На поверхности z=0 непрерывны касательные к ней составляющие векторов Е, Н, т. е.

1Ех]=0; [fj,l = 0; 1Нх]0; 1Ну]=0, (7.2)

а на поверхности S касательная компонента напряженности полного электрического поля (Е --Е) равна нулю:

MeS.

пО, Е] = -[пО, ЕО],

На бесконечности векторы Е и Н удовлетворяют условиям (афО) lim г Е = 0; lim г Н = 0.

На контуре Со выполнены условия (1.6).

(7.3) (7.4)

7.2. Электродинамические потенциалы. Электромагнитное поле сторонних источников в слоистой среде

Для построения решения рассматриваемой задачи дифракции, как и ранее (см. гл. 1), введем векторный и скалярный потенциалы, связанные с векторами Е и Н соотношениями

rot А,

(7.5) (7.6)

Е= -1шА -gradY. Выберем условие калибровки

div А -f i сое (г) ц (z) ¥ = 0. (77)

Последнее соотношение позволяет (когда это необходимо) исключить скалярный потенциал W и выразить векторы Е я Н через векторный потенциал А:

-il

Е =- grad div А-im А. (7.8)

(08(2) n(z)

Из уравнений Максвелла следует, что векторный потенциал А удовлетворяет уравнению ,

rot rot А - grad di v А - A:\(z) А = О, (7.9J

ia(z)

где к* = (£рц (г)

8(z)-

Если рассматривать векторный потенциал А в декартовой системе координат OXYZ, связанной с границей раздела z=0, то последнее уравнение примет вид

ДА + А2(г)А = 0. (7.10)

где Д - оператор Лапласа в пространстве.

Уравнение (7.10) необходимо рассматривать в совокупности с граничными условиями на плоскости z==0, которые обеспечивают непрерывность касательных к этой плоскости компонент векторов Е и Н:

* iji(z) I дг ду Г ii(z) [ дх дг ,р ! ( д1/дАх,дАудАг\ .

. дАг

(7.11);

a)8(z)n(z) { дх (

дх дАх дх

ду дА,

-iWi4j,.

(7.12) (7.13)

(7.14)

шв(г)ц(г) [ ду \ дх ду

Анализ (7.11) - (7.14) показывает, что невозможно выбрать такую систему условий иа плоскости z=0 для компонент векторного потенциала А, чтобы соот-

ветствующие задачи для декартовых компонент вектора А стали независимыми и гарантировали выполнение (7.2). Обычно выбирают систему граничных условий при z=0, которая обеспечивает непрерывность касательных компонент векторов Е и Н, а также однозначную разрешимость граничной задачи для векторного потенциала А [8]. Эта система условий имеет вид

1Ах\ = 0: 1Ау] = 0:

= 0;

1 dAz

Ц8 дг

1 1 /дАх дАу \ lie \ \ дх ду )

(7.15)

Последнее из соотношений (7.15) указывает на тензорный характер связи между векторным потенциалом в плоскопараллельной слоистой среде и сторонними источниками. Это, в частности, означает, что в такой среде возникает вертикальная i4i-KoMnoHeHTa векторного потенциала даже в том случае, если плотность сторонних токов вертикальной компоненты не содержит. Поэтому обычная для однородной среды связь между плотностью тока, текущего по некоторой поверхности S, и потенциалом этих токов (соотношение (1.14) необходимо заменить матричным соотнощенпем

\ = -\g{M, N)](N)dSj

(7.16)

где А{Ах, Ау, А г}, ]{jx, jy, jz); G(M, TV) - матрица-функция, структура которой определяется системой граничных условий при z=0 [86]:

/5 О

О

(7.17)

Матричные элементы gn, gu и gn являются решениями следующих задач:

1. tig4+k(z)g4=0, функция gii(M, N) имеет особенность типа I/Rmn и

Г dgii

удовлетворяет граничным условиям при z=0: [gii]=0; - -г-

[ х дг

2. gsi+k(z)g3i=0, функция gu{M, N) регулярна и удовлетворяет граничным условиям при z=0

= 0;

1 dgsi

8Ц дг

e\J.

gii-

3. g3s+k(z)g3i=0, функция gi3(M, N) имеет особенность типа I/Rmn и удовлетворяет граничным условиям (по точке М{х, у, z))

= 0;

1 dg,.

8ц дг

= 0.

