Вводя обозначения

i ШЕЦ р Ев

2*2(i cosvcosa)J

Р cos cos g -f- cos sin a

1 - cos у cos\a

1 - cos у cos a

получаем A {x) =--iii Ce- -e-* cos

4 Ш

Отметим, что при cosYCOsa=l параметр p = 0 и остается конечной величиной.

С учетом полученных соотношений интегральное уравнение задачи (2.104) принимает вид

J/ (1) Я^=> (fti-li) d I = С е- - - + е- > cos V. 0. (2.107)

Решение (2.107) может быть найдено методом Винера-Хопфа \Ь1\. Применяя (2.87), получаем

- 1 яд

С VM)h (х-Л) е- - \~lldt

+ i;fe(l-cosY)e-cosvf e-MI-cosv),

(Г У Г J

Из условия /(0)=0 находим неизвестную постоянную

4?£о /cosg(l -fcosy)

шц Г 1 -f- cos а

Подставляя (2.109) в (2.108), получаем окончательно

-1 +

(2.108)

(2.109)

I cos a -Z-

g-i ft (I-cos T) t

(2.110)

Зная плотность токов \{x)=\\{x), наведенных на анизотропной полуплоскости, можно по (2.99) вычислить векторный потенциал и, используя (1.12), найти вторичное электромагнитное поле

В случае а = 0, что соответствует to=xO, при падении на рассматриваемую полуплоскость Я-поляризованной плоской волны (г|:1=я/2-у; 152=у; 15з=я/2) (2.110) упрощается и принимает вид

-ш Г~в' 9 о' я/4 . . I 2fa!: sin (v/2)

/(x) = 2£ ]/-L?e-*-v J -.s.. 0. (2.111) 56

Как и следовало ожидать, (2.111) полностью совпадает с выражением для плотности тока, наведенного Я-поляризованной плоской волной на обычной (изотропной) идеально проводящей полуплоскости.

Переход ко второму частному случаю а=я/2 непосредственно из формулы (2.110) невозможен, так как при ее выводе предполагалось, что /(0)=0, а это условие при а=я/2 лишено физического смысла. Для анализа случая а=л/2 на основе изложенной методики нужно рассмотреть (2.100) при а=л/2 и записать его решение для данного частного случая. При этом получаются очевидные результаты, не нуждающиеся в специальном исследовании.

Изложенный метод обладает достаточной общностью и может быть использован для анализа дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких плоских анизотропно проводящих экранах различной конфигурации. Приведенное в качестве примера решение частной задачи дифракции плоской волны на анизотропно проводящей полуплоскости показывает эффективность и простоту данного метода.

Глава 3

Интегральные уравнения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых цилиндрических поверхностях

3.1. Метод дифференцирования граничных условий

Общие сведения. Анализ многих практически важных вопросов, например расчет диаграмм направленности в поперечной плоскости антенн с цилиндрическими рефлекторами (уголковым, параболическим и другими), может быть сведен к решению двумерной задачи дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей незамкнутой цилиндрической поверхности. В предыдущей главе был описан предложенный Гринбергом метод вывода интегральных уравнений в случае задач дифракции электромагнитных волн на плоских поверхностях. Рассмотрим вопрос о выводе аналогичных уравнений для неплоских цилиндрических поверхностей.

Пусть S - идеально проводящая незамкнутая цилиндрическая поверхность, неограниченно протяженная вдоль образующих. Введем декартову систему координат х, у, z так, чтобы ось Z была параллельна образующим поверхности S. Контур Г (направляющую поверхности S), образованный пересечением поверхности 5 с плоскостью z=0 (рис. 3.1) будем считать кусочно-гладким и зададим в параметрической форме

х^Ш: y-Mt); а<<<р.

(3.1)

Предположим, что первичное поле не зависит от переменной Z. В этом случае векторный потенциал А выражается через плотность токов наведенных на поверхности S, формулой (1.25), которая с учетом (3.1) может быть записана в виде

А (X, у) = - J j (/) (ft Ц VI* (t) + т,* it) dt.

