Ядро (3.17) получающегося уравнения относится к тому же типу, что и ядро интегрального уравнения (3.4), соответствующего Е-по-ляризованному полю.

Задача дифракции для незамкнутой круговой цилиндрической поверхности. В качестве примера применения общей методики рассмотрим частный случай, когда поверхность S представляет собой часть поверхности кругового цилиндра радиуса а, а контур Г соответственно- часть окружности (рис. 3.2).

Введем цилиндрическую систему координат г, ф, z, ось Z которой совпадает с осью цилиндрической поверхности.

Сначала преобразуем уравнение (3.4), соответствующее случаю f-поляризованных полей. Положим т=ф; =if; а=-фо , Р=Фо; =асо8г{); Ti = asini). При этом имеют место соотношения

и (3.4) принимает

УГ(0+л (0= ; о(т, 0=2а вид

Т /№Я<2>(2т|5Ш^=) = Б^(а,ф).-фо<Ф<Фо. (3.18i где

y = ka.

Преобразуем теперь уравнение (3.16), соответствующее случаю Я-поляризованных полей. Положим q=r; Цо=а\ а=-фо. Р=Фо; т=ф; =4f(-фоФ'Фо; -фо1фо)- Тогда имеют место соотношения hg=hr=\; h = h=r\ /t.,=/t<p =q; gi{q, x, t) = gi(r, Ф. !))= аЯо^Ч* I r2-fa2-2агсо8(ф-If)); ,= (0. x, t) giia, ф. Ч^)=аЯо<2>(2т|5Ш^); (т , 1°) = (ф . Uo) =со8(ф-г1з);

(q°, t) = (r°, °)=81п(ф-if), где г°, ф° и if - координатные орты соответствующих переменных. При этом (3.12) принимает вид

щ.1 а'

где

]° /(1)г(ф.1)1.-Фо<Ф<Фо.

(3.19)

gi (Ф. = ti Ф- (Ф-1)J 1г=а = sin (ф-If) X

Я() (2 YIsin I)- тЯ>(2vI sm )

Решая (3.19), находим функции

3 (т, О (ф, ) = - ] §2(1, f) sin [V (ф-1)] dl;

-<Ро

/з(т) = /з(ф) =

dE<f (Dsinlyi-mdl: у -<i>o dl Vi (Ф) = sin (7Ф) ; fa (t) = 2 (Ф) = cos (тф).

IFSaTCM no (3.15) определяем функции £(т)=£(ф) и gix, t) = [ = 4(ф, If), входящие в (3.16). Опуская очевидные преобразования, выпишем (3.16) для рассматриваемого частного случая: ]* /()(ф.1)1=/=(ф)+С18Ш(тф) + С2С08(тф),-фо<Ф<Фо, г -де

(3.20)

-Я<2)2т

ф -If

cos(ф-if)+ j со8[т(ф-g)]g2(S.l)d?,

(ф)=£:(ф)-

? dE\{a,l)

cosly(-l)]dl.

(3.21) (3.22)

a Ci и C2 - постоянные, которые должны быть определены из ус-

!ловий /(-Фо) = /(Фо) = 0. (3.23)

Как видно, первое слагаемое в правой части (3.21) имеет логарифмическую особенность при совпадении аргументов, а второе - ограниченная функция при всех значениях переменных т и /. Отметим, что (3.22) может быть преобразовано следующим об-

tразом: Р(ф) = £0(а,-фо)со8[у(ф + Фо)1+7 [ ф(Е)51п1т(ф-1)1. (3.24)

=- -Фо

5При этом (3.20) принимает вид

/()/C(Ф.гf)dгf = 4 / L ] El{l)sinly{:-l)\dl + N,sm{yif) + Рф. г f* - р

- N2 cos (уф), -Фо < ф<Фо. (3.25)

Где Ni и N2 - некоторые новые постоянные, которые должны быть апределены в процессе решения интегрального уравнения (3.25) 3 условий (3.23).

Постоянные iVi и Л^г связаны с Ci и Сг соотношениями

/,=-Y- ICi-El (-Фо) sin (уФо)1 ; N, = С, + £(-Фо)со8(7Фо)].

