Главная  Анализ дифракции радиоволн 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

тельных алгоритмов при численном анализе электромагнитных полей. При этом, как было показано, в случае f-поляризации ядро интегрального уравнения имеет весьма простую структуру, практически не зависящую от формы поперечного сечения цилиндрической поверхности. Однако для Я-поляризации структура ядра соответствующего интегрального уравнения гораздо сложнее, что во многих случаях приводит к необходимости затрачивать большое количество машинного времени. Кроме того, интегральные уравнения для Я-поляризации содержат неизвестные константы, подлежащие определению в процессе численного решения. Естественно, что указанные обстоятельства усложняют алгоритмы численного решения и снижают их эффективность.

Узловым моментом при выводе интегральных уравнений на основе методов, изложенных в данной главе, является выражение

скалярного потенциала 47 через плотность тока, наведенного на рассматриваемой поверхности. В методах, описанных в § 3.1 и 3.2, это достигается в результате дифференцирования граничного условия (3.7) и решения получающегося при этом неоднородного

дифференциального уравнения для функции Ч'. В § 3.3 с этой же целью произведено интегрирование граничного условия (3.7).

Имеется и другая возможность для выражения W через /, а именно, непосредственное использование условия калибровки (1.11). Реализуем эту возможность [130].

Будем считать, что вектор Н° имеет лишь 2-компоненту Н°= = z°H°zy а напряженнбсть электрического поля Е выразим, как и ранее, через скалярный и векторный потенциалы соотношением (1.9). Векторный потенциал А определяется (3.6):

А = - f / (О Я<2) (k L) fh it) dt. (3.60)

Подставим (3.60) в условие калибровки (1.11), полагая, что точка наблюдения N(q, т) не лежит на контуре Г. Это дает возможность выполнить операцию дифференцирования под знаком интеграла. В результате указанных операций получим интегральное представление скалярного потенциала Wiq, т) через плотность тока j(0=t /(0:

(3.61)

Проводя в (3.61) интегрирование по частям с учетом условии /(а)=/(р)=0, получаем другое интегральное представление: где

iЯ,r)=iit)Щ'HkL)dt,

(3.62)

где штрих означает операцию дифференцирования по t. Подставляя (3.60) и (3.62) в (1.9), получаем следующие выражения для

касательной к контуру Г компоненты напряженности вторичного электрического поля Ет:

1 дУ(д.х) (а г\- V

£х(9.т) =

х/-1 Jit)H[HkL)dt---Jjit)siq,x,t)H<oikL)dt, (3.63) дх dt lq,x)

(3.64)

где

S iq, т, /) = iq, х) xt it) + у'-, iq, х) yt it), и соответственно

Р

Устремляя точку Niq, х) на контур Г в соотношении (3.63) и используя граничное условие Е t\r = -tlr, получаем

(3.65)

д Р

iif)H\kL)dt-д I

Iiit)lix,t) H\kl)dt = E%ix),

(3.66)

4Лт(т) a

где, как и ранее, символ Л означает, что данная величина вычисляется в точках контура^Г.

Аналогичный предельный переход в (3.65) приводит к равенству

4 СОЕ Лт (т) а

f (0(Я(2)(ftL))d

\ i it) s (т, t) Hik L) dt -£? (T).

(3.67)

4Лх(т) a

Соотношения (3.66) и (3.67) представляют собой интегро-диффе-ренциальные уравнения относительно плотности тока /(О- При этом в (3.66) операцию дифференцирования по т нельзя вносить под знак интеграла, а (3.67) является сингулярным интегро-дифференциальным уравнением, в котором первый интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Этот факт следует из того, что функция HoHkL) имеет логарифмическую особенность при совпадении аргументов, т. е. HokL) ln\t-т| (С~ константа), а ядро интегрального оператора представляет собой касательную производную от этой функции:

.H[ikL)C

дх т -/

В дальнейшем (см. гл. 8) будет описана методика и алгоритм численного решения (3.66), а для численного решения сингуляр-



ного уравнения (3.67) принципиально применимы известные методы численного решения сингулярных уравнений (см., например, [82]). Отметим только, что наличие в (3.67) производной от плотности тока /(Л1) предъявляет повышенные требования гладкости к аппроксимациям искомого решения при переходе от интеграль-0 ного уравнения к системам алгебраических уравнений. Кроме то-го, при выводе С3..66). и (3.67) фактически было использовано условие обращения в нуль плотности тока в концевых точках кон-тура Поэтому искомые решения этих уравнений (плотность тока) должны автоматически удовлетворять этому условию.

