Главная  Анализ дифракции радиоволн 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31

Отметим, что ядро Q(t, /) определено в прямоугольнике П {а</<р, а^т:р}, имеет слабую особенность на линиях / = а ii / = Р и логарифмическую (интегрируемую) особенность на диагонали x=t прямоугольника П. Действительно, при x = t расстояние между точками р{Ъ,Щ, цЩ) и ((т), ti(t)) контура Г обращается ,в нуль и ш силу асимптотики (8.13) ядро Q(t, t) имеет логарифмическую особенность.

Наличие этой особенности дает возможность применить для численного решения (8.15) метод коллокации практичеокн по той же схеме, что и для уравнения Фредгольма второго рода (8.1). Однако между эти-ми схемами имеется одно, но очень существенное различие. Поясним это на примере. Пусть в качестве базис ых функций выбрана система характеристических функци11 М^л(р), определяемая (8.7). Это означает, что искомое решение интегрального уравнения аппроксимировано кусочно-постоянными функциями 1С узлами интерполяции, взятыми в середине частичных интервалов, на которые разбита область пнтепрпровання (в данном случае интервал [а, Р]). Чтобы свести интегральное уравнение второго рода (8.1) к системе линейных алгебраических уравнений, можно выбрать любую систему точек коллокации, вообще говоря, не совпадающих с узлами интерполяции искомого решения ф(р) [92]. Для интегрального уравнения первого рода точки коллокации обязательно должны совпадать с узлами интерполяции, ибо только такой выбор приводит к .хорошо обусловлен ным системам линейных алгебраических уравнений. Произволь ный выбор точек коллокации приводит, вообще говоря, к сглаживанию особенности ядра интегрального уравнения при t=x и воз никновению явления неустойчивости (появлению иплообраз1ЮГ(; решения большой амплитуды). ,

Итак, применим схему метода коллокации к интегральному уравнению (8.15), используя в качестве базисных функций харак теристические функции (8.7). Чтобы ввести эту систему функций, выберем на интервале [а, р] некоторую систему узлов /(,(/о=и, и, .... /п=р, fe = 0, I, ), которыми интервал [а, р] разбивается на части длиной /г=(р-а)/п (/г -число интервалов разбиения). Тогда характеристические функции

У о в остальных случаях, ft = 1, 2, ... , , а искомая функция

fc=l

Подставляя (8.16) в (8.15), имеем с, I Qix,t)dt = f(x).

Выбирая в качестве точек коллокации х;, середины интервалов

[th~\, th\, т. е. точки Tj= (/j-t-/j-i)/2(y=l, 2..... п), придем к сле-

дующей системе линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов Ch-

где

(8.18)

(8.19)

(8.16)

(8.17)

При таком выборе точек коллокации матрица Л,л11 получается с преобладающей главной диагональю. Решая систему линейных алгебраических уравнений (8.18), находим коэффициенты с,., а по (8.17) определяем приближенные значения v{t) искомого решения (8.15). Критерием правильности приближенного решения интегрального уравнения может служить согласованность полученного решения с априорными свойствами искомого решения (контроль гладкости). В этом отношении весьма важным Я1вляется анализ внутренней численной сходимости приближенного решения на интервале [а, Р] при увеличении числа узлов (возрастании числа интервалов п), а также контроль за .поведением невязки е(т) на всем интервале при возрастании п. Отметим, что в силу структуры интегрального уравнения невязка имеет неиосре'дственный физический смысл: максимум 1е(т) определяет уровень погрешности, с которой численное решение интепрального .уравнения удовлетворяет краевому условию на незамкнутой поверхности S. Изложенную методику численного решения интегральных уравнений первого рода, имеющих интегрируемую (лога.рнфмическую) особенность при совпадении аргументов, можно наз1вать саморегулярп-зацией [36]. Метод саморегуляризации можно применять .для численного решения любых интегральных уравнений Фредгольма первого рода, ядра которых имеют слабую (интегрируемую) особенность при совпадении аргументов. Устойчивость и сходимость этого метода сформулированы и доказаны в [98, 99, 100] для замкнутых Контуров Г и логарифмической особенности ядра.

Перейдем к алгоритмам вычисления матричных элементов Л^у,. Как видно из (8.19), величины Aju при фиксированных номерах i и k представляют собой интегралы по интервалу, равному шагу сетки, от комплексно-значной функции. Их вычисление не связано непосредственно с аппроксимацией искомого решения и может быть вычислено с априорно задаваемой степенью точности с использованием каких-либо ста'идартных алгорит.мов численного интегрирования (например, методами Сим'псона или Гаусса с автоматическим выбором шага). Однако для некоторых значений номеров / и fe (в частности, когда } = k, k=\, k = N) требуются I дополнительные преобразования и соответствующие замены переменных. Например, подынтегральное выражение в (8.19) при k=l имеет слабую особенность при / = а. Для устранения этой особенности необходимо перейти к новой перемешюй и, связанной с пе-



