но к осесимметричным задачам дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях вращения. Обобщим его на случай произвольного возбуждения незамкнутой поверхности вращения.

Пусть, как и прежде, поверхность вращения S совпадает с частью координатной поверхности q=qo=const ортогональной системы координат q, т, р, введенной в § 5.1.

В § 6.1 было показано, что фурье-компоненты функций W, и v, v=T, ф, связаны соотношениями (6.8) и (6.9). При этом в

(6.8) входят только компоненты Ч'< с(т), А^\с{х), Asix), с(т) и s(t), которые связаны с составляющими плотности токов j \c(t)ii у* s(О, наведенных на поверхностиS. Аналогично в (6.9) входят только компоненты Ws Hx), А^ \е(х), Л( >фс(т) .js (т) и £°< V()> которые связаны с составляющими и i \{t)- Поэтому системы (6.8) и (6.9) можно рассматривать независимо друг от друга.

Рассмотрим систему уравнений (6.8). Умножая (6.8а) на (т) и интегрируя по переменной т, получаем

Г' (т)=чтчхо)- f Лх т л< т di+

-+-Лх(?)£,Г'(?)1. <х<р.

(6.86)

где То - некоторое фиксированное значение координаты т на контуре Г.

Подставляя (6.86) в (6.86) и умножая результат на (т), приходим к соотношению

i со л, (т) л;? (т) + i со /п f Л\ (l)A[TUl)dl=mClf+F[f(x),ar,

(6.87)

= (Го) = const; F\7 (т) = К ()(т) + т j л; а)ЁТ {l)dl.

(6.88) (6.89)

Второе соотношение для составляющих А| (т) и А<,7(х) можно записать, используя (6.86) и условие калибровки (1.11) Разлагая входящие в (1.11) функции /5v(q, т, ф), \ = q, т, ф, и {q, X, ф) в ряды Фурье, получаем

д

i (9.T) =

шеи

- (-

[Л^Л^Л()(9,т)]-Ь

+ А [hq Л(- (9, т)1) + Л^Т' (q, X) \ ,

(6.90)

где

Л, = Л^(9,т); v = q,x,ff.

Аналогичное соотношение связывает функции ТГ> (q. X), Kf iq, X), Л<Г' (q. т) и Л^Г' (q. х):

Ч'Г(9.т) = --[ С-[ЛхМГ(7.)1 + свец I g x ip\.ai7

+ / [Л,МГ(9. T)])-?-/i;?(fl,T)l . Перейдем в (6.90) к пределу при q->qo и подставим найденное выражение для Ч^с* Нт) в (6.86). Умножая результат на kiq{x)fix{x)H (т) и интегрируя по т, приходим к равенству

i со I (lim [Лх (9,1) h(q, I) Afiq, I)] + mhq (I) Лх (E) -

+ i соЛ, (T) Л^ (т)Л<Т' (т) - = ft С}Г' I к (?) Лх (?) л; il)dl-

-ico lhg{t)fH{t) fi{t)dt [ /ix(l)lf (?) dl +

(6.91)

(6 92)

+ifhq(0л х(0 л,(О di j- Лх (i)f?r (l)di.

r, t.

где

C) = i CO hq (To) Л^ (t ) Л^Г' (to) = const. Как видно из (6.88) и (6.92), значения постоянных C< ic и С< 2с зависят от выбора точки tq. Пока их можно считать произвольными. Изменяя в (6.91) порядок интегрирования в двойных интегралах и вводя функцию W{x) соотношением (5.44), получаем

со Л, (т) Лф (т) А[Т (т) + i со f { IW (т) -Wil)] Лх (g) Л^Т' (g) +

+ lim [Лх (q. I) Л^ (q, l) AqT (q, Ш -f тЛ, (E) Лх ()Л5,7 () d I = I = C*) + C(-> r (t) + f (t).

