке (а или р) узлах, необходимо применить линейную интерполяцию, после чего получить значения vi{a), б) (а), V2{a) и соответственно Vj{\i), ii(p), V2(p)- Значения постоянных Ci и Сг можно получить из системы двух алгебраических уравнений: С,г),(а)--С2Й2(а)=-б/(а), С,5,(р)--С2Й2(р) =-Ир).

Рассмотрим теперь алгоритмизацию системы (3.34), (3.35), переписав ее в операторном виде и введя для интегральных операторов типа Вольтерра обозначения V и Фредгольма К:

Ф(т)+[К(Т, t)4{t)dt = F(t),

\V2.

(8.27)

-.3

где правая часть и ядра интегральных операторов определяются (3.34), (3.35).

В общем случае (8.27) представляет собой систему интегральных уравнений Фредгольма первого рода, так как J - .матрица свободных членов уравнений - имеет определитель, равный пулю, и тип системы определяется вторым уравнением системы, а оператор Вольтерра является частным случаем оператора Фредгольма. Все ядра этой системы регулярны, за исключением яцра К2, которое имеет логарифмическую особенность прн совпадении аргументов. Поэтому для числеииого решения (8.27) при.меняется

метод саМорегуляризации. При этом постоянные Ci и Сг определяются, как и ранее, из условия обращения в нуль плотности тока /(<) на концах контура Г. Неизбежное при алгоритмизации увеличение числа узлов дискретизации, связанное с аппроксимацией функции W(t), нужно уменьшить, применив пятиточечную параболическую интерполяцию или кубические сплайны. Увеличение же времени расчета матричных элементов весьма незначительно по сравнению с (8.26), так как ядра операторов V) и V2 очень просты, а ядро оператора Ki однотипно с ядром Кз-

В заключение остановимся на алгоритме численного решения пнтегро-дифференциального уравнения (3.66). Рассмотрим простейшую кусочно-постоянную аппроксимацию и в качестве системы координатных функций выберем функции Yh(/), определяемые (8.20), представив функцию /(О = 2 C, 4 ,(0, подставим это

представление в (3.66). Будем иметь 2 С„ (т)=£?(т),а<т<р

где

дх let

(8.28)

4toe Лх(9о.т)~

--f ф(7о.т./)Я|,>(й£)Л.

4 htiqo. х) m

Применяя метод коллокации (выбирая в качестве точек коллока-ции tm=iam + pm)/2 (Л = 1, 2, Л')), приходим к системе линейных алгебраических уравнений

2 С„Л-т=г(т^). (8.29)

Формулу ДЛЯ вычисления матричных элементов Ajm можно получить, проведя интегрирование в первом из интегралов (8.28) и перейдя к пределу при q-qo:

ID,-(PJ-D,.( J]+

4 ме h-Tj)

4Лх(Т,) m

f ф(т,..ОЯ> {kUx,J)]dt,

где

L{xj,f)

q(xj, t) = {X(T;)-x(01 x\{x,){y (T,)(/)] f/x(T;).

Как видно, функции D,(am) и Р,(Рш) при j = m имеют разные знаки и неограниченно возрастают прн /г-0. Поэтому при малых h диагональные элементы матрицы /4;т| превосходят по абсолютному значению все остальные, н решение системы (8.29) устойчиво.

8.4. Численное решение интегральных уравнений осесимметричных задач дифракции

В гл. 5 задача дифракции осесимметричного электромагнитного поля на незамкнутой поверхности вращения была сведена к интегральному уравнению первого рода (5.6), которое можно пред-ста(внть в 1виде

5ч)(0К(т, 0/-/(т),теГ,

а

где Г - незамкнутый контур в полуп.поскостп П {р > О, - оо < Z < ,}, ф (О = / (/); / (т) = Ё1 (q Т) ;

-1*Мт.ф,0

(8.30)

(т.О = Лг(0\(/).

COSlJdlf ;

(8.31)

со/аГнГ;о Гкл?[\;) особенность при

(8.31) можно представить в виде\б2 Д^й™тельно,

i Щ

-COS

J --i-Cosij3dif.

Второй интеграл, входящий в сумму, является непрерывной функцией своих аргументов, а первый вычисляется в явном виде [63]:

о L У[р2 (т) + (/)] -I- [(т)- i (t)\*

lp(T)-hp )P-f [g(T)g(01- ,

2р(т)р(0 ,

где К{р) и Е{р)-эллиптические интегралы первого и второго рода сооггветственно, а Р = 2У р(т)р(0/] [р(т)+р(0]+

Воспользовавшись разложением для функций К{р) и Е{р) при р-1 [103], получим следующее асимптотическое разложение интеграла при x-yt:

31.П2-2 + 1П

1п|т- f,

Как видно, ядро К{х, t) интегрального уравнения (8.30) имеет логарифмическую особенность при совпадении аргументов т и поэтому (8.30) принадлежит классу интегральных уравнений Фредгольма первого рода с интегрируемой особенностью. Численно решить это уравнение можно методом саморегуляризации, применяя практически те же алгоритмы, что и в случае цилиндрических поверхностей. Вычисление матричных элементов соответствующей системы линейных алгебраических уравнений проводится с использованием специальной функции кольцевидного источника S, гармоники фундаментальното решения уравнения Гельмгольца, представление которой в виде рядов получено в [85].