ременной интегрирования / соотношением u=t-а. В диагональных матричных элементах А имеется логарифмическая особенность, которая выделялась в виде слагаемого

О Ч t]

, -1

где первый шнтеграл вычисляется в явном виде, а подынтегральное выражение второго интеграла регулярно. В силу интегрируемости особенности ядра можно применить и другой способ вычисления, когда особенность вырезается на некотором малом (по сравнению с шагом) интервале, который выбирается на основе численных экспериментов. Так, проведенные эксперименты показали, что оптимальное значение интервала вырезания особенности 10 *-10 от интервала [а, р]. При этом длина контура Г нес колько (до десяти) длин волн. Отметим, что возможны и другие способы кусочно-полиномиальной аппроксимации искомого решения [функции v{t)], например пятиточная параболическая интерполяция [101, 100]. Для устойчивости решения СЛАУ необходн-iMO только, чтобы точки коллокацни совпадали с узла.ми пнтер-

ПОЛЯЦИИ.

Рассмотренные алгоритмы были реализованы в различных вариантах на языках Алгол и Фортран (ЭВМ БЭСМ-б). При этом применялись прямые методы численного решения систем линейных алгебраических уравнений с комплексно-эначньгм11 матричными элементами. Как правило, использовался метод Гаусса с вы-боро.м главного элемента. Максимальное число узлов л=180. Вре-.мя расчета (решения интегрального уравнения) составляет несколько минут. При этом точность вычисления матричных элементов определяется в основном точностью численного .интегриро'ва-ния, а время расчета одного варианта существенно зависит от степени точности интегрирования. Контроль точности 1Получаемы>. численных результатов и выбор вычислительных параметров задачи состоял в сравнении с модельны.ми решенияМ'И, т. е. с реше нием интегрального ура.внения (B.l.j) с правой частью [102]

f{T) = Vo{t)Q(T.t)dt, а

где Vo(t) -известная (заданная) функция.

Таблица I

Контур Г - окружность {kd=2n)

/1=8

=24

1 n=72

n=24

/172

1/16

- 0,2730

- 0,2939

-0,2947

0,H09

0,2462

0,2178

3/16

-0,1274

-0,1166

-0,1154

0,7837

0,7583

0,7366

5/16

0,3096

0,;i2O8

0,322.S

1,1005

1,0846

1,0820

7/16

0,8609

0,852.3

0,85 M

1,2792

1,2494

1,2Ш

Исследовалась также внутренняя численная сходимость решения v(t) и невязки e{t) при увеличении числа узлов. В табл. 1-4 Приведены некоторые результаты таких численных экспериментов для цилиндрических экранов различной формы.

Таблица. 2

Контур Г - угол(А:<=2п, ф=90)

п=8 n=24

n=72

n=8 n=24

n=72

1/16

3/16 5/16 7/16

-0,0987 -0,9146 -0,9041 -0,3558

-0,1526 -0,8042 -0.8705 -0,1558

- 0,1533 -0,8590 -0,8684 0,4551

-0,1924 0,0811 1,3160 1,2737

-0,2655 0,1255 1,2647 1,4131

-0,2644 0,1296 1,2609 1.3972

Таблица 3

Контур Г - парабола (kd=2n)

n=8 n=24

/1=7 2

/1=8

/1=24 1 /1=72

1/16 3/16 5/16 7/16

-0.0597 0,0507 0,4157 1,2949

-0,0620 0,0575 0,4265 1.2617

-0,0618 0,0582 0,4282 1,2588

0,0584 0,2709 0,4110 0,5417

0,0852 0,2703 0,4366 0,5341

0,0860 0,2703 0,4360 0,5332

Таблица 4

Контур Г - парабола (Ы=12л)

mod{iE- l -

mod {arg e

-arg£-=J

n=20

/1=40

/1=80

/1=160

/1=20

/1=40

/1=80

/1=160

310-3 2 10 3

4-10-< 5-10 *

4-10-5 110 =

I-IO l-IO

110-2 1-10-

310-3 I10-2

8-10

2-10-3

1 io-

21C-*

Отметим, ЧТО разработанные алгоритмы обладают достаточной универсальностью и пригодны для численного решения задач дифракции -поляризованного электромагнитного поля на незамкнутой цилиндрической поверхности практически при произвольной конфигурации контура Г. Вместе с тем в ряде случаев целесообразно создать специальные алгоритмы и програМ'Мы для анализа задач дифракции на незамкнутых поверхностях конкретной конфигурации. К таковым, например, относится уголковая поверхность, для которой были разработаны специальные алгоритмы и программы. Подчеркнем также общность построенных на основе метода саморегуляризации алгоритмов и, в частности, возможность применения неравномерных сеток, что весьма важно при 6-72 137



I анализе задач о возбуждении незамкнутой поверхности близко ) расположенным источником или учете специфических особенно-i стей контура Г.