(6.93)

где

fir (T) = J [Vr (T)-IF (1)1 Лх тТ (?)d I. (6 94)

Соотношения (6.87) и (6.93) образуют систему интегральных уравнений, в которую входят лишь составляющие векторного потенциала А и напряженности первичного электрического поля Е . Подставляя в (6.87) и (6.93) выражения (6.20), связывающие

ьма

функции Л,с' Ч9. т). -тсЧт) И Дф8 Чт) с составляющими /тс* ЧО и /фя (0 плотности токов, наведенных иа 5, и изменяя порядок интегрирования в получающихся двойных интегра. (Приходим к системе двух интегральных уравнений Фредгол первого рода:

f liif it) К\Т (т, /) + /Г' (О /СС (X. ом/ = тС{Г' + + / {-) (т), ОС <т<р;

(6.95а)

i I ДГ (О 2т (т, о+С' (О /Са (X. 01 d/=А*С}Г> В7 (т) + +

+ (т),а<т<р. Ядра интегральных уравнений (6.95)

(т, t) =Лф (т) (т, /) +т I Лгй) Пт (ё, о d?. V = т, ф:

(6.956) (6.96)

/с|:::> (т, о=л, (т) ft (т) (т, /)+J f

-Wт Нх Ц) ПТ (1, t)dl+ Пш I [Нх( I)Н, (,. I) ПТ (,. I. щ +

(6.97)

+ тА, (D Лх (?) Пф (iol d i, V = т. ф ,

функции Tv \ 7vt< > и Ту,д^ \ v=T, ф, определены в (6.21), а /[г'Чт) И /гсЧт) - в (6.89) и (6.94) соответственно. Входящие в (6.95а) и (6.956) постоянные Cic* * и Сгс' ** должны быть, как обычно, определены из (6.35).

Аналогично выводится система нтегральных уравнений составляющих /твМО и /фс ЧО

- f l/lr (О К\Т (т. о -/Г' (О К\Т (т. /)] = fir (т) +

(6.98а)

(1/Г(0сГ (т./)-С(/)с^Г (T,/)]d<=fr (T)+CL -

где

fir(T) = m /Лх mET4l)dl-hAr)Elr{T); fr (T) = jftx il) [W{x)-W m ЁхТ' a)dl;

(6.986)

C\r=-r (To) = const; 118

Ci = i to Л, (To) Лф (Го) Л <Г' (То) = const. (6.99)

Постоянные Cis и Сг * должны быть определены в процессе решения (6.98а) и (6.986) из условий (6.35).

Системы (6.95) и (6.98) справедливы прн любом значении параметра т. Значение т = 0 соответствует осесимметричному возбуждению поверхности 5. В этом случае ядра интегральных уравнений Кух^>Нг, t), /Сгф'Чт, о, функции f,c(o>(T) и FjMt). а также постоянные Cis° и Сг обращаются в нуль. Кроме того, равны нулю функции /фвЧО и 1т'°(0- Поэтому (при осесимметричном возбуждении поверхности 5 .в системе (6.95) остается только уравнение (6.956), которое принимает .вид

f C(OC(?>(T,o d/=fL° (x)+ftw(T)q°)+q°). (б.юо)

2 а

где

/С|°(т,0 = Л,(т)Лф(т)П?>(т.О+j j kHWir)-wm X X hx (I) П? (т, I) d 1 + lim [Лх (9. E) Лф {q, ) П° (?, , 01 F2c4r} = k f Ах()1й7(т)-Г(Е)]£Г (l)d;

q°> =4 (T ); = i соЛ,(то)Лф (To) Л^° (r ).

Сравнивая (6.1(Ю) с (5.51), замечаем, что /Сгх'Чт, 0 = А (т, /), /2c()(T)=io)f (т). ft2c,c ) = ic а C2c<**=i(oC2. Таким образом, при т=0 (6.100) совпадает с интегральным уравнением (6.51) осесимметричной задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей 1незам1кнутой поверхности 5.

Аналогично в системе (6.98) при т=0 остается только (6.98а), которое принимает вид

J С it) (т, f)dt = 4f (т), а <т < р.

(6.101)

Как видно, (6.101) полностью совпадает с интегральным уравнением (5.6) осесимметричной задачи дифракции Янполяризованно-го электромагнитного поля на идеально 1про.водящей незамкнутой поверхности вращения 5.

При тФО интегральные уравнения (6.956) и (6.986) можно заменить уравнениями с яирам1и более .nfpocToro иида.

Подставим (6.90) в (6.86), умножим полученное равенство на kligiT)fixix)fPitix) и проинтегрируем по т. В результате придем к соотношению

i (О m Л, (т) Л^ (т) А[Т (т) + i со j [m - hi (g)] Л^Т' Ц) Л,() Л,() +

X AiTiq,l)]]dl = Fifix)+mC7\aT,

где

IT (T) ~k /л; a) к (?) (S) (?) d ?.

