4л

\{t)hAt)dt

2я g-lfcZ,(e, т, (, *-ф) L(9, т. /, Ч> -ф)

Где L(9, т, ip-ф) определяется (5.4), в котором нужно только заменить if на яр-ф.

На поверхности S должно выполняться граничное условие (1.4), которое в рассматриваемом случае эквивалентно двум ска лярным соотношениям

£T. ф)=-£9Лт, ф), (т, ф)=-£\(т, ф). (6.2)

С учетом (1.9) соотношения (6.2) могут быть записаны в виде

1 (Т, ф)

\(т) дх

1 (Т, ф)

Разложим в ряды Фурье составляющие /.(( ip) и Уф {t, ip) плотности тока, наведенного на поверхности S:

/у(/. *) = § I/v *(Ocosmip + /<,f (Osinmip], v = t, ф, (6.10)

m=0

и выразим функции A\q, т), Л^(9, т) и Л^х' (?, т), и=с, s через у^(0 и у1Т'(0, v=T, ф. Проецируя вектор \{q, т, ф) на направления q°, т и ф и учитывая, что /г (О =р(0 =Р(9о. 0. получаем

Л, (9, Т, ф) = -f-Jftx (О Р it) dt j [(q°, t ) /г (/, яр) +

1а)Л4т, ф) = £о.,(т, ф);

(6.3)

-f (q . гр)Уф( гр)]йгр,

-=л,(Ор(ол j i-[(ro, t<)л^1p)--

+ 1иЛф(т, ф) = £%(т, ф).

(6.4) о)у^(, ,f)]dip;

По аналогии с тем, как это было сделано для плоских поверхно

стей вращения (§ 2.2), разложим функцию Ф'(т, ф) и составляю щие векторов E°{q, т, ф) и k{q, т, ф) в ряды Фурье:

(т. ф) = f [Ч'Г' (т) cosm ф + (т) sin т ф]:

т-О

(6.5)

v(9. т, ф) = V [£0(т)( т)со5тф + £( )(</, т)5штф], v = q, г, ф;

(6.6)

i4v(g, т, ф) = 2 И^Ч?. т)со5тф + Л(,Т'(9. т)8штф], v = q,T, ф.

(6.7)

Из граничных условий (6.3) и (6.4) и равенств (6.5) - (6.7) следует, что компоненты Фурье функций (q, т, ф), A-c{q, т, ф), Лф(<7, т, ф), £ ,(9. т. ф) и £%(?, т, ф) на поверхности S удовлетворяют следующим соотношениям:

.iI-fio)<?(T) = £°r(T);

Л,(т) dx

Г'{х) + 1А'\х) = Ё1Г'{х);

d (т)

+ ЫАТ\г) = ЁТ{г);

Ч^Г'(т) + 1соЛГ(т) = ГЧт).

(6.8а) (6.86) (6.9а) (6.96)

(6.11) (6.12)

-f (Ф°. яр )/ф(Л ip)]dip. (6.13)

В (6.11) -(6.13) L=L{q, X, t, ip-ф); q , т и ф° - координатные орты переменных т и ф в произвольной точке N=N{q, т, ф), а t* и - координатные орты переменных т и ф в точке М= =M{qo, t, Ip), принадлежащей поверхности S. Входящие в (6.11)- (6.13) скалярные произведения:

.0 to)= Pq(q- т)р'П<)со5(>р-ф) + д(?. x)it(t) .

Л,(<?. т)Л;(0

(q . г|) = -£ш(яр-ф);

Л<7(7. т)

рЧ(?. т)р'П0со5(гр-ф) + Г.(?.

(х , to) =

о) = е|15ш(ф-Ф);

,(9. т)

(6.14) (6.15)

(6.16)

(6.17)

(фО, t ) = -H sin(Tp-ф); (ф , p ) = cos(ip-ф). (6.18); (6.19) \(t)

В (6.14) - (6.19) использованы ранее введенные обозначения

Р',(9.х) = ; Р'.(0 = - и т. д.