Для определения функций gu, gsj и зз заметим, что они зависят только от г, zo и расстояния р=\/(х-ХоУ+{у-уо)* в плоскости z=0. Отметим также, что имеет место известное интегральное представление для функция R-*MNexp{-ikRMN) (формула Зоммерфельда) [75]: Rur!=(p*+(z-Zo)*)**,

ехр

ехр

.-П1г-г.

(7.18J

где г\=Х^-(k - константа). Представление (7.18) позволяет выделить особенность при M-t-N у искомых функций и представить их в виде преобразования Ханкеля:

oo ОС

МззЩ. /о(Я.р)Узз(Я., z, Zo)XdX.

Функции vn, Vil, Vii будут удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка

т + пНг)и = 0, {vvi, (7.19)

и граничным условиям при z=0, следующим из граничных условий для матричных элементов (см. задачи 1, 2, 3):

1. lVii]=Q, \-vij\=0, (7.20J

L И

= 0.

(7.2.1) (7.22)

Особенности функций Vn, Va при M-t-N выделяются с помощью представления (7.18).

Построим явные выражения для функций Vu, Vas, fsi. Функция vn (при zo>0) допускает следующее представление:

fii(z. Zo) =

ехр( -Til z -ZqI) 11

В exp (TiaZ).

-f Иехр(-T]iz), z>0.

2<0,

где И и В - неопределенные коэффициенты, для которых из граничных условий (7.20) при z=0 следует система линейных алгебраических уравнений

А - В =

ехр(-TiiZo)

В =-ехр( -TiiZo).

Il2 11

Решая последнюю систему, получаем Tl211 - т 12 е^Р (- 1 Zq) 112 Ш + 111 a 2Ц2

А=-В =

ехр( -TitZo).

i1aW + nili2

Выпишем окончательно выражение для функции Иц (z, Zo):

ехр ( - Til lz -ZqI) ti2 v-i - p,2 Til [exp I - Ti (г-H Zo)l

при 2>o . = +ri::T ;;i

при г<0 1ц = 2ца 124

exp( -TiiZo-hTjaZ) m il2 + Ii2i1i

Аналогично выписывается выражение для функции fss:

ехр(-Tiilz-ZqI) . EiTij-eaTii ехр [ - rii (z-h Zp)]

при 2>0 1/33=--f--1----

111 Si Цг + 2 11 11

при 2<0 1/33 =

exp ( - Til Zq -f Tia z) Ч 112 + 62 Til

Решение уравнения для функции fsi представим в виде при г>0 t 3i = Cniexp( -T]iZ -T]iZo); прн z<0 f3i = Cniexp(T]2Z-T]iz ),

где коэффициент С определяется непосредственно из второго граничного условия

212 62 Ц2 -eiHi

TI2H1 + 1I1H2 il2ei + Tlie2

Подставив функции fu, fsi и fss в преоб£азования Ханкеля, получим явные выражения для матрицы-функции G(M, N). Отметим, что в случае однороднэй среды (Xi = X2=li, ei = e2=e) матрица G(M, N), становится диагональной, а (7.16) представляет собой известное соотношение между векторным потенциалом и плотностью тока (1.14):

1 г/ ° \

= -U о g О

Рассмотрим некоторые типы электромагнитных полей, возбуждаемых сторонними источниками в данной слоистой среде.

Элементарный электрический вибратор, расположенный в верхнем полупространстве z>0. Пусть ось вибратора направлена произвольно и составляет с осями декартовых координат х, у, z углы ai, аг, аз. Тогда электрический ток, текущий по вибратору, Jct=/°/(xcos ai--y° cos агЧ-г cos аз) X X6(rjvjv ), где Ыткк-Ь - функция Дирака. В соответствии с (7.16) векторный потенциал А (М) принимает вид

АД(Ж) = С(Л>. Л?о)

COSUj

COS а^ cos аз

(7.23)

[Точка М - точка наблюдения; Л'о - точка расположения диполя z>0).