3.5. Решение задачи дифракции произвольного электромагнитного поля на цилиндрической поверхности

Расс.мотри.ч более общую задачу дифракции, когда сторонние источиикн электромагнитного поля произвольны, ио расположены в ограниченной части пространства и не находятся на самой поверхности. Хотя электромагнитное поле в этом случае зависит от трех координат, геометрия задачи не зависит от переменной z (цилиндрическая поверхность является бесконечно протяженной вдоль оси Z). Это обстоятельство будет использовано для перехода от пространственной трехмерной задачи к плоской.

Пусть е\\ Н {Я<>х, н\, н\} - первичное поле сторонних

источников в среде в отсутствие поверхности S, а Е. Н - вторичное поле, создаваемое тока.ми, иавеленными на поверхности 5. Поле Е, Н удовлетворяет уравнениям Максвелла (1.1), условиям излучения, условиям иа ребре и граничному условию (1.4) на поверхности S, которое в данном случае принимает вид

-т(т. 2), £z(T, г)= -£°(т, Z), (3.68а. б)

где т - касательное направление вдоль направляющей поверхности S (вдоль контура Г).

Так как поверхность S не зависит от координаты z, то к (3.68) можно применить преобразование Фурье по переменной г. Обозначим образы Фурье векторов Е, Е , А, j и скалярного потенциала соответственно через z(q, т, v), е°(9, т, V), а(9, т. v), J(<. v) и ф((7. т, v);

е(9. Т, v)= т, i)ed?; а(9, т, v) = Ja(9, т, DeSrfJ.

-оо -оо

и т. д.

Применяя преобразование Фурье к граничным усчовиям (3.68), по.1Учаем

ег(т, v)= -е°(т, V); е^т, v) = -е\(т, v).

(3.69У

где символ Л означает, что данная величина определена в точках, принадлежащих контуру Г. Из (1.9) следует

е(9, Т, v)= -gradjф((7, т, v)--i zO ((?, т, v) -iu)a(9,T, v), (3.70)

где через grad обозначена операция в плоскости z=const. С учетом (3.70) граничные условия (3.69) принимают вид

1 й ф (т, V)

---4-icoa(T. v) = eO(T, V):

- 1Уф(т, v)-J-icuflz(T, v) = ez(T, v). 76

(3.71)

(3.72)

Г

Отметим, что граничные условия (3.71) и (3.72) должны выполняться при всех значениях параметра v. Из условия калибровки (1.11) получаем

т, v) - \vaz(q, т, v)-Ь i сйЕцф(9, т, v) = 0.

(3.73)

где aj(9, т, v)=q a,( q, т, \)+-a(q, t, v), a diVj означает операцию в плоскости z=const. Векторный потенциал А выражается через плотность тока j(t, z) = =t-/.j (т, .z)-i-z/j(t, z) фор-мулой (l.!4), которая после преобразования Фурье принимает вид

а(<?, т, v) = \ г^Ыг \d\W(t)W, )

о-1*Г.

dt =

(3.741

ст 1 о

= --J-iJ(. )Hf\yL)\(t)dt,

где -

Z. = {[x(<7. Т)-х(9 , t)\-\y(q, t)-y{q., 01+ (Z-?) }/; 1-1 = {[*(</. Т)-л:(<7о. t)r+[y(q, X)-y(qo, /)П'/.

Входящая в (3.74) величина Z., Ц)едставляет собой расстояние между точками n(q, т) и m(qo, t), afp, расположенными в плоскости z=0.

Как видно, формулы, связывающие образы Фурье .потенциалов а и ф и плотности токов J, аналогичны соотношения.м между их прообразами в случае плоской задачи. Отличие состоит лишь в том, что условие, связывающее функцию ф и вектор а, теперь содержит все компоненты этого вектора. Поэтому задачи для определения образов Фурье составляющих плотности тока J(v) = = u..j, О, Ji] в общем случае не распадаются. Отметим при этом, что вектор J(t, v) зависит только от одной перемениой, а величина v является параметром. Если этот параметр фиксирован, то для образа Фурье плотности тока J можно получить одномерные (по контуру Г) интегральные уравнения различного вида, как в предыдущих параграфах для плоской задачи. Для определения электромагнитного поля в пространстве необходимо иметь зависимость J от параметра v и выполнить обратное преобразование Фурье. Это означает, что в общем случае необходимо определить J(t, v) для определенного набора значений параметра V и иметь алгоритм численного обращения преобразования Фурье. Вместе с тем для некоторых конкретных источников возбуждения нет необходи-10СТИ применять обратное преобразование Фурье, так как решение дифрак-ионнон задачи получается при одном фиксированном значении параметра v. аковы, например, плоские задачи, которым формально соответствует значение v = 0.

