Главная  Анализ дифракции радиоволн 

1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

меров, сравнимых с длиной волны. Как известно, задача дифракции плоской электромагнитной волны на идеально проводящей полуплоскости (задача Зоммерфельда) была первой из рассматриваемого класса, решение которой было получено в замкнутой форме (см., например, [7] или [8]). Решение в замкнутой форме задачи дифракции электромагнитных волн, излучаемых произвольно ориентированным электрическим или магнитным диполем, на идеально проводящей полуплоскости дано в i[9], где применен метод Г. А. Гринберга [10], а также в [И]. Во всех указанных работах решение выражено с помощью векторного потенциала (вектора Герца), а схема решения существенно зависела от положения и типа диполя, что вызвано необходимостью удовлетворения условий на ребре полуплоскости. Достаточно полный обзор ранних работ по дифракции на идеально проводящих экранах дан в (12, 13], а большое число результатов расчетов приведено в [14].

Для незамкнутых поверхностей сложной формы метод Фурье или его обобщения непосредственно не применимы для построения решения рассматриваемой задачи и поэтому широко применяются различные приближенные (асимптотические) методы (геометрическая оптика, физическая оптика, геометрическая теория дифракции, метод краевых волн, метод теневых токов и др.). Эти методы позволяют построить решение дифракционной задачи для поверхностей, характеристические размеры которых много больше длины волны.

Не вдаваясь в подробный анализ асимптотических методов решения задач дифракции на незамкнутых поверхностях, отметим только их общий недостаток. До сих пор не решен вопрос о точ-ности асимптотического решения и границах его применимост1. С особой остротой этот вопрос встает в резонансной области ча стот, когда характеристические размеры поверхности сравнимы с длиной возбуждаемой электромагнитной волны. К тому же современный уровень требований, предъявляемый к качеству проектируемой радиотехнической аппаратуры, делает необходимым расчет электромагнитных полей в различных областях пространства с достаточно высокой точностью. Это заставляет искать новые пути решения задач дифракции радиоволн, причем переход к качественно новым моделям определяется потребностями практики и тесно связан с уровнем техники эксперимента, с точностью измерений. При этом, если не накладывать априори значительных ограничений на форму незамкнутой поверхности, то метод анализа задач дифракции может быть только численным.

Действительно разработка численных методов решения задач дифракции радиоволн на незамкнутых поверхностях открыла широкие возможности для анализа влияния поверхностей произвольной конфигурации на структуру электромагнитного поля. Для достижения этой цели потребовалось развитие универсального математического аппарата, эффективного с вычислительной точки зрения для решения рассматриваемого класса дифракционных задач. При этом возникла проблема создания достаточно общих вычисли-

iPribHHX алгоритмов, позволяющих исследовать широкий класс дифракционных задач. Принципиальное решение этой проблемы воз-жно на основе применения различного математического аппарата. Так, для задач дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких идеально проводящих экранах ленточного, дискового или кругового типов В. П. Шестопаловым был развит метод задачи Римана-Гильберта [15]. Я. Н. Фельдом [16, 17] был предложен метод численного решения задач дифракции на незамкнутых поверхностях, состоящий в построении функционального ряда для плотности тока, скорость сходимости которого по норме некоторого гильбертова пространства зависит от выбранной системы функций и формы экрана. Отметим, что указанные методы жестко связаны с определенными классами незамкнутых поверхностей и непосредственно неприменимы для поверхностей произвольной формы. В этом отношении универсальным математическим аппаратом являются интегральные (или интегро-дифференциальные) уравнения, которые позволяют подойти с единых позиций к анализу дифракции радиоволн на поверхностях произвольной формы.

Как известно, граничные задачи электродинамики допускают сведение к интегральным уравнениям различных размерности и типа.

Сравнительно давно В. Д. Купрадзе {18, 19] плоские задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих цилиндрических телах были сведены к одномерным интегральным уравнениям второго рода. В. А. Фоком [20, 21] было получено векторное интегральное уравнение для задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящем трехмерном теле относительно плотности электрического тока, наводимого на теле падающей волной. К. Мюллером [22] та же задача была сведена к век- j торному интегральному уравнению по поверхности тела относи- тельно плотности магнитного тока. Им же были сформулированы условия, однозначные разреши.мости интегральных уравнений, и доказаны теоремы существования и единственности. Отметим, что интегральные уравнения имеют меньшую размерность, че.м краевая задача, и универсальны по отношению к форме тела. Естественно, что интегральные уравнения такого типа оказались весьма удобными для построения численных методов решения задач дифракции. В частности, для трехмерных тел, обладающих симметрией вращения, соответствующие методы и алгоритмы были развиты Е. И. Васильевым [23, 24] (см. также [2]). При этом задачи дифракции сводились к системе одномерных интегральных уравнений, которые получаются из уравнений В. А. Фока или К. Мюллера. Достаточно эффективным оказался и метод интегро-функци-ональных уравнений первого рода, развитый в [25-27].

