Преобразуем (6.64) в интегральное уравнение для Ч'Чт). Представим

D{x) =

функции

(6.66)

где с, Ь-и Ьо, bi и Ь^ - постоянные, а 6i(t) - некоторая функция, имеющая при т->-0 порядок малости не ниже т^. Обычно с>0.

Если поверхность S образована вращением отрезка прямой линии (т. е. представляет собой боковую поверхность кругового цилиндра или конуса), то с>0, ЬофО, b-\ = bi = b2=0 и б(г)=0.

Выделим три основных случая:

1) Ь^1Ф0; 2) ЬоО, 6 ,=6, = б2=0 и

3) 2=70, 6 1=0, и введем параметр

-1 при 6-10,

О при ЬофО, 6-1 = 61 = 62 = 0. 2 при 620, 6 1 = 0.

Перепищем (6.65) с учетом (6.66):

+ + ( т - ) = / (т) h\ (т) \ГЩ[х~6 (т) и.

а

где 6(T) = 6i(T)-b62(T);

при п=-1,

(6.67) (6.68)

(6.69)

{bo+b,x+bx* г()=\0 при п=0,

[бр + б^т при л =2.

Запишем рещение уравнения (6.67), считая правую часть известной функцией построим оператор, обратный оператору -\-

b T-

X dx

Если величина

p = 2Vc/(n + 2) . (6.70)

не равна целому числу, то решение (6.67) может быть представ-

лено в виде

u(x) = C,i\x j + C2/ p( T )U{x). а<т<р.

(6.71)

где /+p(i(U) - функция Бесселя порядка ±р от аргумента w\ U{x) -ограниченное при а^т^р частное решение неоднородного уравнения (6.67), а Ci и Cz - некоторые, пока произвольные постоянные.

ГПри целочисленных значениях параметра р функция Бесселя /-Р в (6.71) должна быть заменена функцией Неймана Nj, от того же аргумента. Частное решение [/(т) (6.67) может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Например, если р<;1, а модуль р не равен целому числу, функция U{x) может быть представлена в виде

Во всех случаях предполагается, что ОО.

V(т) = J \ Д71) [/(1)h\ (I) ] -Ь{1)и (I)

В{х, l)dl,

(6.72)

где В(т, 9 =

(я + 2)5ш(ря)Уд(т)Л(5)

п--2\ / , п+2\

W{x,ly,

n + 2

Возвращаясь к функции Ч'<)(т) на основе (6.63) и учитывая (6.57) -(6.62), (6.68) -(6.72), получаем

W (т) = С, Ф1 (т) + С2 Ф, (т) + Л (т)- jfi {I) А ( =) В (т, g) (i) d g +

i a>x k

(6.73)

где

n-f-2\

PV n-l-2

(, n+2\ 21/6;,- .

/=iW=fe ,(g)B(T. g)dg; (6.74)

Gv(t, 0=jgv(g. i)d; v=т,ф;

gAl, t)\im[hAq, DKiq, DnHq, I, t)\;

a функции e°q{l) и (q, g, /) определяются (6.59) и (6.21) соответственно.

Во многих практически важных случаях поверхность S имеет лишь одну кромку при т=р. Тогда контур Г начинается на оси симметрии Z и а=0. Так как скалярный потенциал должен

f fТтГ ФУ Ц ей на поверхности S, то в этих частных случаях в (6.73) нужно считать С2=0.

Уравнение (673) удобно переписать в операторном вие, введя (по аналогии с § 3.2) обозначения для интегральных операторов типа Вольтерра (К) и Фредгольма (К):

+V, ч'т -а: /<)-л:1ф / = f, (х)+с, ф, (т)+с, ф, (т). /

а<т<р, , (6.75)

где ядра интегральных операторов

g) = 6()A(g)fi(T. Е): /Civ(t, 0 = 0,5icofiG(T, f), v = T, ф.

Соотношение (6.75) представляет собой интегральное уравнение, в которое входят три неизвестные функции *F<(t), j\(t) и / *ф(0- Требуется записать еще два уравнения для указанных функций.

Подставляя (6.73) и (6.20) при v=t, т=.\ в (6.8а) и умножая результат на 1г.{х), получаем второе интегральное уравнение

для функций 4<>(т), 7 <>г(0 и /* р()- операторном виде это уравнение записывается следующим образом:

IV + - V, Ч'() = f 3 (т)- С, - Q

где f,(т) = h, (т) £ ()(т)-[rf/-,(т)}/й т,

а ядра интегральных операторов

(6.76)

Лг(т)Г()(т. t) +

а

v = T, ф;

Третье интегральное уравнение, связывающее функции Ч'<(т), /(.£ (<) и /< ф(0> является следствием соотношения (6.86). Подставляя (6.73) и (6.20) при у=ф и т=1 в (6.86) и записывая результат в операторном виде, получаем

где /,(т) = Л^(т)£0( (т).

а ядра интегральных операторов

(т. О = 7-0) (т. t) К (т). V = т. ф.