Таким образом, применением преобразования Фурье рассматрнвае.мая дифракционная задача редуцирована к плоской задаче, решение которой зависит от параметра v. Необходимо определить двумерный вектор J(t, v) для некоторого множества значений параметра v. Это вполне соответствует численной методике решения плоской задачи, которая практически не зависит от выбранного значения параметра v. Для получения вектора J можно воспользоваться .!К>бым описанным выше методом сведения исходной дифракционной задачи к одномерным интегральным уравнениям по контуру Г.

В качестве примера рассмотрим метод одномерных интегро-дифференциаль-ных уравнений, изложенный применительно к плоской задаче в предыдущем параграфе. В основе получения интегро-дифференциальных уравнений лежит возможность интегрального представления скалярного потенциала (функции <Р(9- х, v)) через плотность тока /{.j. О, /J. Из (3.74) с учетом (3.73) можно получить

1 Р

Ф(9. т, v)= -

7(0- Г (Vii)-



iv ?

4{ue o,

Подставляя (3.75) в (3.71), приходим к уравнению

(3.75)

Ifm-1 i

ч-Чо дх {

-J- Я^2> (yLi) - i V л (о \(0 (Y ii)) dt -

- ft

(О s (т, О (Y £i) dt=-4 to е (т) \ (т).

(3.76)

где функция s(t, t)=s{qo, х, t) определена формулой (3.64). Аналогично из (3.72) и (3.75) получаем

р п

ivlim/ (О--<> (yL)dt +

Р

+ y*\jz(О (yIi) л, (О dt = 4>e:>z (т).

(3.77)

Таким образом, задача дифракции произвольного электромагнитного поля сведена к решению системы двух одномерных (по контуру Г) интегро-диффе-ренцяальных уравнений (3.76) и (3.77) относительно образов Фурье, составляющих плотности тока, наведенного на поверхности S.

Глава 4

Интегральные уравнения задач дифракции электромагнитных волн на цилиндрических поверхностях конечной длины

4.1. Постановка задачи для электродинамических потенциалов

Пусть идеально проводящая незамкнутая поверхность S представляет собой цилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна оси Z, а направляющая - незамкнутый контур Г, лежащий в плоскости z=0. Задача состоит в определении векторов Е и Н вторичного электромагнитного поля, удовлетворяющих уравнениям Максвелла (1.1), граничному условию (1.4), условию на бесконечности (1.5) и условию на ребре (1.6).

Введем наряду с декартовой системой координат XYZ ортогональную криволинейную систему координат q, х, z такую, что поверхность S совпадает с частью координатной поверхности q= =9о(а^т^Р, Ozb). Коэффициенты Ламе обозначим hg = = hgiq, т), h. = h.{q, т), /z=l. При этом граничное условие (1.4) на поверхности S будет эквивалентно двум соотношениям (3.68).

Представим, как и ранее, вектор Е вторичного электромагнитного поля с помощью BeKTopnoroiA и скалярного потенциалов (1.9).

Векторный потенциал А(>1., Ад, А,) связан с плотностью токов JOt. iz) соотношением (1.14), которое в данном случае принимает вид

-IkL Р Ь

=ni-~7~(=fn4J()i(7..-,E)di. (4.1)

где

L = {[x(т, q)-x{q, t)f+[y(т, q)-y (%, t)f + [z-Щ'

Из (4.1) можно выписать проекции вектора на координатные орты

х , q , z :

А, = I dt I /Ч {t, I) g, iq, т, г, /, I) (f т ) d g, (4.2)

5 = f rf i h (t, Щ g, (q, T, z, t, I) (q t ) d I,

A- ; Idt I iAt,l)gi(q,r,z,t,l)dt

(4.3) (4.4)

Таким образом, решение исходной задачи дифракции свелось к определению компонент вектора плотности тока j, наведенного на поверхности S падающим полем. Отметим, что выполнение условий на бесконечности (1.5) гарантируется представлением (4.1), а условия на ребре (1.6) непосредственно могут быть сформулированы для компонент у. и jz вектора плотности тока.

Перейдем к рассмотрению граничных условий для потенциалов. Прежде всего из (1.9) следует, что компоненты вектора напряженности Е вторичного электрического поля выражаются с помощью потенциалов следующим образом:

-т---1С0Лх; Ег --1<йЛ, .

x дх дг

(4.5); (4.6)

С учетом (4.5) и (4.6) граничные условия (3.68) можно записать с помощью векторного и скалярного потенциалов

1 , . я £.0 д^

, л to Of , . , £,0

(4.7); (4.8)

С использованием условия калибровки (4.7) и (4.8) могут быть выражены только с помощью векторного потенциала А:

ia>(-l-L(divA)+>!J=£°; I ft о т j

1 (О

I д

(div А) + А, ]

(4.9)

(4.10) 79



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [ 13 ] 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

© ООО "Карат-Авто", 2001 – 2018
Разработчик – Евгений Андрианов