Уравнения (3.18) и (3.25) были получены в [79] и рассматривались в [41], [77] и [46]. В [41] описан алгоритм численного решения (3.25). В [77] построено асимптотическое решение (3.18) и (3.25) при ftG<l для случая возбуждения поверхности плоской I волной. В [46] на основе численного решения указанных уравне-

НИИ проведен анализ диаграмм рассеяния незамкнутой круговой цилиндрической поверхности при возбуждении ее Е- и Я-поляри-зованными плоскими волнами (см. § 9.4).

3.2. Метод частичного обращения дифференциального оператора

Как видно из результатов предыдущего параграфа, плоская задача дифракции -поляризованных волн на идеально проводящей незамкнутой цилиндрической поверхности, поперечное сечение которой представляет собой кусочно-гладкий контур Г, может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода (3.4) при любой форме контура Г. Однако аналогичная задача дифракции Я-поляризованных волн сводится к интегральному уравнению Фредгольма первого рода (3.16) лищь при выполне-

№орость сходимости ряда последовательных приближений зависит [от формы экрана, частоты электромагнитных колебаний и выбора близкого уравнения. Таким образом, на этом пути также труд-1но разработать единый алгоритм для достаточно широкого класса (дифракционных задач.

Опишем предложенный в [45] метод преобразования системы [уравнений (3.12) и (3.26) к системе интегральных уравнений относительно плотности токов /, наведенных на поверхности S, я

скалярного потенциала W, допускающих эффективное численное рещение. Метод достаточно универсален и практически не зависит от формы контура Г. Изложим его идею для случая, когда выполняется следующее условие:

hg{q,r)vh,{q,x), (3,27)

где V - постоянная.

Это условие упрощает выкладки и вместе с тем охватывает весьма широкий класс контуров Г. Например, к этому классу кон-

нии некоторого условия, ограничивающего форму контура Г. В общем случае задача сводится к дифференциальному уравнению

,о ,о\ Лг I туров относятся кривые второго порядка. Отметим, что условие

(3.12) относительно скалярного потенциала .наряду с которым 1. (ggy) е является принципиальным ограничением для применения должно выполняться вытекающее из (3.7) и (3.8) соотношение

Р

I /(ОЯ<2) [ftLo(т. t)\ КЩ (т . t )d/ =

= £?(-с)-

d4(t)

/1т(т)

(3.26)

описываемого метода.

Выберем некоторое значение то(а^тоР) щие обозначения:

и введем следую-

где Lo(t. t-)L{до, т, t)= lXo{qo, х) - x{qo, t)y+[yo{go, х)- ~У(Яо, ОJ -расстояние между точками Afo(jCo, Уо)=Л^о(9о, т) и \1\х, y}=Ai{qo, t), принадлежащими контуру Г.

Для сведения плоской задачи дифракции Я-поляризованных электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой цилиндрической поверхности 5 к интегральному уравнению (3.16) необходимо знать фундаментальную систему решений (3.12). Однако построение фундаментальной системы в явном виде может быть проведено лишь в ограниченном числе случаев, что затрудняет создание универсального алгоритма численного решения данного класса дифракционных задач. Кроме того, при численной реализации необходимо иметь дело с весьма сложными специальными функциями (например, с функциями параболического цилиндра для параболы, функциями Матье для эллиптического цилиндра). С вычислительной точки зрения более предпочтительным является создание алгоритма для построения функций фундаментальной системы. Принципиально такой алгоритм может быть построен, например, на основе метода Фубини [80]. При этом (3.12) заменяется близким с известной фундаментальной системой, а нахождение фундаментальной системы уравнения (3.12) сводится к интегральным уравнениям типа Вольтерра второго рода, решение которых может быть построено методом последовательных приближений. Основной недостаток этого метода состоит в том, что

x = khx(То); б(т) = (Л? (т) -Л? (То)]/Л^(то),

где йт.(то)=/=0.

щ С учетом введенных обозначений (3.12) может быть переписать

но следующим образом:

- Ч'(т) =-~lhq (т)£? (т)] +

+ i{t)gA-,t)dt-x-Hx)W{x),

(3.28)

где функция g2{x, t) определяется формулой (3.13).

Запишем решение (3.28), считая правую часть известной (построим оператор, обратный оператору (Pldx+v.).

(т) = f 1 (т) -Ь Ci sin (XT) -Ь Q cos (XT)+\} (О dt x к 4xv J

X \ g, (g, t) sin [X {x-l)\ di-x J 6 (E) ¥ (i) sin [X {x-l)] dg, (3.29)

Рг{-) =4 i ~МЕЦ{1)\Ыг-Ш1-

(ЗЛ))

Выражение (3.30) можно представить в несколько иной форме. Выполняя интегрирование по частям, имеем

72 65

F,\r) j A,(l)£?(l)cos[x(T-)]d-iiW E?(a)sin [х(т=а)].

Дифференцируя (3.29) no T, получаем - v* -

P T

= b(Odi g2(l.0cOS[x(T-)]di +

ЯТ 4 Va a

X *©COS[x(T-E)]d + xCiCOs(XT)-xQsin(KT). (3.31)

Подставляя (3.31) в (3.26), приходим к уравнению

Лв(т)

X i / (О 1 2 (I. О COS [К (т-1)] d 1-:-f 6 (I) (i) cos [X (т-

-l)]dl = F,(x)-xC, + xC,

hx (т) (т)

f,(T)£?(T)

i;;[A,(l)£?()]cos[x(T-g)]dg.

(3.32) (3.33)

Выражение (3.33), можно преобразовать аналогично (3 30) Интегрируя по частям, получаем

F, (т) = 0

+ 7 /Л, (?) (i) sin [X (т-1)] d i.

Лт (Т) а

Совокупность соотношений (3.29) и (3.32) представляет собой систему двух интегральных уравнений относительно скалярного потенциала W(x) и плотности тока /(т) на контуре Г. Систему (3.29) и (3.32) удобно переписать в операторном виде, вводя обозначения для интегральных операторов типа Вольтерра (V) и Фредгольма (К):

Y+VY-Ki / = Fi (т) + Ci sin (XT) -4- cos (XT); (3.34)

(K, + Kj + V,4=FAr)~xC, + xC, ,335л

Лт(т) Лх(т)

где ядра интегральных операторов определены следующим образом: 1 I) = е (I) sin [X (T-g)], V, (т. g)= б (i) cos [X (т-g)]:

(t. i g2 (i. 0 sin [X (T-l)] ,

\ ®

.(-f. f) = ffo [kL.ir, OJ A%(r)(T , f),

. (T. 0 = - \ g20 cos [X (T-1)] dI. Лт (T)i

в общем случае (б(т)=/=0) (3.34) и (3.35) представляют собой систему интегральных уравнений типа Фредгольма первого рода, так как тип системы определяется уравнением (3.35), а оператор Вольтерра является частным случаем оператора Фредгольма. Все ядра этой системы регулярны, за исключением ядра 7(2 (т, t), которое имеет логарифмическую особенность при совпадении аргументов. Поэтому для численного решения системы (3.34) и (3.35) можно применить метод саморегуляризации [36]. При этом постоянные Ci и С2 определяются, как обычно, из условия обращения в нуль плотности тока /(т) на концах контура Г. Если же построена фундаментальная система решений (3.12) то б(т)=0, и система уравнений (3.34) и (3.35) распадается на два независимых соотношения: (3.35) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма первого рода относительно плотности

тока /(т), а (3.34) выражает скалярный потенциал Ч'(т) через функцию /(т). Отметим, что для полного решения рассматриваемой дифракционной задачи достаточно найти лишь плотность тока /(т), при помощи которой могут быть найдены векторы поля Е и Н. Поэтому, используя условие калибровки (1.11), в принципе

можно исключить скалярный потенциал W и получить уравнение только для плотности тока /(т). Однако такое уравнение в общем случае уже будет интегро-дифференциальным. Полученная же система (3.34) и (3.35) является чисто интегральной и эффективно алгоритмизуемой на основе метода саморегуляризации (см. § 8.2 и 8.3).

В качестве примера применения изложенной методики выведем систему уравнений (3.34) и (3.35) для частного случая, когда контур Г - отрезок параболы с раскрывом d=2a и фокальным параметром ро (рис. 3.3).

Введем параболические координаты ы, v, z (рис. 3.4) соотношениями

х = Ф-v,y = 2uv.

(3.36)

На контуре Г переменная v=vo, а I o. Параметры Vq и Ыр легко выражаются через а и ро: vo= V Ро/2; 11о=а^1(2р^У 2ро). Коэффициенты Ламе определяются соотношением hq(u, v)=h.{u, v)=2Yu+v=h(u, V).

Пусть q - координатный орт переменной v в точке N=N{u, и), а т° и t - координатные орты переменной и в точках Мо-=

3* Й7