dx X T.

Ho из (7.7) можно выразить Y на S с помощью div Als: i

(7.38); (7.39)

Ч'Ст. z) = -

div A

-jih,. hAz)

(7.40J

Таким образом, для применения развитого ранее аппарата необходимо HaiiTH компоненты i4, и i4.. векторного потенциала А. Для этого представим Aq и в виде разложений по декартовым компонентам Ах и Ау.

A = Ay:Cos(-i, xe) + /!j,cos(T , у ). (7.41)

Ад = Ах cos (qo, хо) + Ay cos (qo. yO). (7.42)

Используя представления (7.35) и (7.36), будем иметь

\ т = -111 (М, N) {CCS (te, хО) cos (т , хв)Н-со5 (t . уО) cos (тО, уО)} (ЛО dSf,

(7.43)

Ад(М) =

gu(M, Л) {cos(to, xO)cos(q<, х ) +

+ cos (t . у ) cos (qo. yO)} (Л') dS

(7.44)

Теперь, пользуясь представлениями (7.43) и (7.44), а также (7.37) и применяя граничные условия (7.38) и (7.39), нетрудно свести исходную задачу дифракции к системе двух интегральных уравнений первого рода относительно компонент /г} плотности токэ, наводимого на поверхности падающим, полем. Таким образом, метод, развитый в предыдущих главах, обобщен на случай, когда незамкнутая поверхность расположена в полупространстве. Отметим также, что численный анализ электромагнитных полей при дифракции плоского электромагнитного поля иа идеально проводящих полосе и полуплоскости, погруженных в слоистую среду, на основе метода интегральных уравнений первого рода проведен в [87-90]. Тем же методом задача дифракции плоской электромагнитной волны на идеально проводящем диске, расположенном в слоистой среде, решена в [91].

Глава 8

Методы и алгоритмы численного решения интегральных уравнений

8.1. Некоторые методы численного решения интегральных уравнений

В .предыдущих главах задачи дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхпостях были оведены интегральным уравнениям либо системам интегральных уравнений, относитель-

[вование ре- . 1ть доказано \ : следствием 1 ., например, Л

но плотностей токов, наводимых на повер.чности падающим электромагнитным полем. Отметим, что из единственности решения рассматриваемых за,дач дифракции непосредственно следует единственность .решения интегральных уравнений. Существование решения полученных интегральных уравнений может быть непосредственно (см., например, [36]) либо яв1ляется существования решения дифракционной задачи (см., например [92]). Кроме того, из общих оценок [7] следует, что плотности токов (решения интегральных уравнений), текущих вдоль ребер экрана, имеют вблизи ребра особенность типа 1/1, где р - расстояние до ребра, а плотность токов, текущих .перпендикулярно ребру экрана, обращается на ребре в нуль как р. При разработке алгоритмов численного решения интегральных уращнений, как правило, учитывается характер поведения решений в окрест- пости ребер (Поверхности (концевых точек контура). Так как в основу численного анализа электромагнитных полей здесь положен метод интегральных уравнений, ниже рассмотрены основные понятия, относящиеся к интегральным уравнениям и численным методам их решения. Более полно данные вопросы изложены в [93]-[96].

Рассмотрим интегральное уравнение вида

4>{4)+li<{P.Q)4>iP)dq = f{q),v0,

(8.1)

где ф(р) - искомая функция; К{р, q) (ядро интегрального уравнения) и f{q) -заданные комплеконо-значные функции на облас-ти Q; р и q - шроизвольные точки области Q (q - точка наблюдения; р - точка интегрирования qQ); v - параметр (действительное или ком1плексное число); область Q может быть конечным отрезком, бесконечной или полубесконечной прямой, кривой на плоскости или в пространстве, зам.инутой или незамкнутой поверхностью. Размерность области Q определяет размерность (8.1).

Уравнение (8.1) называется линейным интегральным уравнением второго рода. Наряду с (8.1) рассматривают также уравне-iHie первого рода [(8.1) при v=0]

J<{p,q)cfip)dp = f{q).

(8.2)

Наиболее полно изучены интегральные уравнения (8.1) типа Фредголь.ма, для (Которых

\K{p,q)ldpdq<oo.

(8.3)

В этом случае для (8.1) справедливы теоремы Фредгольма, которые гарантируют существование решения .интегрального уравнения, 1при условии, что это решение единственно (т. е. когда (8.1) при f(9)=0 имеет только пулевое решение). При этом решение (8.1) будет устойч.Н1Вым, т. е. малым изменениям входных данных 5-72 2Э

(функции К(р, q) и /(?)) или погрешностям вычислений будут соответствовать малые изменения искомого решения.