(6.77) (6.78)

(6.79)

Таким образом, задача дифракции электромагнитного поля (6.401 на идеально проводящей незамкнутой поверхности вращения сведена к решению системы трех интегральных уравнений (6.75)\-(6.77), которая в общем случае (при 6(g)0) является систенфй интегральных уравнений типа Фредгольма первого рода, так как тип системы определяется уравнениями (6.76) и (6.77), а оператор Вольтерра является частным случаем оператора Фредгольма. Все ядра этой системы регулярны, за исключением ядер Kiix, t) и /Сзф(т, t), которые имеют логарифмическую особенность при совпадении аргументов. Поэтому численное решение системы (6.75) - (6.77) может быть построено на основе метода саморегуляризации [36]. При этом постоянные Ci и Сг должны быть, как обычно, определены из условий /( (а) (Р) =0, вы-

текающих из (6.35). Если а=0, то С2 = 0, и неизвестная постоянная Ci должна быть определена из условия (Р)=0.

Отметим, что система трех интегральных уравнений (6.75) - (6.77) легко может быть сведена к системе двух уравнений. Действительно, (6.77) позволяет выразить функцию Ч'<)(т) через / 4(0 и /<Чф(0:

(т) = f3{T)-Ksr / < -зф /<р (6.80)

Подставляя (6.80) в (6.75) и (6.76), приходим к системе двух интегральных уравнений Фредгольма первого рода относительно функций jO\ (t) и /< ф(0- Преобразования, которые должны быть при этом произведены, очевидны, и не будем на них останавливаться.

Аналогично могут быть получены интегральные уравнения и задачи дифракции произвольного электромагнитного поля (6.1) на идеально проводящей незамкнутой поверхности вращения 5.

В качестве примера применения описанной методики рассмотрим задачу дифракции поля (6.40) на идеально проводящем бесконечно тонком параболическом зеркале конечных размеров.

Пусть q, х, (р - параболоидальные координаты, связанные с декартовыми X, у, Z соотношениями

д: = тсо5ф, y=qx%m, г = ,Ъ{ф-т^). На рассматриваемой поверхности 9 = 9о; 0<х:Р; 0:ф^2л. Коэффициенты Ламе определяются выражениями h.q(q, x) = h.{q, х) = Ус-\-х^; h(q,x) = = qx. Соответственно

Л,(т) = Л,(т) = ГЛ + г'; Ч(т) = 9оТ. (6.81)

Подставляя (6.81) в (6.55), получаем Д(т)=9от. Уравнение (6.56) принимает вид

d + ± .( /х-~\) У(ч = / (т) (q% + Т==)-k X d т* т d т \ /

0<т^р,

где x.= kq\-l/(k) = c(ynst.

в данном частном случае =1. b ,b,b,Q, b,=k\ б.(г)/о. а 02(т)=Ли = const.

При этом л = 2, /5 = 0,5 и

sin-

cos-

kgoxl

равно1 и'Т ТЯ постоянную С. в (6.73) нужно считать равной нулю, и (6.73) принимает вид

. kx*

W)(T) = C----JW>(i)sin

X о

+ fe (/)G,(T. ) + /; (ОСИт. t)]dt.

+l{T) +

(6.82)

где

д

(T-g)

yc -которая должна быть определена из

условия у((Э^=0. Она связана с постоянной С. соотношением

получаеТ Р^-ное уравнение (6.82) в операторном виде, операто'ро7 Р^ интегральных

VAr, H) = -sin

Дифференцируя (6.82), по т, приходим к соотношению

+ *Ccos

I?*,© cos Ли/W)(i)cos

dl +

lj[Ht)GAr. + /Г(ОСф(т, 01 Л,

(6.84)

K2x/i + .W y-n -f = .W-*Ccos*

где 6v(t, 0 = (l/9o)/gv (g. 0cos[(T2-g==)]dE.

Второе интегральное уравнение, соответствующее (6.76), получается при подстановке (6.84) в (6.8а);

0<т<р,

(6.85)

где F,ir) = }qVPEA{x)-± le%{l)cos\±.{x-)\dl, а ядра интегральных операторов

/) = 1 (т. t) ]/-pF+G,(T, 01;

(т, ?) = ;fe X cos [0,5 k (T-g)I.

Третье интегральное уравнение задачи, записанное в операторном виде (6.77), остается без изменения. Нужно только в (6.78) и (6.79), определяющие входящие в (6.77) функции Рз(х) и Кзу{х, t), v=T, ф, подставить значение коэффициента Ламе Н^р (х) =qox.

Таким образом, задача дифракции электромагнитного поля (6.4v;; на идеально проводящем бесконечно тонком параболическом зеркале (?=<?о; О^т^Р; 0ф:2л) сведена к системе трех интегральных уравнений (6.83), (6.85) и (6.77). Как и в общем случае, все ядра интегральных операторов этой системы регулярны, за исключением ядер А^2х(т. О и Кз<р{т:, t), которые имеют логарифмическую особенность при совпадении аргументов.

Отметим также, что система (6.83), (6.85) и (6.77) легко преобразовывается в систему двух интегральных уравнений. Для этого достаточно подставить (6.80) в (6.83) и (6.85).

6.3. Метод интегрирования граничных условий

Интегральные уравнения задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой поверхности вращения могут быть получены также на основе метода Интегрирования граничных условий. Этот метод был изложен в § 3.3 применительно к плоским задачам дифракции электромагнитных волн на незамкнутых цилиндрических поверхностях и в § 5.2. применитель-

Параграф 6.3 написан совместно с А. Г. Давыдовььм.