(6.102)

a постоянная сгс * выражается через значение функции л^с ) в точке То формулой (6.92). После подстановки (6.20) в (6.102) и изменения порядка интегрирования получаем для функций / тс ЧО и /ф8< >(0 .интегральное уравнение

I [/г' (/) /cix-* (т. О + С' (/) KiV (t. 0] dt = FiT (т) +

где

(6.103)

K,V (Tt) =тhg (т) К W Tv? +1 f Пф (?. О [m -yfe ()] +

+ m 1 im A [Л, (q, ) (9. ?)п?> (9. g. /)] dg.

(6.104)

9-вой q

Аналогично выводится интегральное уравнение для составляющих/4 ) (О и/;- (0:

\iT (/)/с,г (т, О-с* (О с^ф' (т. 0] /-Г (т) +т СГ ;

ОС<Т<р,

где

(6.105)

£L (т) = fe j Л, (g) hx (?) (?) (?) dl.

0(m)

a постоянная сг связана с лт. >(тс) соотнощеинем (6.99).

Таким образом, -при тФ для на.хождения составляющих плотности тока /тс (О и jq,JHt) может быть использована система интегральных уравнений (6.95а) и (6.103), а для нахождения составляющих /тяЧО и iя> Чi) - система уравнений (6.98а) и (6.105). Входящие в эти системы постоянные Ci* и Сгк^ *, = = с, s, определяются из (6.35).

Как .видно из (6.96), (6.97) и (6.104), ядра /С1ф< >(т, /) и K2 Hт, t) И усзт *(т, О имсют логзрифмическую особенность при совпадении аргументов, а ядра /Cit* 4t, 0. С2ф* *(т, О и Кзч> Цх, t) - непрерывные функции при а^т^р и а^/р. Поэтому численные решения полученных систем уравнений могут 120

быть построены на основе метода саморегуляризации (см. гл. 8).

Если из каких-либо соображений, например из симметрии задачи, следует .существование такого значения т=т', при котором лтс^Чт) =0, тоВ (6.95) ,и (6.103) целесообразно положить тот *. При этом постоянная сгс* обращается в уль, и .соответствующая система интегральных уравнений для функций /хсЧО и /фяЧО будет оодержать лишь одну постоянную cic *. Аналогично при Axs H:) = 0 выбор то=т' приводит к тому, что система интегральных уравнений для функций /гя* ЧО и /ч>с* ЧО будет содержать только постоянную cie< >.

Г л а в а 7

Интегральные уравнения задач дифракции электромагнитного поля на идеально проводящих незамкнутых поверхностях, расположенных в слоистой среде

7.1. Постановка задачи

В настоящей главе рассматривается обобщение метода потенциалов применительно к задачам дифракции электромагнитных полей а незамкнутых идеально проводящих бесконечно тонких поверхностях, расположенных в одном из слоев плоскопараллельиой слоистой среды. Без ограничения общности применяемой методики рассмотрение проведено для одной границы раздела, разделяющей два односторонних полупространства с различными величинами электромагнитных параметров е, ц и а, а поверхность расположена в одном из полупространств.

Постановка электродинамической задачи состоит в следующем: имеется изотропная среда, состоящая из двух полупространств, в каждом из которых электромагнитные параметры е, ц, а постоянны. Введем декартову систему координат X, у, Z таким образом, чтобы граница раздела полупространств совпадала с плоскостью z=0 (рис. 7.1). Тогда электромагнитные параметры среды являются .кусочно-постоянными функциями координаты г:

Рис. 7.1.

е = е (z) =

61. са.

z>0, г<0;

ц = ц (z) =

г>0, z<0;

c = o(z) =

0:0. z<0.

В полупространстве 2>0 расположена идеально проводящая бесконечно тонкая двусторонняя незамкнутая поверхность S. В данной среде возбуждается электромагнитное поле, источники которого расположены вне S. Электромагнитное поле Е , Н , возбуждаемое сторонними источниками в слоистой среде при сггсутствии поверхности S, будем считать известным.

Задача состоит в определении вторичного поля Е, Н, удовлетворяющего уравнениям Максвелла

rot Н = i сое (z) Е + о (г) Е. rot Е = - i шц (г) Н.

(7.1) 121