Возможности ЭВМ ограничивают порядок решаемых систем линейных алгебраических уравнений, а следовательно, и размеры контура Г по сравнению с длиной волны. Поэтому во многих случаях для расширения возможностей численного анализа задач дифракции целесообразно учитывать специфику контуров Г. Так, достаточно часто контур Г обладает свойством осевой симмет-Р'ии. Используя это свойство, можно (8.15) с пом'ощью несложных преобразований свести к двум независимым интегральным уравнениям, интервал интегрирования в которых в 2 раза меньше, чем в исходно'м интегральном уравнении. Покажем это. Б'удем считать, что цилиндрическая поверхность возбуждается произвольным Е-поляризсвапны'М полсм. Для дальнейшего удобно сим-.метризовать параметрическое задание контура Г, т. е. представить координаты I, ц точек контура Г как функции параметра /, который изменяется в пределах от -а до а(а>0). При этом ось ординат является осью симметрии контура Г. Тогда (8.15) примет вид

f Q{x,t)v{t)dt = f(x),-axa; (,т) =-М^;

-а Уа- -1*

К{х, t)K[Lo{x,t)].

Перепишем последнее уравнение в эквивалентном виде, разбив интеграл на два интеграла по интервалам [-а, 0] и [О, а] и сделав замену переменных в первом из них:

] {К[L ] v{t) + K [L\] v{-t)} 0 Va -

= /(t), - a<Ta, (8.20)

где^*о= V {их)+1{1)У+{ц(х)-ц{1))\

Точка наблюдения [5(т), ц{х)\ пробегает весь контур Г, тогда как интегрирование ведется только по интервалу [О, а]. Рассмотрим (8.20), полагая, что те [О, а]. Будем иметь

\{K{x,t)v{t)+K{x,~t)v{-t)}

о у а* - t*

Аналогично если те [-а, 0], то -те [О, а],

= /(т),0т<а.-

\{K(-x,t)v{t)-K{~x,-t)v{~t))

У а* - t*

И получим из - = /(-т).

(8.21) (8.20) (8.22)

В (8.2!) и (8.22) введены следующ'Ие обозначения: К(х, /) = = K{U); K{x,-t)=K{L*o). Учитывая, что K{-x,-t)=K{x,-t) = = K{Lo) и К{х, -t)=K{-x, t)=K{L*o), сложим (8.21) и (8.22). Имеем

{К {r,t)-\-K (T,-/)}t.(+)(0

У а* - i*

= /(+)(т).

(8.23)

где

у(-Ь) = [v{t)+v(-t)]/2< /<+ = If (т) +f (-т)]/2. Вычитая из (8.21) (8.22), имеем

{K{x,t)-K{x,-t)} v-Ht)

У а* - t*

= Я->(т).

(8.24)

где

v(-) = \v(t)-v{-t)\/2 ; (т) =- 1/(т)-/(-т)]/2.

Уравнения (8.23) и (8.24) относительно полусуммы и полуразности плотностей токов, текущих в симметричных точках, относятся к рассмотренному выше классу интегральных уравнений Фредгольма первого рода с логарифмп'ческой особенностью и могут быть решены численно методом саморегуляризации. Подчеркнем, что ядра интегральных уравнений (8.23) и (8.24) одинаковы:

](3±)(т,/)1(±)(0Л = /±)(т), о

где (З' = (3(т, n±Q(T, -О-

Как видно, ядра уравнений сконструированы из двух функций Q(x, t) и Q(x, -t), что может быть использовано при алгоритми-зацш! для Сокращения необходимого машинного времени.

От.метим также, что в важном частном случае спм'метричного возбуждения цилиндрической поверхности v{t)=v{-t) и w< >(0 = =0, v+> (t) = V (t), т. е. для определения плотности тока необходимо решить только (8.23).

8.3. Алгоритм численного решения интегральных уравнений ( -поляризация)

Задача дифракции плоского -поляризованного поля на не-за.мкнутой цилиндрической поверхности была сведена к интегральным уравнениям различного вида, а также к интегро-дифферен-циальному уравнению. Численно решить полученные интегральные уравнения также .можно методом са.морегуляризации. Методами дифференцирования или интегрирования гра1ни1чных условий задача дифракции была сведена к интегральному уравнению (3.16) или (3.60), которое можно записать в следующей общей форме: р

\ К (т, О ф it) dt = f{x) + С, V, (т) + С, К, (т), ф (О = / (О-

(8.25)

Ядро (8.25), как видно цз представления (3.17) и (3.60а), имеет логарифмическую особенность при совпадении точек т=/ и по-это.му относится к классу интегральных уравнений Фре'дгольма первого рода с интегрируемой особенностью, для которого был развит метод саморегуляризацни. Принципиальное отличие (8.25) от (8.12) состоит в том, что в (8.25) входят две псопределен^пыс



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов