(т) dtlCT) С^) d4 (T)

a

(m)

4 (T)

(6.39)

где a<T<P;

a ядра 7civ(t, 0 и 2v(t, v=t, ф, как и в(6.36), определяются (6.37) и (6.38) соответственно.

Подчеркнем, что системы (6.36) и (6.39) являются независимыми. Ядра Kixix, t) и /С2ф(т, t) имеют логарифмическую особенность при совпадении аргументов / и т, а ядра /civ(t, /) и Kixit, t) ограничены и непрерывны при а^т^Р и а^/р.

Таким образом, если форма контура Г, вращением которого образована поверхность S, такова, что для однородного дифференциального уравнения (6.32), получающегося из (6.29) при нулевой правой части, известно два линейно-независимых рещения, то задача дифракции поля (6.1) на идеально проводящей поверхности вращения 5 сводится к решению независимых систем из двух интегральных уравнений в каждой для Фурье составляющих плотности тока, наведенного на S. Число подлежащих решению систем интегральных уравнений определяется числом гармоник Фурье, которые должны быть учтены в разложении функций (т, ф) и £%(т, ф) в ряды (6.6).

При анализе излучения антенн с осесимметричными зеркалами часто считают, что составляющие напряженности первичного электрического поля зависят от угла ф следующим образом:

Е\(9. -г. Ф) = (Q> -г) cosф; £0, {q, т, ф) = Е^ОУ {q, т) созф;

Eviq. г, Ф)=£°< (<7. т)5тф.

(6.40)

Как известно [6], поля (6.40) являются характерными для многих типов облучателей, рассматриваемых при расчете диаграмм направленности и других параметров зеркальных антенн. Например, поле вида (6.40) создается элементарным электрическим вибратором, расположенным на оси симметрии антенны (на оси

Z) параллельно оси X; элементом Гюйгенса (см. § 1.2), плоскость которого перпендикулярна оси Z, а вектор £.0 параллелен оси X; открытым концом прямоугольного или круглого волновода (при учете излучения только основной волны); секториальным или коническим рупором (при аналогичном предположении) и др.

При указанном возбуждении в разложении составляющих jx ф) и j,p{t, ф) плотности тока, наведенного на поверхности вращения S, в ряды Фурье (6.10) отличными от нуля будут только функции /< .tc(f) и /<vs(0- Поэтому задача дифракции поля (6.1) на идеально проводящей поверхности вращения S сводится к решению одной системы из двух уравнений (6.36) при т=1.

Частные случаи. Рассмотрим некоторые частные виды .поверхности S. При этом в основном ограничимся нахождением общего решения (6.32), так как после определения функций ii< (t) и 1 г< Ч(т) вывод систем (6.36) и (6.39) не вызывает затруднений.

1. Коническая поверхность. Пусть поверхность вращения S представляет собой коническую поверхность с углом при вершине 260 и образующей а (см. рис. 5.3). Введем сферическую систему координат с началом в вершине конической поверхности. Положим =6; 90=60; т=г. Тогда hg{q, х) = =Ле (6. 0=г; ,(T)=/ig (г)=г;/1 (<?, т) =/1,(6. г) = 1; Й. (т)=Я,(г) = 1; ф(Ч. т)=Л ф(6, r)=rsin6; /i(t)=/i(r)=rsin6o. При этом (6.32) принимает вид

1 d / dt \ / \

Перейдем в (6.41) к новой переменной =Аг и введем в рассмотрение функцию V(i), связанную с V соотношением

v = v{kr) = va)=V{l}/Vf. Olka. (6.42)

Подставляя (6.42) в (6.41). получаем дифференциальное уравнение для функции V():

d2 V

1 dV / р2 \

dV I dl \ - г

где р = 1/0,25-1-mi/sin=(

(6.43)

В качестве линейно-независимых решений (6.43) Vi(6) и УгЦ) могут быть взяты функции Бесселя и Неймана:

Vi(l) = Jpa); ViDNpd). (6.44)

Подставляя (6.44) в (6.42), находим два линейно-.независимых решения (6.41): t;,( .. (г) = [/р (kr) ] IУ IF, 1-2 (г) = [Л^р (kr) ] / YTF.

Функции Di( )(r) и f2< () входят в выражения (6.33) и (6.34), для Фурье-составляюших скалярного потенциала (г, ф), который должен быть ограниченным на поверхности S. Прн О^гго функция f!< )(/) ограничена, а Г2 (г) обращается в бесконечность при г=0. Поэтому в (6.33) и (6.34), определяющих составляющие Ч'С). > =с, s, нужно считать С„< )=0, и=с, s. Вторая постоянная Cjjj* , >с=с, S, должна быть определена из условия /j, (<)=0. 2 Сферн.ческая поверхность. Пусть поверхность S представляет 1 собой часть сферы г=о; 0<6<6о; 0<ф<2п- Примем q=r, qo=a; т=6. Тогда т)=А.(л. 6) = 1; /1,(т)=/1,(6) = 1; (9, т) =Ад (л, 6)=г; /1.(т)=Йд (6)=о;

h(q, т)=А^(л. 6)=л sin 6; (т) =/1 (6) =о sin 6

и уравнение (6.32) принимает вид 1 d / du \ Г

sin 6 de

sin 6

sin2 6

v = 0.

(6.45) 105

Переходя в (6.45) к новой переменной =cose, получаем

dv dl

{kaf-

v = 0.

(6.46)

Решением (6.46) являются присоединенные функции Лежандра Р^ () и Qvt) индекс V которых связан с параметром ka соотношением

\{\+l) = {kaf. (6.47)

Соотношению (6.47) удовлетворяют два значения v, одно из которых положительное, а второе - отрицательное. Выберем в качестве v положительный корень уравнения (6.47) v=-0,5-- 1/0,25+{ка).

Таким образом, в качестве лннейно-иезависнмых решений (6.46) могут быть взяты функции ii< (e)=Pv (cose) и f2< (e)=Qv (cose). Функция P (cose) ограничена при 0<:е<ео(во<я), а Q (cose) обращается в бесконечность прн 6=0. Поэтому в (6.33) и (6.34), определяющих Фурье-составляющие скалярного потенциала, следует положить С^>=0. Вторая постоянная должна быть найдена из условия /д^ (6о) =0.

Отметим, что если поверхность S представляет собой сферический пояс (см. рис. 5.4), то в (6.33) и (6.34) необходимо сохранить обе функции P (cos6) и Qv (cos6), н ни одну из постоянных, входящих в (6.33) и (6.34), нельзя положить равной нулю.

3. Цилиндрическая поверхность. Пусть .5 представляет собой боковую поверхность кругового цилиндра радиуса а и образующей Ь (см. рис. 5.2). Введем цилиндрическую систему оординат л, ф, z и положим д=г, до=а, х=г. Тогда hg(q, х)=К{г, г) = \; Нд(х)=Нг(г) = \; h(q, x)=hr(r, z) = l;

Л,(т)=/г.(г) = 1; h{q, x)=h(r, г)=т: П^(х)=П^(г)а.

и (6.32) принимает вид

d*vldz*-\-(k* - rrfiia*)v = 0. (6.48)

Решением (6.48) являются функции oj (г) = si п (А„ Z); 4 (2) = cos (fe г).

где \ко = Vikaf-mla.

Обе функции (6.49) принимают ограниченные значения при О^г^Ь, и ни одну из постоянных Cjj , я=1, 2; >с=с, s, в (6.33) и (6.34) нельзя положить равной нулю. Они должны быть определены из условий[/ (0) =/( (6) =0, >с=с, S.

Отметим, что в данном частном случае полученные выше общие формулы существенно упрощаются. Например, вместо (6.14)-(6.19) имеем: (q , ф°) = = (го, фО)= 5;п(ф ф). f,o t ) = (z , t ) = l; (ф , ф ) =со5(ф-ф); (q . t ) = = (т . ф ) = (ф'. t )=0.

Формулы (6.21) принимают вид

Г.у(9, т. t) = Tzr(T, г, ф) = 0;1 7-(9. т. t) = TzAr. 2. t) = aSm(r. г, t); Tiq. X, t) = T(r. 2. 0 = 0;

2<P

Т^АЯ. г. t)TJr, z, 0 = 0;

T(q, X, t)T(r, z. 0=-г. 0-f-S .(. г, t)]. 106

(6.50)

дящая в правую часть (6.29) функция

/ix И=~ I* г Г' С-. . t = с. S.

Or г~*а or

(6.51)

функции 2х'М=2х^()> =< * определяются выражениями (6.30) и (6.31), в которые входят функции Q{x, t) и QC- В рассматриваемом случае ОГ (т. 0=Q 4z, 0=0. При этом (6.30) и (6.31) записываются в форме

/Г(2)=-у1/Г(0(?ф(г. t)dt;

где 0 (2. 0 = -lim- {гТ {г, 2, 01- а г~.а дг

(6.52) (6.53) (6.54)

С учетом (6.49)-(6.51) из (6.33) и (6.34) получаются следующие выражения для фурье-составляющих скалярного потенциала:

о

у] ) (2) = - \(О (Z. О Л -I- (Z)Tcir sin А„ Z + СГ cos А„ z;

где (2) = /{х' (5) feo (2 - g) d

*0 о

(6.49) PHz, t)-~\Q(Hl,mnk,{z-l)dl.