Указанное обстоятельство лежит в основе практически всех численных методов решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода и сведения их к системам линейных алгебраических уравпеннй. Остановимся здесь на описании одного из возможных методов численного решения интегральных уравнеинй второго рб да, получившего название метода коллокации. Этот метод удоб-ен тем, что его формальная схема практически не зависит от размерности и структуры области Q и особенностей яара интегрального уравнения. Изложим формальную схему метода. Представим

приближенное решение интегрального уравнения ф(р) некоторой функцией {р, Си 02, Сп), зависящей от параметров Ch{k=l, 2, п), определяемых в процессе решения интегрального уравнения. При определении свободных параметров Ch(k=\, 2..... N)

используютевязку уравнения (8.1):

/ e{q) = xiq)QK (р. q) ф (р)dp-f (q). (8.4)

При этом точное решение ф(р) обращает невязку в нуль. В методе коллокации требуется, чтобы при подстановке в невязку (8.4) приближенного .решения Ч'(р, с Cz, с„) она обращалась в нуль в заданной системе точек qj области Q(/=l, 2, п). Наиболее удобно приближенное решение ф(р) представить в виде линейной комбинации

ф(р)=1;с.П(/).

(8.5)

где к{р) (р=1. 2, .... п) - заданные линейно-независимые функции, которые принято называть координатными или базисными.

Если ф(р) Представлено в виде (8.5), то для определения совокупности Коэффициентов {сь} л=1 шолучаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:

S Cft I v, igj)-Kip,qj) Ч',(p)dp]=f (qj), /=1.2.....n. (8.6)

Если определитель (8.6) отличен от нуля, то из нее единственным образом определяются значения Ch{k=l, 2, .... п) и на.ходится

приближенное решение ф(р) По (8.5). При использовании метода коллокации возиикает ряд вопросов: во-первых, необходима оценка нормы уклонения приближенного решения ф(р) от искомого точного решения ф(р); во-вторых, нео'бходима сходимость прнб-

I лиженного решения ф(р) к точному решению ф(р). При конкрет- ной реализации метода коллокации большое значение для точности получаемого результата имеет выбор системы базисных функций F/i(p). Достаточно часто в качестве такой системы выбирают 130

систему характеристических функций. Чтобы ввести эти функции, разобьем область Q на /г частичных подобластей Qft и цоложим

Ч'.(р)=

10, еслиреОл.

(8.7)

Система функций к(р) ik=l, 2, .... п), определяемая (8.7), линейно-независима, а (8.6) принимает в этом случае следующий вид:

k=i где

Ajk=bjui-l Kip, Pj)dp,

(8.8)

(8.9)

1. 0.

k=j, символ Кронекера,

* Как видно, матричные элементы системы (8.8) представляют собой интегралы от ядра интегрального уравнения, что весьма удобно, если ядро имеет интегрирующую особенность. Кроме того, наличие единицы по диагсшали матрицы системы (8.8) делает ее устойчивой. Порядок системы (8.8) определяется числом час- тичных областей, на которые разбита основная область fi. На сов--, ременных ЭВМ, если не использовать специальной структуры матрицы Л,7, (т. е. в нашем случае конкретный вид контура Со или поверхности S), то .можно решать системы, порядок которых равен примерно 200-300. В электродинамике принято все харак- , терные размеры выражать в длинах волн (или волнового числа), j Вычислительные эксперименты показывают, что размеры частич- j ной области Qi должны составлять примерно (0J-0,2)Х. Если использовать в качестве базисных функций другие системы, например пятиточеч'ную параболическую интерполяцию, то указанный интервал может быть увеличен в 2-4 раза. Например, когда область Q представляет собой контур Со, то на длину волны должно приходиться 7-10 частичных интервалов. Поэтому без учета специфики дифрагирующей поверхности принципиальпо возможно численное решение дифракционных задач, когда характерные размеры объекта (контура Со) составляют первые десятки длин волн. Если задача дифракции сводится к системе интегральных уравнений, а также в случае двумерной области Q, предельные размеры естественно уменьшаются.

