где /- активная длина проводников обмотки; г - радиус внутрен-

него цилиндра статора; Ф„г = 5/В (а) г da - магнитный поток ротора.

б

Наводимая э. д. с. в катушке, число витков в которой w,

ei = - w т^- !мФ cos El sin (со/ - a).

(4.4)

В фазе обмотки статора'разовьется гармоническая э. д. с. с частотой со, фазовым сдвигом иамплитудой, равной сумме амплитуд э. д. с.

в каждой из составляющих ее катушек, т. е.

Рис. 4.3

е1 = шсоФ(2 coseiSin(co/ -aJ, (4.5) \> = i /

где - число катушек, входящих в одну группу, образующую обмотку фазы.

Если представить сумму в (4.5), как произведение числа катушек в фазе на некоторый коэффициент ко, называемый коэффициентом обмотки, то-

iVo=2] C0S8,. (4.6)

1 = 1-

Для обмотки, изображенной на рис. 4.2, где = 3, угол = 20°, коэффициент .

Ao = (l+2cos20°)/3 = 0,96. (4.7)

Теперь (4.5) может иметь вид

= Em sin (со/ - ai).

(4.8)

Для действующего значения этой гармонической э. д. с. в соответствии с последним выражением найдем

Е - EjY2 = {2n/V2) wNfk,(bm =. AwNkkJO,

(4.9)

где = 1, И - коэффициент формы для гармонического напряжения.

Сравнив полученное выражение с (1.11), отметим совпадение результатов, так как оба выражения определяют э. д. с, наводимую в катушке изменяющимся во времени по гармоническому закону магнитным потоком.

В трансформаторе изменение магнитного потока вызывается переменным напряжением сети, а в обмотках статора машины - вращением ротора. Важно отметить, что фаза э. д. с, получаемой в группе катушек, определяется углом ai, т. е. расположением их обмоток на статоре.

52 -

В рассматриваемом генераторе группы катушек расположены под углом 120° по отношению друг к другу и поэтому в них создадутся 3. д.с, отличающиеся по фазе на 120° (рис. 4.4):

вА == Е,п sin со/;

efl = £ ,sin(co/-120°); (4.10)

ec = £msin (со/-240°). .

Зги э. д- с. и создают токи в нагрузке генератора.

Перейдем теперь к двигателям переменного тока. Если пропустить по обмоткам статора машины трехфазные токи:

i = /mSinco/;

/5 = /m sin (со/-120°); (4.11)

/с = /m sin (со/-240°), ,

то получим на основе принципа обратимости в воздушном зазоре машины такой же магнитный поток, как и создаваемый вращающимся

Рис. 4.4

Рис. 4.5

ротором в генераторе, т. е. магнитный поток, постоянный по амплитуде и вращающийся со скоростью со. Чтобы убедиться в этом, подсчитаем проекции суммарного магнитного потока, создаваемого обмотками всех трех фаз статора, на вертикальную и горизонтальную оси. Магнитный поток каждой из фаз будет пульсировать во времени с частотой со, причем эти пульсации в отсутствие насыщения стали машины будут происходить по гармоническому закону, определяемому током соответствующей фазы.

Таким образом, для трех магнитных потоков, пульсирующих вдоль осей смещенных по отношению друг к другу в пространстве на 120° (рис. 4.5), получим:

ф^ = -O, sin0/; фд ф, 5{п(со/- 1:20°); Фс = -Ф„51п(со/-240°). j

Для проекции вектора суммарного поля на вертикальную ось Получим

(4.12)

= + - (Фв + Фс) sin 30° = - 1,5 Ф^ sin со/.

(4.13) 53

Проекция вектора суммарного поля на горизонтальную ось будет ф^ = -0yjCOs3O° + cDcCOs3O° = - 1,5Ф, сО8 0/. (4.14)

Эти две составляющие определяют вектор с амплитудой 1,5Ф^ вращающийся с угловой скоростью со против часовой стрелки. При со/ = О вектор суммарного поля направлен влево по оси х.

Поместив в пространство между полюсами статора закрепленный на вращающейся оси электромагнит, получим синхронный двигатель. Электромагнит, ориентируясь по полю создаваемым статором, будет вращаться с угловой скоростью со, с его вала можно будет снимать некоторую механическую энергию. При частоте тока питающей сети 50 Гц ротор трехфазного синхронного двигателя вращается со скоростью 3000 об/мин.