При этом система (6.36) принимает вид

-J[/r (0Схг(2, о+С(ол:,(г. o]d =

= f (z) - Ао С<> cos Ао 2 -Ь *о С< sin А„ 2, о

-Н C{f > sin Ао 2 -I- С^ cos Ао 2,

где О :S 2 :S 6;

К^Лг, t) = fif(z, ty.

= f Qjp-) (g, oos A (2 -1) dl:

(г) = е^с (О - J f\T (I) COS fto (г -1) d I;

Аналогично записывается система интегральных уравнений (6.39) для функций/ ( (О H/<pf (О:

J[/1f (0/Ci.(2. 0-С*(0,ф(г. /)]d/ = = ai (г) - k C{f cos A z 4- Ao C sin А г;

+ С<Г' sinA z + - Cr cosAoZ.

где 0 < 2 < 6;

f,1 (2) = f / ) (2) - J f\f (I, t) cos A (2 - ) d I;

f (2) = £°< W-/rC)-

6.2. Метод частичного обращения дифференциального оператора

Изложенный в предыдущем параграфе метод сведения задачп дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой поверхности вращения к интегральным уравнениям требует построения фундаментальной системы рещений (6.32). Однако построение такой системы возможно лищь в ограниченном числе случаев. Кроме того, при численной реализации приходится иметь дело с весьма сложными специальными функциями.

В § 3.2 был описан метод вывода интегральных уравнений задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях, не требующий построения фундаментальной системы рещений дифференциального уравнения для скалярного потенциала. Метод был изложен применительно к плоским задачам дифракции на незамкнутых цилиндрических поверхностях. Обобщим его на случай задач дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих незамкнутых поверхностях вращения.

Пусть, как и прежде, поверхность S совпадает с частью координатной поверхности 9=o=const ортогональной системы координат q, т, <р, связанной с декартовыми координатами х, у, z со-отнощениями (5.1).

Для упрощения изложения первичное поле зададим в виде (6.40). Как уже отмечалось, поля такого типа характерны для многих задач антенной техники.

Под воздействием поля (6.40) на S наводятся электрические токи с плотностью j(t, q))=TV xc (т)с05ф-1-ф°/ф5 (т)51пф. Соот-108

ветствующий этим токам векторный потенциал А имеет три отличных от нуля компоненты Фурье Л< >дс(9. т). Л* хо(я, т), Л<)фб(9.т), а скалярный потенциал W - одну Ч'<)с (q, т).

Эти компоненты связаны соотнощениями (6.8а), в которых

нужно положить т=1, а функция (т) удовлетворяет (6.29) при т= 1.

Для упрощения последующих формул опустим индексы с и s у всех рассматриваемых функций, т. е. вместо /*тс(0. /* ф ()> А^%ЛЧ, т), A\dq, т), Ч' (т), B\c{q, т),

[\ЧЯ. т) f<,(g. т) будем писать /( (/). /40. Л ()(,?, т), Л<) (?, т) и т. д.

Вводя обозначение

А = Д(г) = [Л;(т)/(т)]/ЛЛт)

и умножая (6.29) на /1*г(т), получаем

(6.55)

dT Л(т)

где f(T) = (x)-bf2(t): 1

h\ (т)

Ч'm = Пt)A(т).

А(т)==-

Л,(т)Л^(т)/г^(т)

е%(т);

e ,(T)=limf-[/i,(9. х)Ъ^{д, т)£ ()(9, т)];

h W = f [/i (О Qr (г, О+/!р (О (т. 0] dt

.ev(T. f), vr=T, ф;

hg(x)hjx)h(x)

[hjq, x)h(q, T)7()(Q, т, /)].

a функции rig(q, т, 0- =т, ф, определены в (6.21).

Введем функцию ы(т), связанную с \к<)(т) соотношением

(6.56) (6.57)

(6.58) (6.59)

(6.60) (6.61)

(6.62)

%(1)(т)= VVA(x) (T).

Подставляя (6.63) в (6.56), получаем

u + - + D{x)u = f (т) h\ (т).

где D(T)=A(T)-Al!) a.-L

h\(x)

2А(т) 2тЛ(т) 4А2(т)

(6.63) (6.64)

(6.65) 109