(3.2)

где L=y [х-l{t)y+ [{/-т](0] - расстояние от точки интегрирования МеГ до точки наблюдения М{х, у, 0) (см. рис. 3.1), а (0 и ц'{1)-первые производные соответствующих функций.

Как показано в § 1.3, решение общей двумерной задачи такого типа сводится к решению двух независимых более частных задач для Е- и Я-поляризованных первичных полей соответственно.

-поляризованные поля. Сначала рассмотрим £-поляризован-ные поля. В этом случае на поверхности S наводятся продольные электрические токи с плотностью

j = z /(0; a<f<p. (3.3)

Так как в рассматриваемом случае divA=0, то из (1.4) и (1.12), (3.1) - (3.3) непосредственно следует интегральное уравнение

] j (t) Я<2) [k Lo (г, 01 Vl (О +r\ it) dt = (т). a < т < p,

(3.4)

где Uix, t)=L\r = V[U-)-W)V + [i]{r)-Mt)y, a £<z(t)-продольная составляющая напряженности первичного электрического поля в точке МоГ (см. рис. 3.1).

Таким образом, двумерная задача дифракции f-поляризованного поля на идеально проводящей незамкнутой цилиндрической поверхности 5 сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода (3.4) при произвольной форме цилиндрической поверхности 5.

Г. А. Гринбергом [76] предложена методика асимптотического решения (3.4) при Ла<с1. где а - характеристический размер контура Г. Методика реализована в случаях, когда контур Г - часть параболы [76], часть окружности [77], прямолинейный отрезок [66] или два параллельных прямолинейных отрезка [78].

Я-поляризованные поля. Пусть поверхность S совпадает с частью координатной поверхности q=qo ортогональной системы координат д, т, Z. На контуре Г переменная q имеет постоянное значение q = qo, а т изменяется в пределах а^т^р. Коэффициенты Ламе обозначим через hg, и /г.. Коэффициенты hg и /г^ могут

Рис. 3.1.

быть функциями переменных qui {hg==hg{q, т); h.=hAq, т)), а hz=\. Значения переменных q и х ъ точке ЛГеГ будем считать равными q=qM=qo и т=тм= где а':<р.

Под воздействием Н-поляризованного поля на поверхности S наводятся электрические токи, перпендикулярные образующим поверхности S (оси Z), с плотностью

1- = /(0; а<<Р. (3.5)

где to -орт касательной к контуру Г в точке М (см. рис. 3.1).

Напряженность вторичного электрического поля в этом случае выражается через векторный и скалярный потенциал А и соотношением (1.9), причем выполняется условие калибровки (1.11). Векторный потенциал А выражается через плотность тока j{t) ♦ соотношением (3.2), которое можно представить в виде

=-]nt)g,{q,r,t)dt. (3.6)

I

где gi{q. т, t) =HokL{q, т, 0]Лт ( /о. t);

( 7. -t. О = V {x{q. x)-x(qo, 0] + [у(<?, c)-y{qo, t)y, причем L(qo, т, /)=Lo(t, О-

Так как при этом (в отличие от случая -поляризации) divAO, то непосредственное применение граничного условия (1.4) с учетом (1.12), (3.2) и (3.5) приводит не к интегральному, а к интегро-дифференциальному уравнению для функции Ц1). X Однако, если выполняется некоторое дополнительное условие, ft которое будет установлено ниже, рассматриваемая задача также может быть сведена к чисто интегральному уравнению. Такое уравнение для частного случая, когда контур Г представляет со-бой часть окружности, было получено в [79]. В [42] метод, пред- ложенный в [79], был обобщен на случай произвольного конту^ ра Г.

С учетом (1.9) граничное условие (1.4) может быть переписав но в виде

Л(т)=---Ё°{х)-\

шЛт.(т) dx

(3.7)

В соответствии с ранее введенным обозначением символ Л озна-чает, что данная функция вычислена в точке МоТ, например (т)=т(о, х): lii{x)=hAqo, т), и т. д., причем Сб:т<.р. С другой стороны, выражение для А х можно также найти из (3.6):

Й- (т) = -i ] /Щg, {q т, t) (х , V>)dt,

(3.8)

где т -орт касательной к контуру Г в'точке Mo=Mo(qo, х) (см. рис. 3.1). Скалярное произведение (т , t ) является функцией не* ременных т и

Если бы значения функции Ф(т) были известны, то (3.8) с учетом (3.7) можно было бы рассматривать как интегральное

уравнение для функции /(/). Функцию Ч'(т) можно определить независимо от jit) только для плоских поверхностей (см. § 2.1).

В общем случае этого сделать нельзя. Однако W(t), а следовательно, и входящую в (3.7) функцию dW/dt можно представить в виде интеграла от плотности тока j{t). Для этого умножим обе части (3.7), представляющего собой граничное условие для касательной составляющей напряженности электрического поля, на fig {г), продифференцируем по т и разделим на произведение Л'(,(т)Йх (т)- В результате получим

L A.(Uf(ftH.) =

(Л,£°),а<т<р

(3.9)

где

Используя условие калибровки (1.11) и выражение для divA в ортогональной криволинейной системе координат, преобразуем второй член левой части (3.9) к виду

hq hi

где

(Л,Л\)=А^У-

1 (О

hq hx

(h,Ag)

(3.10)

(3.11)

Ад Л, (q, т) = -i i / it) g, {q, T, t) (qo, t ) dt

- проекция векторного потенциала A на координатный орт q , соответствующий переменной q (см. рис. 3.1), в точке N=N{q, т), а (q , t ) - скалярное произведение векторов q и t . Векторы qo, т° и Z, определенные в одной точке, образуют правовинтовую систему: z°=[q°, т°].

Подставляя (3.10) ъ (3.9), приходим к уравнению

hqjl) dj

-bft=y = /(T),a<T<p,

(3.12)

hq{x)hx(.X) Ihxix)

где

/(T)=/i(T)+/2W; Ш-

hq (T) /It (T)

[ft;(T)f?(T)]:

Л,(т)Лх(т)- >

Iim-lftx(g.-c)gi(7.-t.0(q .t)].

(3.13)

Если известны два линейно-независимых решения Ui(t) н Tviix) однородного дифференциального уравнения, получающегося из (3.12) при f(x)=0, можно построить (например, методом вариации произвольных постоянных) и формальное решение (3.12). -Пусть fsir) н з(т, О - ограниченные при а^т^р частные ре-Гшения (3.12), когда стоящая в правой части функция /(т) заме-[нена на /i(t) и ё^2(т, t) соответственно. Тогда решение (3.12) принимает вид

(г) =]i(t)g3(т, t)dt + /з(т) + С,V,(т)-ЬС,i;,(т).а< т<р. (3.14)

а

де С] и с2 - некоторые постоянные, которые должны быть найдены после определения функции j(t) из условий /(а)=/(р)=0.

Таким образом, функция 4{г) выражена через интеграл от клотности тока j{t), наведенного на поверхности S. Подставим f3.14) в (3.7) и приравняем правые части (3.7) и (3.8). Вводя обозначения

Jl F{r) = EUr)-

ftx (Т)

1 dgs (T)

(3.15)

VA-)=T

,v= 1,2, получаем

j / (t)K(x, t)dtF{x) + C, V, (T) + СИ,(т), a <T<p,

{T,t)gAqo,-,i){-,n-gA-,t)-

(3.16)

(3 17)

В.ходящая в правую часть (3.16) функция F(x) зависит от первичного поля и формы контура Г. Функции Vi{x), V2{x) и ядро К{х, t) интегрального уравнения (3.16) зависят только от формы контура Г. Ядро К(х, t) состоит из двух ча-стей: ,(0, т, О (t . t ) и 4(т, О- Функция (f-,f) i{qo, т, i){r°, t ) пропорциональна o[kL{qo, X, t)] и, следовательно, имеет логарифмическую особенность при совпадении аргументов tux. Ho(P,f>)\

Таким образом, если форма поверхности S такова, что для однородного уравнения, получающегося из (3.12) при (т)=0, известны два линейно-независимых решения, то двумерная задача дифракции Я-поляризованной электромагнитной волны на идеально проводящей незамкнутой цилиндрической поверхности S сводится к интегральному уравнению Фредгольма первого рода.

Рис. 3.2.