Если источник, возбуждающий ток в обмотке электромагнита (ротора), отключить и замкнуть ее накоротко, то получим асинхронный двигатель! Появление вращающего 1ф^ момента в асинхронном двигателе можно объяснить следующим: воздействующий на обмотку ротора суммарный вращающийся магнитный поток всех трех полюсов (первичный) возбуждает в ее витках гармоническую э. д. с, действующее значение-которой в соответствии с (4.9)

£2 = 4к^р^21,5Ф,п. (4.15)

Рис. 4.6 Частота наводимой в роторе э. д. с.

зависит от скорости вращения ротора. При неподвижном роторе круговая частота coj равна частоте вращения магнитного поля со. Если же ротор вращается со скоростью сОр, то

2я/2 = со

(4.16)

где знак минус соответствует вращению ротора вслед за вектором первичного магнитного поля, а знак плюс - вращению в противоположном направлении.

Переменныйток г'з. вызываемый э. д. с. в обмотке ротора, будет создавать вторичный магнитный поток; пульсирующий во времени и направленный по нормали к плоскости витков обмотки ротора-Частота пульсаций этого магнитного потока, связанного геометрически с ротором, равна f. Пульсирующий магнитный поток можно представить как сумму двух вращающихся в разные стороны магнитных потоков Ф1 и Фз (рис. 4.6). Вектор магнитного потока Ф1 вращается относительно витков обмотки ротора с угловой скоростью СО2 = со-СОр против часовой стрелки, а вектор Фа с той же угловой скоростью, но по часовой стрелке.

Магнитный поток, определяемый векторами Фх, взаимодействует с неподвижным относительно него первичным магнитным потоком-, име; ющим амплитуду 1,5 Ф^, точно так же, как и постоянный магнитны поток ротора рассмотренного ранее синхронного двигателя. В резуль

ате их взаимодействия создается момент, заставляющий ротор вращаться вслед за первичным магнитным полем. Магнитный поток, определяемый вектором Фа, вращается относительно первичного магнитного потока, создаваемого обмотками статора с частотой 2со2, и поэтому не создает постоянного вращающего момента.

Следует отметить, что при синхронной частоте вращения ротора = СО частота и, следовательно, амплитуда э. д. с. наводимой в обмотке ротора становятся равными нулю. Ток в обмотке ротора и развиваемый им вращающий момент также оказываются равными нулю.

Поэтому частота вращения ротора в асинхронном двигателе всегда меньше частоты вращения магнитного поля, создаваемого обмотками статора. Оценивают отставание ротора от магнитного поля с помощью коэффициента s, называемого скольжением, причем

s=(0-cop)/co. (4.17)

Синхронные машины используют в основном как генераторы переменного тока. В качестве двигателей чаще всего применяют асинхронные машины.

§ 4.2. Основные характеристики трехфазной асинхронной машины

Опуская влияние вторичного магнитного потока Ф2, рассмотрим взаимодействие первичного магнитного потока и потока, определяемого вектором Ф1 (рис. 4.7, а), которые создаются намагничивающими силами всех обмоток статора и ротора и образуют основной магнитный поток асинхронной машины Фо. Этот поток вращается по отношению к статору с угловой частотой, определяемой частотой тока сети и числом полюсов в обмотке статора. В случае трехфазной машины при одном полюсе, приходящемся на каждую фазу, частота вращения основного магнитного потока 0 равна угловой частоте тока сети со. При числе полюсов на одну фазу р она в р раз меньше. Относительно ротора, имеющего частоту вращения Юр, основной магнитный поток вращается с меньшей частотой щ, причем

co2 = coiqi0p = 0iip0i(l - s)=:scoi. (4.18)

Скольжение s положительно при со > сОр и отрицательно при 1 <; со

Рис. 4.7

, р. Создание основного магнитного потока в машине сопровождается возникновением потоков рассеяния в статоре Ф^ и в роторе Ф^а-Предположим, что в машине три соединенные звездой фазные DNfOTKH, как на статоре, так и на роторе (рис. 4.7, б). Первые подклю-НЬ1 к трехфазной сети, а вторые выведены через коллектор, состоя-

щий из трех неразрезных колец, и нагружены на пусковые резисторы /?п, которые закорачиваются после того как ротор двигателя разгонится. Токи в фазах статора и ротора отличаются лишь фазовыми сдвигами в силу симметрии конструкции машины и подводимых к обмоткам напряжений сети.

Создаваемые в обмотках вращающимся основным магнитным потоком Фо э. д. с, как статора, так и ротора, гармонические. Будем считать, что сталь статора и ротора машины не насыщена и поэтому сопротивления цепи каждой из. фаз машины линейные. В данном случае токи в обмотках статора и ротора будут также гармоническими и можно воспользоваться методом комплексных амплитуд.

К обмоткам фазы статора А приложено напряжение сети Vа\ оно уравновешивается падениями напряжения на индуктивности рассеяния обмотки статора Li и ее омическом сопротивлении г^, а также преодолевает э. д. с, развиваемую в этой обмотке основным магнитным потоком:

/=-i + (/coL -f(4.19)

Согласно полученным ранее соотношениям (4.4) - (4.8) комплексная амплитуда

Ei - \iWiNk, (4.20)

что позволяет записать

OA = jcoiWiNko% + j(iLji-i-ri!i, (4.21)

где - комплексная амплитуда фазы Л напряжения сети; Wi - число витков в катушке статорной обмотки; Фо - комплексная амплитуда основного магнитного потока; - комплексная амплитуда тока статора.

Обмотки ротора машины могут отличаться. от статорных числом витков в катушках, числом катушек, их взаимным расположением. Примем единственным конструктивным отличием этих двух обмоток число витков. У роторных катушек оно равно w.

Основной магнитный поток, вращаясь относительно ротора со скоростью 2 = scoj, наводит в его обмотках э. д. с, которая уравновешивается падениями напряжения на индуктивности рассеяния Ls2 и омических сопротивлениях ротора Гр и пускового реостата /? :

О - joiSWNkOo + jsLsh + / 22, (4.22)

где Га = Гр -- /п - комплексная амплитуда тока ротора.

Основной магнитный поток машины, являясь суммой первичного и вторичного потоков, создается в результате сложения намагничивающих сил статора и ротора. Поэтому можно записать

WyNkJi + w.,Nkj2 = w,NkJi (4.23)

где /ю - ток фазы статора при разомкнутых (/? = °°) обмотках ротора.

Сравнив (4.21), (4.22) и (4.23) с системой уравнений для трансформатора (1.43), убеждаемся в полной их тождественности. Этого и

следовало ожидать, так как обмотки трансформатора и машины находятся в аналогичных условиях - они пронизываются гармонически Р^еняющимися магнитными потоками. Только в трансформаторе ток /а отдает свою энергию омической нагрузке, подключенной ко вторичной обмотке, а в машине создает магнитное поле, взаимодействующее с первичным полем и приводящее ротор во вращение. Таким образом, ток /2 в машине передает свою энергию механической нагрузке, подсоединенной к валу ротора.

Помимо этого отличается и частота изменения тока /3 в трансформаторе и машине. Из-за вращения ротора в машине она равна соа = = sfuy. Решения системы уравнений машины даюткомплексные амплитуды токов Д и /2 и магнитного потока Фо.

Не приводя выкладок, определим механический момент на валу машины. Ток /о из-за реактивного сопротивления во вторичной цепи

/ S

Рнс. 4.8

W2L52 отстаетпо фазе от наводимой в обмотках ротора основным магнитным потоком э. д. с. на угол г|5, причем

cos г|5 =: Гз/]/г| + s2cofZ42.

(4.24)

Этот ток протекает по проводникам обмотки ротора, находящимся в магнитном поле с индукцией Bi (cog/), и, следовательно, порождает механическую силу f направленную по касательной к окружности ротора (рис.. 4.8, а). Эта сила по определению магнитной индукции н с учетом ортогональности векторов индукции и тока

Fi - /2 (СО2О Bi (СО2/) /.

(4.25)

Поскольку индукция и ток меняются во времени с частотой cOg, тодля определения момента на валу машины нам следует найти среднее значение силы Fi за один оборот ротора. Эта средняя величина Зависит от угла сдвига по фазе между В,- и Л, т. е. от cos г};.

Вычислив индукцию Bi и ток /2, получим для среднего суммарного Момента, создаваемого всеми обмотками ротора.

М = 1,5w.NkfiOomhm cos tj).

(4.26),