Иными словами, в общем случае декартовы компоненты векторного потенциала А° задаются следующими соотношениями:

111 (Л1, yVo)cosai; gu(M, Afo)cosa2;

cosa2-f 5зз(Л1. Afo)cosas

&g3i(. No) , ,

-cos ai -J- -

dx ду

B частности, для вертикального электрического диполя fcosa3=l) векторный потенциал А имеет только z-компоненту

4л

A = zO-

ЛМ. No),

(7.24)

(cos ai=cos а2=0;

(7.25)

для горизонтального диполя to={cos ai cos аг, 0} имеет две компоненты т 2 :

1а< =

lit 14

xOgri(M, No) + zf>

dg,i{M, No)

(7.26)

4n [ ------ ат

Токовая нить (линейный электрический ток), расположенная в полупространстве (zo>0). Пусть токовая иить параллель-

на оси х и проходит через точку Л^о с координатами Хо, уо, Zo. Выражение (7.16) можно рассматривать как векторный потенциал, соответствующий элементу токовой нити с током jcm={/x, О, 0), Т. а

1Н f 0 4л

xOgn(iM, Afo) + zO

(7.27)

Поэтому явное выражение для векторного потенциала, создаваемого всей токовой нитью, может быть получено интегрированием (7.27) по л: от -оо до оо; II

gii(M. Na(xo, уа, Zo))-f г

dxo.

Очевидно, что второе слагаемое в этой сумме равно нулю. Действительно, учитывая, что д1дх=-д/дхо и интегрируя по частям, получаем

Физически это означает, что токовая нить, бесконечно протяженная вдоль х , не возбуждает в полупространстве вертикальной компоненты потенциала.

Найдем выражение для х - компоненты векторного потенциала A{i4 , О, 0} поля токовой нити:

40 = * ]gii{M. No)dxo = ]dxo [ Jt-uC. z, Zo)/o(p)XdX

= j[t (X. z, Zo) ]j (Kp)dxoKdK. Используя известное соотношение [75]

Uo (Я У1* + (у-УоГ) dl-l-cosK(y-yo), будем иметь

j Jo (Я У(х - X,)* + (у-уо)*) dx = j/ (Xy(i/-i/o)M-?)d? =

-оо -ОО

= -cosX(4f -ifo)-Окончательно получаем

Ao = 1vii{k. г. Zo)cosHy-yo)dl.

Учитывая известное интегральное представление для функции Ханкеля (kR) = - Т e-1I--- I cos К (у-уо) ~.

(7.28)

(7.29)

можно записать явные выражения для векторного потенциала А<> токовой нити:

при г > О АО Ш) = 1 Н^о^ (kR) + iJe-.<+.)cosH.-.o) -

2п

ila + i1i 111

(7.30а)

при z<0 И°(Л^) \ е-Ч-°+со5Я(у~Уо) - (7306)

б п2 + Ц1

Так как аналогично однородной среде в этом случае А<> не зависит от х, то <iivA=0 и вектор напряженности электрического поля имеет только компоненту х

Е<- = {Е\, О, 0}= - 1ш{Ло, О, 0}.

7.3. Задача дифракции электромагнитных волн на цилиндрической поверхности конечной длины, расположенной в полупространстве

Итак, рассмотрим задачу, поставленную в § 7.1, считая, что S - цилиндрическая поверхность, образующая которой параллельна оси 0Z и {0<:z<:b}. Введем систему координат д, т, z, связанную с поверхностью S, таким образом, чтобы переменная д принимала на ней постоянное значение д=до- Коэффициенты Ламе hq=K{g, X); h=h.(g, т); hr=l.

Краевое условие (7.3) эквивалентно следующим соотношениям:

E\s = -E\\s = ez\s =e\\s = - z.

(7.31); (7.32)

где E - вектор напряженности электрического поля в среде при отсутствии поверхности S. Напряженность вторичного электрического поля

Е= -gradl -1шА= --graddivA - 1шА

coe(z)n(z)

(использовано условие калибровки (7.7)). Векторный потенциал А запишем в виде

(7.33)

A(iM) =

(М, N)]{N)dS =

= (М, N) {to {Щ + 2 /, т dS ,

(7.34)

ио t =x<cos(t , х )-by COS (f, у°). Поэтому

A(A1) = -G(M, N)

Отсюда покомпонентно 1*1

xocosd , xO)/(yV) yOcos(to, y>)i\(N)

Ax (M) = -JJ-gii (M. Af) cos (f, xo) (Af) dSjv , Ау{т=\&хЛ1, N)cos(V>. yO)iAN)dSN,

A, (M) =

1*1 f 4iti

dgsiJM, N) dx

cos(t. xO)-.

dgAM. N)

cos

(7.35) (7.36)

(t . y )}/.,(Af)dSjv-H

\gm, N)iAN)dS,.

Граничные условия (7.31) и (7.32) с учетом (7.33) примут вид

(7.37)