Глава 9

Некоторые результаты численного анализа дифракции радиоволн на незамкнутых цилиндрических поверхностях

9.1. Формулы для поля

При анализе дифракции электромагнитных волн на незамкнутой поверхности 5 на основе описанных выше методов рассматриваемая задача сводится к интегральным уравнениям. В процессе их численного решения находится плотность j тока, наведенного на поверхности S. Зная функцию j, можно вычислить вторичное (а следовательно, и полное) электромагнитное поле. Выпишем основные расчетные формулы для случая плоской задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси Z, а направляющие - кусочно-гладкий контур Г (рис. 9.1).

-поляризованные поля. При f-поляризации на поверхности S наводятся электрические токи с плотностью j=2 /(/), а^/Р, где t - переменная, изменяющаяся вдоль контура Г. Этим токам соответствует векторный потенциал А, определяемый (3.2), который имеет одну г-ю составляющую. Так как поле в рассматриваемом случае не зависит от переменной г, то divA=0 и вектор напряженности вторичного электрического поля Е = =г^Ег{х. у), где

Рис. 9.1

Ег (х, у) = - f / (О Я^2> (k L) Vl (t) + п * (t) dt;

L = L(x, у, t) == V[x-l[у-Чт\

a \ и rj(0 -функции, задающие контур Г (см. § 3 1).

(9.1) (9.2)

Вектор напряженности вторичного магнитного поля вычисляется по формуле

Н =-i-г о t Е =-L / X - у

Векторы полного электромагнитного поля; Е< )=Е°(х, у)+ + Е(х. у), Н(п'=Н'(х, у) + Н(х. у), где EU у) и Н (х, у) - векторы напряженности первичных электрического н магнитного полей, которые считаются известными.

В дальней зоне выражения для векторов Е и Н упрощаются. В этом случае kL:l, и входящую в (9.1) функцию Ханкеля Ho(kL) можно заменить первым членом ее асимптотического разложения:

{,(L) ехр [-1(--11/4)1. (9.3)

Введем цилиндрическую систему координат г, ф. z, ось Z которой совпадает с осью Z декартовой системы координат, а угол q отсчитывается от оси X (см. рис. 9.1):

х = 7С08ф; у -г sin ф. (9.4)

Тогда

L Цг, ф. О = {г' - 2 ; [I (О cos ф -f Т1 (t) sin ф] -f [ (О) + [ц (01}-

(9.5)

В дальней зоне г (<), r>Ti(<) при а^/Р и (9.5) принимает вид

Lr-d{i,<i>), (9.6)

а(/,ф) = (0со5ф-Ьг1(/)51пф. (9.7)

Подставляя (9.3) в (9.1) и учитывая (9.6), получаем

Е. = Г., (г, ф) = - Я, (., ф) 1 / JL = У^е' / , / JL

I е 2у2и I

-А(Ф),

где

А (Ф) = 1 / (О КГ (О Ч-4== (О е'С-ф) dt,

а

остальные составляющие векторов Е и Н в дальней зоне равны нулю.

Я-поляризованные поля. При Я-поляризации на поверхности S наводятся поперечные токи с плотностью ] = ](1), а^/р, где t - координатный орт переменной т в точке т = <, лежащей на контуре Г. Этим токам соответствует векторный потенциал А, определяемый (3.6). Учитывая, что

X (Qo. i)--Mt),y (Qo, t) = 7 (/), Л, (9 , t) = Лх (/) = \ l4t)-nHt), 144

перепишем (3.6) в виде А = А (х, t/) = х (х, {/)-[- У /4 (х, у), где

а

L вычисляется по (9.2). Вектор напряженности вторичного магнитного поля

1 fdau дах

H = J.rotA=i(-) =

м Vi\ дх ду J

у чпт { (/) [x-i (О) (О [f/-ri (01} л.

а для определения вектора Е может быть использовано первое уравнение Максвелла

сое (ое \ Of/ ох J

В дальней зоне выражения для векторов Е и Н упрощаются. Переходя к цилиндрической системе координат (9.4) и учитывая (9.3), (9.6) и (9.7), получаем

£ф(-.ф) = ЯЛ.ф) j/

2V2n Vr

- А(Ф).

где

А(Ф) = 11 (О е'*<-ч') [Г] (О созф-Г (Оsinф] dt,

а

остальные составляющие векторов Е и Н равны нулю.

9.2. Дифракция электромагнитных волн на полосе

Анализ результатов численного решения задач дифракции электромагнитных полей на незамкнутых идеально проводящих поверхностях начнем с классической задачи дифракции Е- или Я-поляризованного плоского поля на полосе конечной ширины. Эта задача является одной из основных моделей теории дифракции и весьма часто используется в качестве эталона. Ее строгое решение может быть получено методом Фурье и выражается в виде бесконечных рядов по функциям Матье [104-105]. Однако такое представление весьма неудобно для массовых расчетов. Поэтому в литературе даже для этой простейшей поверхности имеется лишь небольшое количество численных данных. Так, в [106]