Несколько иные проблемы возникают при численном исследовании задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях. Применением формулы Грина или ее векторных аналогов эту задачу можно свести к векторному интегро-дифференциальному уравнению первого рода



(см., например, [28] или [7]). В общем случае алгоритмизация таких уравнений наталкивается на значительные трудности, связанные с необходимостью аппроксимации дифференциального оператора, удовлетворения условий на контуре, ограничивающем поверхность, и неустойчивостью решения интегральных уравнений первого рода с вполне непрерывным оператором. Один из возможных путей преодоления указанных трудностей состоит в преобразовании интегро-дифференциального уравнения к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. В [29] интегро-дифферен-циальное уравнение, полученное в [7], было сведено к интегральному уравнению второго рода по поверхности экрана. Подробное исследование интегральных уравнений второго рода, возникающих в задачах дифракции на незамкнутых поверхностях, было проведено в [30], а в [31, 32] был развит метод редукции дифракционных задач к интегральным уравнениям второго рода, основанным на дополнении экрана до замкнутой поверхности и построении функций Грина внутренней и внешней областей. С вычислительной точки зрения интегральные уравнения второго рода недостаточно эффективны из-за сложности ядер интегральных операторов.

Вместе с тем для более узкого класса незамкнутых поверхностей возможно построение более простых по структуре интегральных уравнений первого рода. Так, Г. А. Гринбергом [33, 34] была разработана методика сведения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах произвольного очертания к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Для вывода уравнений были использованы электродинамические потенциалы и метод дифференцирования граничных условий, что позволило перейти от дифракционной задачи к дифференциальному уравнению относительно скалярного потенциала и интегрального уравнения Фредгольма первого рода относительно декартовых компонент вектора плотности тока, наводимого на плоском экране первичным полем. При этом дифференциальное и интегральное уравнения рассматриваются на экране и решаются последовательно. Отметим также, что ядра интегральных уравнений, полученных Г. А. Гринбергом, имеют интегрируемую особенность при совпадении аргументов.

Методо.м интегральных уравнений первого рода были получены аналитические и асимптотические решения целого ряда конкретных задач дифракции на плоских экранах. Вместе с тем численные методы для решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода до недавнего времени практически не применялись. Это связано с тем, что интегральные уравнения Фредгольма перюго рода относятся к классу некорректно поставленных математических задач и являются неустойчивыми, т. е. сколь угодно малым изменениям входной информации (правой части интегрального уравнения) могут соответствовать сколь угодно большие изменения выходной информации (решения его). Принципиальная возможность численного решения некорректно поставленных задач и, в частности, интегральных уравнений Фредгольма первого рода появилась

созданием теории регуляризируемых алгоритмов, основополож-шком которой является академик А. Н. Тихонов. ]*Г Методы регуляризации [35] обладают большой универсальностью и поэтому применяются к широкому классу некорректных задач. Вместе с тем специфика интегральных уравнений рассматриваемых задач дифракции позволила разработать более простые алгоритмы для их численного решения. Так, был создан численный метод решения одномерных интегральных уравнений Фредгольма первого рода с логарифмической особенностью при совпадении аргументов, получивший название метода саморегуляризации [36, 37].

В настоящей книге развиты методы сведения задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях (цилиндрической поверхности и поверхности вращения) к интегральным уравнениям первого рода относительно плотностей токов, наводимых на поверхности падающим электромагнитным полем. В основе перехода от дифференциальной задачи к интегральным уравнениям лежит метод векторного и скалярного потенциалов. Этот подход имеет ясный физический смысл и в конечном итоге для широкого класса поверхностей приводит к достаточно простым по структуре и однотипным интегральным уравнениям, хотя сам переход осуществляется различными методами (методами дифференцирования граничных условий, интегрирования граничных условий, частичного обращения дифференциального оператора, интегро-дифференциального уравнения), окончательные интегральные уравнения и их дискретные аналоги (системы линейных алгебраических уравнений) однотипны и решаются методом саморегуляризации. На основе численного решения интегральных уравнений дан анализ дифракции радиоволн на цилиндрических поверхностях различной конфигурации [38-47].