Все сказанное относилось к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода, а рассматриваемые задачи дифракции были сведены ранее к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода вида (8.2). К интегральным уравнениям (8.2) метод коллокации, вообще говоря, неприменим в силу неустойчивости реше-=* 131

ния Интегрального уравнения Фредгольма первого рода, т. е. малые изменения входных данных или малые погрешности вычислений (например, при вычислении матричных элементов Ajh или правых частей fj) могут приводить к настолько большим погрешностям в численном решении, что практически это решение потеряет смысл. Поясним сказанное следующим примером. Пусть (8.2) является Одномерным интегральным уравнением, а область Q - й [а, Ь]:

отрезок Прямой 1к{х,у)ц>{у)йу = !{х).

(8.10)

Рассмотрим функцию р, ( /) =ф(;/)-iV sin Ру, где и р -произвольные числа, и подставим ее в (8.10):

ь ь

K(x,y)4>iy)dy = f{x) + N K(x,y)smpydy. (8.11)

а а

Очевидно, ЧТО второе слагаемое при любом числе N и достаточно большом значении р иможет быть сделано сколь угодно малым и поэтрму невязка (8.10)

е (х) = (X, у)ф(у) dy-f (х) =N1 К(х, у) sinр ydy

а а

будет весь.ма малой, если выбрать достаточно большое р. Между те.м макси.мум модуля разности функций

max ф(у)-ф1() =maxyVsinp</ =yv,

ye[a.b] у

Т. е. может быть сколь угодно большим. Иными словами, вместо истинного гладкого решения получается быстроосциллирующее (пилообразное) решение большой амплитуды, точность которого может падать с увеличением п (числа базисных функций). В силу указанных обстоятельств интегральные уравнения Фредгольма первого рода среди интегральных уравнений занимают особое место. Они относятся к классу -некорректных задач, для устойчивого решения которых разработаны методы регуляризации и регуля1рпзирующие алгоритмы [36]. Однако применение полной регуляризации к интегральным уравнениям задач дифракции на незамкнутых поверхностях сопряжено с определенными трудностями, вызванными специфической структурой ядер этих интегральных уравнений, что приводит к весьма сложным алгоритмам, требующим больших затрат машинного времени [97]. Поэтому для численного решения полученных в предыдущих главах интегральных уравнений Фредюльма первого рода был1п разработаны и применены более простые алгоритмы, в основе построения которых лежит .именно использование специфики ядер этих интегральных уравнений [36-38]. Этот метод получил .название метода саморегуляризации и будет подробно рассмотрен в следующем параграфе.

>.2. Метод численного решения одномерных интегральных равнений (цилиндрические задачи дифракции -поляризации)

Для описания общей схемы метода саморегуляризации и вычислительных алгоритмов, реализующих этот метод, рассмотрим наиболее простое интегральное уравнение, к которому была сверена задача дифракции -поляризованного поля на незамкнутой цилиндрической noBep.vnocTH. Уравнение (3.4) перепишем В безразмерном .виде, придав ему форму уравнения (8.2);

lK{x,t)ie(t)dtf(T),aT, (8.12)

где ф(0= Т/(/); К{х, t)=Ho>[kLoix, t)]V 1ЦП+r]4t); f(r) =

= £о.(т); Loix, t)=L\.= V[l(r)-mV+b]M-nW- Отметим, ЧТО функция Ханкеля Яо) =/о-i Л^о. r.ie /о (feL) - функция Бесселя нулевого порядка (/о(0) = 1), а Л^о(й^) - функция Неймана, имеющая .в нуле (при L = 0) логарифмическую особенность:

NkL)--?-1п(ад. (8.13)

Как было показано ранее, решение (8.12) .имеет на 1Концах интервала (т. е. при t=a и < = Р) особенность типа IjVp, где р - расстояние от точки интегрирования до концевой точки а или р:

Ра = [(? ( ) -I (0)+(Л (а) -Г1 ;

; Рр - ш (Р)-I (<))+(т] (Р) - л (0)]/

в Если контур Г гладкий, то

* iim = КГМ ) + Л ( ) и lim = КГМрГЙПР).

fa. /-а|

Поэтому характер особенности в концевых точках имеет вид (ta) (при t = a) и (р-/)-/2 (при = Р). Выделим эту особенность в искомом решении ф(0 в виде произведения, т. е. представим

Ф(0 lv{t)VVit-a.)-t),

(8.14)

где v{t) - новая неизвестная функция.

Подставляя (8.14) в (8.12), получим новое интегральное уравнение для функции v(t):

\Q(x, i)v{t)dt = f{x).

(8.15)

где

г Q - [/С (т, i)\lV{t-a) (Р-О - ядро уравнения (8.15).