дд at = ,

Подставляя (6.10) в (6.11) - (6.13) и учитывая (6.14)-(6.19), приходим к соотношениям, связывающим Л {q, т), v=q, т, <р;

v.=c, s с v = T, ф; у. = с, s. При этом составляющие

Л* дс(9,т), Л< >,с(9,т) и Л< фв(д, т) определяются выражением

(6.20)

(6.21)

V=qr, Т, ф,

f С при v=o, т, где х=

I S при v= ф;

T\q, Т. 0=-{pv(?. T)p,(0[S+x(9. т, 0 + 2h(q, т)

+S i(9. Т. /)l + 2Cv(fl, T)e,(0S, (7. т, 0}. v = (7, т; nv(<7. т. /) = 2-1Л;(0р'Л9, T)[s +,(9, т. 0--Sm-i(9. т, 01, v = , т;

T\%\q, т, /) = p(0p\(0[5 +i(9. т, 0-5, -i(9, т, OJ;

а функция Sm(, т, /) определяется выражением (5.52).

Аналогичное выражение для составляющих A gs(q, х, t), A(\s{g, т, t) и Л^ >фс(9, т, t) имеет вид

Л^-;; [q, т. О = (-1) f [уГ (О Ti? (Я, г, t)-

-/rWTvvC?. т. /)]Л; v = <7, т. ф. (6.22)

0 при v = q, X, (s при v = 9, т,

1 при V == ф, I с при V = ф.

Из (6.20) - (6.22) и условия калибровки (1.12) видно, что

входящие в (6.8а) и (6.86) функции Wt), А< Ч^с(т) и A<>s{-t), а также A \c{Я, т) выражаются только через составляющие / гс(0 И ysi;/). Соответственно входящие в (6.9а) и (6.96)

функции 4s{x), A >.s, Д< >фс(т), а также A(->g{q, х) выражаются только через /< тДО и 1 vdt). Таким образом, система из четырех уравнений (6.8а) - (6.96) распадается на две независимые подсистемы (6.8) и (6.9),

Если бы значения функций WU) были известны, то система двух уравнений (6.8а) и (6.86) после подстановки в них выражений для А<\с{г) и Д' *фв(т), получающихся из (6.20), представляла бы собой систему двух интегральных уравнений для функций j \c(t) и (О- Аналогично, если бы были известны значения функций Ф< в(0, то система уравнений (6.9а) и (6.96) пос-100

ле подстановки в них выражений для А< >.1в(т) и Д< фс(т), получающихся из (6.22), представляла бы собой систему двух интегральных уравнений для функций / xs (О и / фс().

Рассмотрим вопрос о нахождении функций Ч'с< (т) и Ч'в< (т). Умножи.м (6.3) на Яд(т)Йф(т) и продифференцируем по т. Соотношение (6.4) умножим на /ig (т)/i (т) и продифференцируем по ф. Сложим получающиеся равенства и результат разделим на произведение /гд(т)Й^(т)/1ф (т). Кроме того, используем соотношение, вытекающее из условия калибровки (1.11):

[Лд(т)Аф(т)Л,(т. ф)] +

hg{x)h(x)h(x)

+ [Лд Лх(т)Л^(т, ф)]

= - i (oefi Y (т, ф)

lim - (Л^А, x)h(q, x)Ag{q. х, ф).

Л,(т)Л.(т)Л^(т) я-чо дд После выполнения указанных действий придем к уравнению

4(т)Л\(т)Л^(т)

, I д^{х, ф)

hyixyhjx) а у (т. ф)

h\(x)

дц>

L Лх(т)

-fft2 F(T. ф) = /(т, ф).

где

f{x, 4>) = fi(x, ф) + /.л(т, ф);

и (т. Ф) =-----IФя W Лф (т) Ёо, (т, ф)] 4-

Лд(т)Л,(т)Л,(т) I дх

а Я (т. Ф)

+ hg{x)h,{x) -?-

/г (т. ф) = -

ici)

hg(x)h{X)h{X) Я~Яо

lim[ft(9, x)h{q, x)Aq{q, x, ф)].

(6.23) (6.24)

(6.25) (6.26)

Если источники первичного поля не находятся непосредственно на поверхности S, то в точках этой поверхности divE=0, и (6.25) упрощается:

fi (т. Ф) = ---т-.-lim [h, {q, т) Л, (q. т) Е\ {q, х. ф)].

Л,(т)Л,(т)Лф(т) дд

Разложим функции fi (т, ф) и /г (т, ф) в ряды Фурье

Л (X, Ф) = S f\f cos m ф -f /(.-) (т) sin m ф]. i = 1, 2. где . -

(6.27)

к

Л,(т)Л^(т)Л^(т) 9-9. дд

lim -f - [hxiq, x)h{q. т)E ( q, г)];

ft,(T)ft(T)ft(T) 9-9.

j (9. T) Лф (<7, T) Л(-) (9, T)]. (6.28)

Подставляя (6.5) в (6.23) и учитывая (6.24) и (6.27), приходим к дифференциальному уравнению для Фурье составляющих функции W{x, ф):

Й9(Т)Л,(Т)Л (т)

hg(r)h(x) d-<f (T)

Ч'Г(т)=/ГМ. = s.

(6.29)

где /rW = /{f W+lxW-

Для упрощения дальнейщих рассуждений преобразуем (6.28). С учетом (6.20) и (6.21) перепищем (6.28) следующим образом:

(6.30) (6.31)

где СГЧт, 0 = -

Гй9(т)л^(т)Лф(т) 9-9. а? X [Л, (q, X) Лф (<7. т) Ц {q. х, f)], v = т, ф.

Если известны два линейно-независимых решения &1( )(т) и &2< (т) однородного дифференциального уравнения

hq hq, dv

L

rrfi \

t;=0.

(6.32)

где /iv=/Iv(t), \=q, x, ф, получающегося из (6.29) при fv,{x) = = 0, можно построить и формальное решение (6.29). Пусть функции Л' зх(); ><--с, S, и pfiyix, t)\ v=T, ф - ограниченные при а^т^Р частные решения уравнения (6.29), когда стоящая в его правой части функция [< >х(т) заменена на и(т) и QvC. t) соответственно. Тогда

4r( )(.,) iBfy(m,(<)p( ,(T, {)1<Ц1)р^Цх, f)]dt +

W + f Г' (т) + q) t;-) (т);

(6.33)

F+ /Г' W+C[f f г (т)+qr Г' W.

(6.34)

Г

где Cix и Clx. х = с, S, - некоторые постоянные, которые должны быть определены из условий

/<->(а) = УГ(Р)=0-

(6.35)

cлoвия (6.35) являются следствием требования обращения в нуль на краях рассматриваемой поверхности нормальной к ним составляющей плотности тока /т(а, ф) =/, (Р, ф)=0 и (6.10).

Таким образом, функция хСт). >с=с, s, цредставлена в ви-,е интеграла от составляющих \=х, ф; х=с, s.

Подставляя в (6.8а) и (6.86) выражения (6.20) и (6.33), приходим к системе интегральных уравнений для функций у гс(0 и

а

2 о

t} (т) 4 (т)

Ггде а<т<Р; Mv(T./) = ГГ(т. 0-

(6.36)

Cv (т, О = (т. t)- /Г' (т, 0. V = т, ф;

11 /Г()

(6.37) (6.38)

F (T) = £r(T)-

\(т) dx

Аналогично записываются интегральные уравнения для составляющих /.(0 и /<(0- Подставляя в (6.9а) и (6.96) выражения (6.21) и (6.34), получаем