Глава 1

Математические задачи теории дифракции электромагнитных волн на незамкнутых идеально проводящих поверхностях

1.1. Постановка задачи. Единственность решения

Рассмотрим математическую постановку задачи дифракции электромагнитных волн, излучаемых произвольной системой источников, на идеально проводящей незамкнутой поверхности. Пусть идеально проводящая незамкнутая поверхность S находится в безграничной однородной изотропной среде без потерь, абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости которой равны е и р, соответственно. Предполагается, что поверхность является двусторонней, не имеет самопересечений и ограничена контуром Со-

На поверхность S падает монохроматическая электромагнитная волна, поле которой Е , Н° считается известным. Под воздействием первичного поля Е°, на S наводятся поверхностные электрические токи с плотностью j, которые создают вторичное электромагнитное поле. Так как первичное поле известно, то задача сводится к определению вторичного поля Е, Н, удовлетворяющего уравнениям Максвелла:

rot Н = i ш е Е, rot Е == - i cofi Н.

(1.1)

(Зависимость от времени принята в виде множителя е' , который всюду опущен.) Из (1.1) следует, что достаточно иайти один из векторов Е или Н, так как любой из них однозначно выражается через другой. Отметим, что нз (1.1) могут быть получены уравнения второго порядка для векторов Е или Н в отдельности. Действительно, исключая в (1.1) вектор Н, получаем дифференциальное уравнение для вектора Е:

VE + kE = 0, (1.2)

длина волны, а

где )fe==(fl Е|д,=2яД - волновое число; - оператор Лапласа.

В декартовой системе координат S7b=db/dx-\-db/dy-\-+db/dz, в общем случае V2b=graddivb-rot rot b. Аналогичному уравнению удовлетворяет и вектор Н:

VH + AH = 0. 12

(1.3)

На поверхности S касательная составляющая напряженности юлного электрического поля jE+f. равна нулю (а=оо), следовательно, должно выполняться граничное условие

, El = -[iiO. Е 1, MS, (L4)

где п - орт нормали к поверхности S; М - точка, в которой определяется поле.

Предполагается, что (1.4) выполняется на обеих сторонах поверхности S.

На бесконечности векторы Е и Н должны удовлетворять условиям излучения, которые для поверхностей ограниченных размеров могут быть сформулированы следующим образом:

limr-

limr-

Е+ /-f [ro, HI

= 0.

[i*. E]j=0.

(1.5)

E =0(! ); Н| = 0(1/л) при r-oo,

где г - расстояние от начала координат до точки наблюдения; г - координатный орт переменной г.

Физически условия (1.5) означают: на бесконечности вторичное поле должно представлять собой поперечную волну, расходящуюся от поверхности S. Отсутствие во вторичном поле составляющих, которые можно было бы рассматривать как волны, идущие из бесконечности к поверхности S, очевидно, так как окружающее пространство предполагается безграничным и однородным.

Контур Со представляет собой ребро (острую кромку) незамкнутой поверхности S. Поэтому на контуре Со векторы Е и . Н должны удовлетворять дополнительным условиям, называемым условиями на ребре. Эти условия в наиболее удобной для использования форме были получены Мейкснером [48]. Введя систему координат р, ф, S (рис. 1.1), связанную с контуром Со (s - длина дуги, отсчитываемая вдоль контура от некоторой точки ОеСо, а р и ф - полярные координаты в плоскости, перпендикулярной Со), можно записать условия на ребре [7]:

Птр|Е| = 0; limpH = 0, (1.6)

р-О р-О

Соотношения (1.6) должны выполняться равномерно по р и ф.

Условия на ребре (1.6) обеспечивают существование интеграла Г (е[Е|2+д, li\)dV, где - объем кольцевой области ра-

диуса р, охватывающей контур Со-

Существование этого интеграла эквивалентно выполнению требования ограниченности энергии электромагнитного поля в любом конечном объеме, охватывающем контур Со (рис. 1.2).

Из (1.6) и уравнений Максвелла (1.1) следует, что касательные к ребру составляющие £ ц и Я ц должны быть ограниченными,



1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов